Matematika
Inspiráció, tiszta, alkalmazott matematika és esztétikaSzerkesztés
Még az írásnál is korábban kialakult a számolás művészete, amely elsősorban a számvitelhez és a vagyonkezeléshez, a kereskedelemhez, a földméréshez, később pedig a csillagászathoz kapcsolódik.
Már minden tudomány hozzájárul olyan problémákhoz, amelyeket a matematikusok tanulmányoznak, miközben magán a matematikán belül is új problémák jelennek meg. Richard Feynman fizikus például a kvantummechanika alapjául az útintegrált javasolta, amely egyesíti a matematikai gondolkodást és a fizikai megközelítést, de teljesen kielégítő matematikai definíció még nem született. Hasonlóképpen, a húrelmélet, egy fejlődő tudományos elmélet, amely megpróbálja egyesíteni a fizika négy alapvető erejét, továbbra is inspirálja a legtöbb modern matematikát.
Egyik matematika csak azon a területen releváns, ahol ihletet kapott, és az adott terület más problémáira alkalmazzák. Gyakran azonban egy adott terület által inspirált matematika számos területen hasznos, és az elfogadott általános matematikai fogalmak között szerepel. Az a figyelemre méltó tény, hogy még a legtisztább matematikának is vannak általában gyakorlati alkalmazásai, Eugene Wigner meghatározása szerint “a matematika ésszerűtlen hatékonysága a természettudományokban”.
A legtöbb tudományterülethez hasonlóan a tudományos korszakban a tudás robbanásszerű növekedése a matematika specializálódásához vezetett. Fontos különbség van a tiszta matematika és az alkalmazott matematika között. A legtöbb kutató matematikus csak az egyik területre koncentrál, és néha a választás már a diploma megszerzésekor megtörténik. Az alkalmazott matematika számos területe összeolvadt más, hagyományosan a matematikán kívüli területekkel, és önálló tudományágakká váltak, mint például a statisztika, az operációkutatás vagy az informatika.
A matematika iránt előszeretettel érdeklődők úgy találják, hogy a legtöbb matematikát meghatározó esztétikai szempont érvényesül. Sok matematikus beszél a matematika eleganciájáról, belső esztétikájáról és belső szépségéről. Általánosságban elmondható, hogy az egyik legértékesebb tulajdonsága az egyszerűsége. Van szépség egy egyszerű és erőteljes bizonyításban, mint például Euklidész bizonyítása a végtelen sok prímszám létezéséről, és egy elegáns numerikus analízisben, amely felgyorsítja a számítást, valamint a gyors Fourier-transzformációban. G. H. Hardy A Mathematician’s Apology című művében annak a meggyőződésének adott hangot, hogy ezek az esztétikai megfontolások önmagukban is elegendőek a tiszta matematika tanulmányozásának igazolásához. A matematikusok gyakran igyekeznek olyan tételek bizonyításait megtalálni, amelyek különösen elegánsak, a különc matematikus Paul Erdős úgy hivatkozott erre a tényre, mint a “Könyv” bizonyításainak keresésére, amelybe Isten írta be kedvenc bizonyításait. A matematikai kérdések megoldásának örömét jelzi a szabadidős matematika népszerűsége is.
Notáció, nyelv és szigorSzerkesztés
A ma használatos matematikai jelölések nagy részét csak a 18. században találták fel. Ezt megelőzően a matematikát szavakkal írták, ami egy olyan fáradságos folyamat volt, amely korlátozta a matematikai fejlődést. A 18. században Euler volt a felelős számos ma használt jelölésért. A modern jelölés a matematikát a szakemberek számára sokkal könnyebbé, a kezdők számára viszont bonyolulttá teszi. A jelölés minimálisra csökkenti a matematikát, így egyes szimbólumok nagy mennyiségű információt tartalmaznak. A zenei jelöléshez hasonlóan a modern matematikai jelölés is szigorú szintaxissal rendelkezik, és olyan információkat kódol, amelyeket másképp nehéz lenne leírni.
A matematikai nyelv a kezdők számára is nehéz lehet. Az olyan szavak, mint a vagy és csak pontosabb jelentéssel bírnak, mint a mindennapi nyelvben. Ráadásul az olyan szavaknak, mint a nyitott és a test, nagyon konkrét matematikai jelentésük van. A matematikai zsargon vagy matematikai nyelvezet olyan szakkifejezéseket tartalmaz, mint a homeomorfizmus vagy az integrálhatóság. A jelölések és a szakzsargon használatának oka az, hogy a matematikai nyelvezet nagyobb pontosságot igényel, mint a mindennapi nyelvezet. A matematikusok ezt a nyelvi és logikai pontosságot “szigornak” nevezik.
