Terminológia

A fizikai rendszerek változatlan (vagy “állapotfüggetlen”) tulajdonságaik szerint típusokra oszthatók, és egy rendszer egy adott időpontban fennálló állapota a rendszer azon tulajdonságainak teljes specifikációjából áll, amelyek az idővel változnak (az “állapotfüggő” tulajdonságai). Egy rendszer teljes leírásához tehát meg kell mondanunk, hogy milyen típusú rendszerről van szó, és hogy történelmének minden egyes pillanatában milyen állapotban van.

A fizikai mennyiség a fizikai tulajdonságok egymást kölcsönösen kizáró és együttesen kimerítő családja (azok számára, akik ismerik ezt a beszédmódot, ez a tulajdonságok családja egy partíció celláinak szerkezetével). Ha tudjuk, hogy egy mennyiség milyen értékeket vesz fel, sokat elárulhatunk a tulajdonságok közötti kapcsolatokról, amelyekből áll. Egy kétértékű mennyiség értékei például két tagú halmazt alkotnak; egy valós értékű mennyiség értékei a valós számok struktúrájával rendelkező halmazt alkotnak. Ez egy különleges esete annak, amit újra és újra látni fogunk, nevezetesen,hogy ha tudjuk, hogy milyen matematikai objektumok képviselik valamilyen halmaz elemeit (itt egy fizikai mennyiség értékeit; később azokat az állapotokat, amelyeket egy rendszer felvehet, vagy a hozzá tartozó mennyiségeket), akkor nagyon sokat (sőt, vitathatóan mindent) megtudhatunk a köztük lévő összefüggésekről.

Kvantummechanikai kontextusban a “megfigyelhető” kifejezést a “fizikai mennyiséggel” felcserélhetően használjuk, és ugyanolyan jelentésű szakkifejezésként kell kezelni. Nem véletlen, hogy az elmélet korai kidolgozói ezt a kifejezést választották, de a választás olyan okokból történt, amelyek ma már nem általánosan elfogadottak. Egy rendszer állapottér a lehetséges állapotok halmaza által alkotott tér, azaz a rendszert belsőleg jellemző mennyiségek értékeinek fizikailag lehetséges kombinációs módjai. A klasszikus elméletekben a mennyiségek olyan halmazát, amely a többi mennyiség felügyeleti alapját képezi, általában “alap”-nak vagy “alapvető”-nek nevezik, és mivel az értékek kombinálásának bármely matematikailag lehetséges módja fizikai lehetőség, az állapottér úgy kapható meg, hogy ezeket egyszerűen koordinátáknak tekintjük. Így például egy \(n\) részecskékből álló klasszikus mechanikai rendszer állapottere, amelyet \(6n\) valós értékű mennyiségek – a rendszer minden részecskéje számára három pozíció- és három impulzusösszetevő – értékeinek megadásával kapunk, egy \(6n\)-dimenziós koordinátatér. Egy ilyen rendszer minden lehetséges állapotának megfelel a tér egy pontja, és a tér minden pontja megfelel egy ilyen rendszer egy lehetséges állapotának. A helyzet egy kicsit más a kvantummechanikában, ahol vannak matematikailag leírható módjai a mennyiségek értékeinek kombinálására, amelyek nem a fizikailag lehetséges állapotokat képviselik. Mint látni fogjuk, a kvantummechanika állapottérképei a vektorterek speciális fajtái, az úgynevezett Hilbert-terek, és több belső struktúrával rendelkeznek, mint klasszikus megfelelőik.

A struktúra olyan elemek halmaza, amelyeken bizonyos műveletek és relációk vannak definiálva, a matematikai struktúra csak olyan struktúra, amelyben az elemek matematikai objektumok (számok, halmazok, vektorok) és a műveletekmatematikaiak, a modell pedig olyan matematikai struktúra, amelyet a világ valamely fizikailag jelentős struktúrájának ábrázolására használnak.