A szigor elengedhetetlen feltétele egy matematikai bizonyításnak. A matematikusok azt akarják, hogy az axiómákból származó tételeik szisztematikus érvelést kövessenek. Ez a hibás intuíciókon alapuló téves tételek elkerülését szolgálja, amelyek már többször előfordultak a tudomány történetében. A matematikától elvárt szigorúság szintje az idők során változott: a görögök részletes érvelésre törekedtek, de Isaac Newton idejében az alkalmazott módszerek kevésbé voltak szigorúak. A Newton által használt definíciókban rejlő problémák a 19. században a gondos elemzés és a hivatalos demonstrációk újjáélesztéséhez vezettek. Most a matematikusok továbbra is számítógépes demonstrációkkal támogatják egymást.
Az axiómát hagyományosan “magától értetődő igazságként” értelmezik, de ez a felfogás problematikus. A formális birodalomban egy axióma nem más, mint egy szimbólumsor, amelynek csak az axiomatikus rendszerből levezetett összes képlet kontextusában van saját jelentése.
A matematika mint tudománySzerkesztés
Carl Friedrich Gauss a matematikát “a tudományok királynőjének” nevezte. Mind az eredeti latin Scientiārum Regīna, mind a német Königin der Wissenschaften szó a tudomány szót a tudás (területeként) értelmezi. Ha a tudományt a fizikai világ tanulmányozásának tekintjük, akkor a matematika, vagy legalábbis a tiszta matematika nem tudomány.
Sok filozófus úgy véli, hogy a matematika kísérletileg nem hamisítható, és így Karl Popper definíciója szerint nem tudomány. Az 1930-as években azonban a matematikai logika területén végzett fontos munkák azt mutatják, hogy a matematika nem redukálható logikára, és Karl Popper arra a következtetésre jutott, hogy “a legtöbb matematikai elmélet a fizikához és a biológiához hasonlóan hipotetikus-deduktív. Így a tiszta matematika közelebb került a természettudományokhoz, amelyek hipotézisei feltételezések, mint eddig”. Más gondolkodók, nevezetesen Lakatos Imre, magára a matematikára vonatkozóan a falszifikacionizmus egy változatát követelték.
Egy alternatív nézet szerint bizonyos tudományterületek (például az elméleti fizika) olyan axiómákkal rendelkező matematika, amelyek állítólag megfelelnek a valóságnak. Valójában az elméleti fizikus, J. M. Ziman azt javasolja, hogy a tudomány “köztudat”, és ezért magában foglalja a matematikát is. Mindenesetre a matematikának sok közös vonása van a természettudományok számos területével, különösen a hipotézisek logikai következményeinek feltárása. Az intuíció és a kísérletezés a matematikában és más tudományokban is fontos szerepet játszik a feltevések megfogalmazásában. A kísérleti matematika továbbra is egyre nagyobb teret nyer a matematikán belül. A számítás és a szimuláció egyre nagyobb szerepet játszik mind a természettudományokban, mind a matematikában, enyhítve azt az ellenvetést, hogy a matematika nem alkalmazza a tudományos módszert. 2002-ben Stephen Wolfram A New Kind of Science (Egy újfajta tudomány) című könyvében amellett érvel, hogy a számítási matematika megérdemli, hogy empirikusan, mint tudományterületet vizsgálják.
A matematikusok véleménye erről a kérdésről igen változatos. Sok matematikus úgy véli, hogy ha tudományterületüket tudománynak nevezzük, azzal lekicsinyeljük esztétikai profiljának jelentőségét, valamint tagadjuk a hét szabad művészeten belüli történetét. Mások úgy érzik, hogy a természettudományokkal való kapcsolatának figyelmen kívül hagyása azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyjuk a matematika és a természettudományi és mérnöki alkalmazások közötti nyilvánvaló kapcsolatot, amely nagymértékben fellendítette a matematika fejlődését. Egy másik vitatéma, amely némileg kapcsolódik az előzőhöz, az, hogy a matematikát (művészetként) alkották-e meg, vagy (tudományként) fedezték fel. Ez egyike a matematika filozófiáját foglalkoztató számos kérdésnek.
A matematikai díjakat általában elkülönítik a természettudományok megfelelőitől. A matematika legrangosabb díját, a Fields-érmet 1936-ban alapították, és négyévente ítélik oda. Ezt a díjat gyakran a tudományos Nobel-díjjal egyenértékűnek tekintik. További díjak az 1978-ban alapított Wolf matematikai díj, amely a matematikusok életművét ismeri el, valamint a 2003-ban bevezetett Abel-díj, egy másik jelentős nemzetközi díj. Az utóbbi kettőt kiváló munkáért ítélik oda, amely lehet úttörő kutatás vagy egy adott terület kiemelkedő problémájának megoldása. E 23 megoldatlan probléma híres listáját, az úgynevezett “Hilbert-problémák” listáját David Hilbert német matematikus állította össze 1900-ban. Ez a lista nagyon népszerűvé vált a matematikusok körében, és a problémák közül legalább kilencet már meg is oldottak. 2000-ben új, hét alapvető problémát tartalmazó listát tettek közzé “Millenniumi problémák” címmel. Az egyes feladatok megoldását 1 millió dollárral jutalmazzák. Érdekes módon csak egy (a Riemann-hipotézis) szerepel mindkét listán.