A kvantummechanika szíve és lelke a Hilbert-térben rejlik, amely a kvantummechanikai rendszerek állapottereit reprezentálja.Az állapotok és mennyiségek közötti belső kapcsolatok, és mindaz, amit ez a kvantummechanikai rendszerek viselkedésével kapcsolatban jelent, mind bele vannak szőve e terek szerkezetébe, megtestesítve az őket reprezentáló matematikai objektumok közötti kapcsolatokban. Ez azt jelenti, hogy annak megértése, hogy milyen egy rendszer a kvantummechanika szerint, elválaszthatatlan e terek belső szerkezetének ismeretétől. Ha ismerjük a Hilbert-térben való tájékozódást, és megismerkedünk azokkal a dinamikai törvényekkel, amelyek leírják a vektorok által benne megtett utakat, akkor mindent tudunk, amit tudni kell az elmélet által meghatározott feltételek szerint az általa leírt rendszerekről.

A Hilbert-térben való “tájékozódás” alatt többet értek, mint annak leírásának vagy térképének birtoklását; bárki, akinek van egy kvantummechanikai tankönyv a polcán, rendelkezik ezzel. Úgy értem, hogy úgy ismerjük az utat benne, mint ahogyan ismerjük a várost, amelyben élünk. Ez egy olyan gyakorlati jellegű tudás, amely fokozatosan jön létre, és a legjobban úgy szerezhető meg, ha megtanuljuk megoldani a formához tartozó problémákat: Hogyan jutok el A-ból B-be? Eljuthatok-e oda anélkül, hogy áthaladnék C-n? És mi a legrövidebb útvonal? A végzős fizikushallgatók hosszú éveket töltenek azzal, hogy megismerkedjenek a Hilberts-tér szögleteivel, megtalálják az ismerős tereptárgyakat, bejárják a kitaposott ösvényeket, megtanulják, hol vannak titkos átjárók és zsákutcák, és kialakítják az általános tájékozódási képességet. Megtanulják, hogyan navigáljanak a Hilbert-térben úgy, ahogy egy taxisofőr megtanulja, hogyan navigáljon a városban.

Mennyire van szükség ebből a fajta tudásból ahhoz, hogy megközelítsük az elmélettel kapcsolatos filozófiai problémákat? Kezdetben nem sok: csak a legáltalánosabb tények a táj geometriájáról (amely egyébként a legtöbb várostól eltérően gyönyörűen szervezett), és az utakról, amelyeket (a rendszerek állapotait reprezentáló vektorok) bejárnak rajta. Ez az, amit itt bemutatunk: először egy kis egyszerű matematika, majd dióhéjban az elmélet.

Matematika

2.1 Vektorok és vektortér

A vektor \(A\), írva “\(\ket{A}\)”, egy matematikai objektum, amelyet egy hossz, \(|A|\), és egy irány jellemez. Az anormalizált vektor 1 hosszúságú vektor, azaz \(|A| = 1\). A vektorok összeadhatók, megszorozhatók konstansokkal (beleértve a komplex számokat is), és összeszorozhatók. A vektoradagolás bármely vektorpárt leképez egy másik vektorra, pontosabban arra, amelyet akkor kapunk, ha a második vektort úgy mozgatjuk, hogy a farka egybeessen az első csúcsával, anélkül, hogy bármelyiknek a hossza vagy iránya megváltozna, majd az első vektor farkát a második vektor csúcsához illesztjük. Ezt az összeadási szabályt párhuzamos törvénynek nevezik. Így például \(\ket{A}\) és \(\ket{B}\) vektorok összeadásával \(\ket{C}) vektort kapunk. (= \ket{A} + \ket{B})\) mint az 1. ábra:

Az \(\ket{A}\) vektor \(n\)-vel való szorzása, ahol \(n\) egy konstans, egy olyan vektort ad, amelynek iránya megegyezik \(\ket{A}\) irányával, de amelynek hossza \(n\) szorozva \(\ket{A}\) hosszával.

Egy valós vektortérben az \(\ket{A}\) és \(\ket{B}\) vektorpár (belső vagy pont)szorzata, írva’\(\braket{A}{B}\)’ egy skalár, amely egyenlő a hosszúságaik (vagy ‘normáik’) szorzatával és a köztük lévő szög kozinuszával,\(\theta\):

\

Legyen \(\ket{A_1}\) és \(\ket{A_2}\) olyan 1 hosszúságú vektorok (“egységvektorok”), hogy \(\braket{A_1}{A_2} = 0\). (A két egységvektor közötti szögnek 90 fokosnak kell lennie.) Ekkor bármely kétdimenziós \(\ket{B}\) vektort ábrázolhatunk az egységvektorainkkal a következőképpen:

\

Itt van például egy grafikon, amely megmutatja, hogy \(\ket{B}\) hogyan ábrázolható a két \(\ket{A_1}\) és \(\ket{A_2}\) egységvektor összegeként:

Most a belső szorzat \(\braket{A}{B}\) definícióját úgy kell módosítani, hogy komplex terekre is alkalmazható legyen. Legyen \(c^*\) az \(c\) komplex konjugáltja. (Ha \(c\) egy \(a \pm bi\) alakú komplex szám, akkor \(c^*\) komplex konjugáltja\(c^*\) a következőképpen definiált:

\^* = a-bi \\\^* = a+bi\]

Az összes \(c\) komplex számra \(^* = c\), de \(c^* = c\) csak akkor, ha \(c\) valós). Az \(\ket{A}\) és \(\ket{B}\) belső szorzatának meghatározása komplex terekre a következők szerint adható meg a komplex együtthatók konjugáltjai alapján. Ahol \(\ket{A_1}\) és \(\ket{A_2}\) a korábban leírt egységvektorok, \(\ket{A} = a_1 \ket{A_1} + a_2 \ket{A_2}\) és \(\ket{B} = b_1 \ket{A_1} + b_2 \ket{A_2}\), akkor

\

A belső szorzat legáltalánosabb és legabsztraktabb fogalma, amelynek most két speciális esetét definiáltuk, a következő. \(\braket{A}{B}\) egy belső szorzat egy \(V\) vektortéren csak abban az esetben

1. \(\braket{A}{A} = |A|^2\), és \(\braket{A}{A}=0\) akkor és csak akkor, ha \(A=0\)
2. \(\braket{B}{A} = \braket{A}{B}^*\)
3. \(\braket{B}{A+C}=\braket{B}{A} + \braket{B}{C}\).

Ezekből következik, hogy

1. az \(\ket{A}\) hossza az \(\ket{A}\) önmagával való belső szorzatának négyzetgyöke, azaz,\

és

1. \(\ket{A}\) és \(\ket{B}\) egymásra merőlegesek, vagy ortogonálisak, ha, és csak akkor, ha \(\braket{A}{B}\).

A vektortér az összeadás és az állandókkal való szorzás alatt zárt vektorok halmaza, a belső terméktér olyan vektortér, amelyen a vektormultiplikáció műveletét definiálták, és az ilyen tér dimenziója a benne található nem nulla, kölcsönösen ortogonális vektorok maximális száma.

Egy \(N\)-dimenziós vektortérben \(N\)1 hosszúságú, kölcsönösen ortogonális vektorok bármely gyűjteménye ortonormális alapot képez a tér számára. Legyen \(\ket{A_1}, \ldots, \ket{A_N}\) ilyen egységvektorok gyűjteménye. Ekkor a tér minden vektora kifejezhető a következő formájú összegként:

\\

ahol \(b_i = \braket{B}{A_i}\). Az \(b_i\) értékek itt \(B\) tágulási együtthatóként ismertek az \(A\)-alapban.

Megjegyezzük, hogy:

1. minden \(A\), \(B\) és \(C\) vektorra egy adott térben,\
2. minden \(M\) és \(Q\) vektorra, az \(A\)-alapban kifejezve,\

   és

   \

A vektorok felírásának van egy másik módja is, nevezetesen a tágulási együtthatók (egy adott alaphoz viszonyított) oszlopban való felírása, mint például: \(q_i = \braket{Q}{A_i}\) és az \(A_i\) a kiválasztott bázisvektorok.

Ha végtelen dimenziós vektortérrel van dolgunk, mivelnem írhatjuk fel a tágulási együtthatók teljes oszlopát, ami ahhoz szükséges, hogy egy vektort kipipáljunk, mivel annak végtelen hosszúnak kellene lennie, ezért ehelyett felírjuk azt a függvényt (a\(Q\) számára “hullámfüggvénynek” nevezett, általában \(\psi(i))\), amelynek ezek az együtthatók az értékei. Leírjuk, azaz aFüggvényt:

\\

Egy vektortérben lévő bármely vektor és annak bármely bázisa esetén megkaphatjuk a vektor hullámfüggvényét ebben a bázisban; és egy vektor hullámfüggvénye esetén, egy adott bázisban, megalkothatjuk azt a vektort, amelynek hullámfüggvénye ez a vektor. Mivel kiderül, hogy a vektorokkal végzett legfontosabb műveletek többsége megfelel a hullámfüggvényeiken végzett egyszerű algebrai műveleteknek, ez a szokásos módja az állapotvektorok ábrázolásának.

Amikor egy pár fizikai rendszer kölcsönhatásba lép egymással, összetett rendszert alkotnak, és a kvantummechanikában, akárcsak a klasszikus mechanikában, van egy szabály arra, hogy az összetett rendszer állapottérét a komponensek állapotteréből konstruáljuk, egy szabály, amely megmondja, hogyan kapjuk meg a \(H_A\) és \(H_B\) \(A\) és \(B\) állapotterekből a pár állapotterét – amelyet \(H_A\) és \(H_B\) “tenzorproduktumának” nevezünk, és amely meg van írva\(H_A \szor H_B\) -. Két fontos dolog van a szabállyal kapcsolatban; először is, amíg \(H_A\) és \(H_B\) Hilbert-tér, addig \(H_A \szor H_B\) is az lesz, másodszor, van néhány tény azzal kapcsolatban, ahogyan \(H_A \szor H_B\) viszonyul \(H_A\) és \(H_B\), amelyek meglepő következményekkel járnak a komplex rendszer és részei közötti kapcsolatokra. Különösen az derül ki, hogy egy összetett rendszer állapotát nem egyértelműen az összetevői állapota határozza meg. Ez azt jelenti, vagy legalábbis annak tűnik, hogy a kvantummechanika szerint vannak olyan tények az összetett rendszerekre vonatkozóan (és nem csak a térbeli konfigurációjukra vonatkozó tények), amelyek nem függenek össze az összetevőikre vonatkozó tényekkel; ez azt jelenti, hogy vannak olyan tények a rendszerekre mint egészekre vonatkozóan, amelyek nem függenek össze a részeikre és a részek elrendezésének módjára vonatkozó tényekkel. Az elmélet e tulajdonságának jelentőségét nem lehet túljátszani; így vagy úgy, de a legnehezebb problémák többségében szerepet játszik.

Egy kicsit részletesebben: Ha \(\{v_{i}^A\}\) ortonormális bázisa \(H_A\) és \(\{u_{j}^B\}\) ortonormális bázisa \(H_B\), akkor az \((v_{i}^A, u_{j}^B)\) párok összessége ortonormális bázist képez az \(H_A \times H_B\) tenzorprodukt térhez. Az \((v_{i}^A,u_{j}^B)\) párra az \(v_{i}^A,u_{j}^B)\) jelölést használjuk, és az \(H_A \otimes H_B\) belső szorzatát a következőképpen határozzuk meg:

\

Ez a konstrukció eredménye, hogy bár minden vektor a \(H_A \otimes H_B\)-ben a vektorok lineáris összege, amely kifejezhető a\(v^A \otimes u^B\) formában, nem minden vektor a térben fejezhető ki ebben a formában, és kiderül, hogy

1. az összetett állapot egyértelműen meghatározza a komponenseinek állapotát.
2. ha az \(A\) és \(B\) állapotai tiszta (azaz, \(v^A\) és \(u^B\) vektorokkal reprezentálhatók), akkor az \((A+B)\) állapota tiszta és a\(v^A \szor u^B\) által reprezentált, és
3. ha \((A+B)\) állapota tiszta és kifejezhető \(v^A \szor u^B\) formában, akkor \(A\) és \(B\) állapota tiszta, de
4. ha \(A\) és \(B\) állapota nem tiszta, i.e., ha vegyes állapotok (ezeket alább definiáljuk), akkor nem határozzák meg egyértelműen az \((A+B)\) állapotát; különösen, ez lehet olyan tiszta állapot, amely nem fejezhető ki az \(v^A \szor u^B\) formában.

2.2 Operátorok

Az \(O\) operátor egy vektortér önmagára való leképezése; egy térben lévő bármely \(\ket{B}\) vektort egy másik \(\ket{B’}\) szintén a térben lévő vektorra viszi; \(O \ket{B} = \ket{B’}\). A lineáris operátorok olyan operátorok, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. \(O(\ket{A} + \ket{B}) = O \ket{A}). + O \ket{B}\), és
2. \(O(c \ket{A}) = c(O \ket{A})\).

Ahogyan egy \(N\)-dimenziós térben bármely vektor ábrázolható \(N\)-számok oszlopával, a tér alapjának megválasztásához képest, a tér bármely lineáris operátora ábrázolható oszlopos jelöléssel \(N^2\) számokkal:

\

ahol \(O_{ij} = \braket{A_i}{O \mid A_j}\) és az \(A_N\) a tér alapvektorai. A lineáris operátor \(O\) hatása a vektorra\(B\) tehát

\

Még két definíció, mielőtt meg tudnánk mondani, hogy mik a Hilbert terek, és akkor rátérhetünk a kvantummechanikára. \(\ket{B}\) az \(O\) sajátvektora \(a\) sajátértékkel, ha és csak akkor, ha \(O \ket{B} = a \ket{B}\).Különböző operátorok különböző sajátvektorokkal rendelkezhetnek, de a sajátvektor/operátor kapcsolat csak a kérdéses operátortól és vektoroktól függ, és nem attól, hogy milyen alapon vannak kifejezve; a sajátvektor/operátor kapcsolat, azaz, invariáns az alap megváltoztatása esetén. A Hermite-operátor olyan operátor, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy van egy ortonormális alap, amely a sajátvektoraiból áll, és ezek a sajátértékek mindegyike valós.

A Hilbert-tér végül egy olyan vektortér, amelyen egy belső szorzat definiált, és amely teljes, azaz olyan, hogy a térben lévő vektorok bármely Cauchy-sorozata konvergál a térben lévő vektorhoz. Minden véges dimenziós belső szorzatú tér teljes, és én ezekre szorítkozom. A végtelen eset olyan bonyodalmakkal jár, amelyekbe ebben a szakaszban nem érdemes belemenni.

Kvantummechanika

A kvantummechanika négy alapelve a következő:

(3.1)

Fizikai állapotok.Minden fizikai rendszerhez tartozik egy Hilbert-tér, a tér minden egységvektora a rendszer egy lehetséges tiszta állapotának felel meg,és minden lehetséges tiszta állapot a tér valamelyik vektorának.

(3.2)

Fizikai mennyiségek.A rendszerhez tartozó Hilbert-tér hermitiánus operátorai fizikai mennyiségeket képviselnek, sajátértékeik pedig e mennyiségek méréseinek lehetséges eredményeit.

Létezik egy operátor, az úgynevezett Hamilton-operátor, amely különleges szerepet játszik a kvantumelméletben, mert egy rendszer dinamikája kényelmesen megfogalmazható annak fejlődésének nyomon követésével. A Hamiltonián – \(H\) vagy \(\hat{H}\) – a rendszer teljes energiáját jelöli. Sajátértékei azok a lehetséges eredmények, amelyeket a teljes energia mérése során kaphatunk. Ezt a rendszer összetevőinek kinetikus és potenciális energiáinak összegzésével kapjuk meg.

(3.3)

összetétel: Az összetett rendszerhez tartozó Hilbert-tér a rendszerhez tartozó egyszerű rendszerek (a standard, nemrelativista elméletben: az egyes részecskék) tenzorprodukciója, amelyekből a rendszer áll.

(3.4) Dinamika. a.

1. típusú összefüggések: Adott egy rendszer állapota \(t\) időpontban és a rá ható erők és kényszerek, létezik egy egyenlet, a “Schrödinger-szekvencia”, amely megadja az állapotot bármely más időpontban \(U\ket{v_t} \rightarrow \ket{v_{t’}}\). Az \(U\) fontos tulajdonságai a mi céljaink szempontjából az, hogy determinisztikus, azaz a rendszer egy adott időpontban fennálló állapotát bármely más időpontban egyedivé teszi, unitárius, ami azt jelenti, hogy a Hilbert-tér automorfizmusa, amelyre hat (azaz, a tér önmagára való leképezése, amely megőrzi a lineáris térszerkezetet és a belső szorzatot), és lineáris, ami azt jelenti, hogy ha egy \(\ket{A}\) állapotot \(\ket{A’}\) állapotba visz, és az \(\ket{B}\) állapotot az \(\ket{B’}\) állapotra veszi, akkor bármely \(\alfa \ket{A} +\béta \ket{B}\) állapotot az \(\alfa \ket{A’} + \béta\ket{B’}\) állapotra veszi.

b.

2. típusú kontextusok (“mérési kontextusok”): Egy \(B\) megfigyelhető \(B\) “mérésének” elvégzése egy \(\ket{A}\) állapotban lévő rendszeren azt eredményezi, hogy a rendszer a megfigyelt sajátértéknek megfelelő \(B\)-eigenállapotba esik össze. Ez az úgynevezett összeomlás-posztulátum. Hogy melyik \(B\)-eigenállapotba omlik össze, az valószínűség kérdése, és a valószínűségeket a Born-szabály néven ismert szabály adja meg:

\

Ezzel a kétféle kontextussal kapcsolatban két fontos dolgot kell megjegyezni:

• Az 1. és 2. típusú kontextusok megkülönböztetése kvantummechanikai szempontból még nem tisztázott; senkinek sem sikerült teljesen kielégítő módon, az elmélet által biztosított feltételekkel megmondani, hogy mely kontextusok mérési kontextusok, és
• Még ha a megkülönböztetés meg is történik, nyitott értelmezési kérdés, hogy vannak-e 2. típusú kontextusok; azaz, hogy vannak-e 2. típusú kontextusok.e., nyitott értelmezési kérdés, hogy léteznek-e olyan kontextusok, amelyekben a rendszereket a Schrödinger-egyenleten kívüli dinamikai szabály irányítja.

Szerkezetek a Hilbert-téren

Fentebb megjegyeztem, hogy ugyanúgy, ahogyan egy város helyei közötti kapcsolatokról szóló összes információnk a térképen az őket ábrázoló pontok közötti térbeli kapcsolatokban testesül meg, úgy a kvantummechanikában az állapotok és mennyiségek közötti (és az azok közötti) belső kapcsolatokról szóló összes információnk az őket ábrázoló vektorok és operátorok közötti matematikai kapcsolatokban testesül meg. Matematikai szempontból az különbözteti meg a kvantummechanikát klasszikus elődeitől, hogy az állapotok és mennyiségek gazdagabb struktúrával rendelkeznek; családokat alkotnak, amelyek tagjai között érdekesebb kapcsolati hálóval rendelkeznek.

A kvantummechanikai rendszerek viselkedésének minden fizikailag következetes tulajdonsága e kapcsolatok matematikai tulajdonságainak következménye, és ezek közül a legfontosabbak könnyen összefoglalhatók:

(P1)

A Hilbert-térben lévő vektorok összeadásának vagy skalárokkal való szorzásának bármely módja olyan vektort eredményez, amely szintén a térben van. Abban az esetben, ha a vektor normalizált, a (3.1) alapján a rendszer egy lehetséges állapotát fogja képviselni, és abban az esetben, ha egy \(B\) megfigyelhető \(B\) sajátvektorpárjának összege, amelynek különböző sajátértékei vannak, maga nem lesz \(B\) sajátvektora, hanem a (3.4b) alapján a \(B\)-mérések egyik vagy másik eredményének valószínűségeihez fog társulni.

(P2)

Egy Hilbert-téren bármely hermitiánus operátor számára léteznek ugyanezen a téren olyan operátorok, amelyekkel nem osztozik a sajátvektorok teljes halmazán; sőt, könnyű megmutatni, hogy léteznek olyan operátorok, amelyekkel nincs közös sajátvektora.

Ha néhány további értelmező feltételezést teszünk, akkor többet mondhatunk. Tegyük fel például, hogy

(4.1)

Egy rendszerhez tartozó Hilbert-tér minden hermitiánus operátora egy saját megfigyelhetőt, és (így)minden normalizált vektor egy saját állapotot reprezentál, és

(4.2)

Egy rendszernek akkor és csak akkor van értéke a \(A\) megfigyelhetőre, ha az állapotát reprezentáló vektor a \(A\)-operátor sajátállapota. Az érték, amellyel rendelkezik, ilyen esetben csak a sajátállapothoz tartozó sajátérték.

A (P2)-ből a (3.1) alapján következik, hogy nincs olyan kvantummechanikai állapot, amely minden megfigyelhetőnek sajátállapota (és valóban vannak olyan megfigyelhetőek, amelyeknek nincsenek közös sajátállapotai), és így a (3.2), hogy egyetlen kvantummechanikai rendszer sem rendelkezik egyidejű értékekkel a hozzá tartozó összes mennyiséghez (és valóban vannak olyan mennyiségpárok, amelyekhez egyetlen állapot sem rendel egyidejű értékeket).

Vannak hermitiánus operátorok a Hilbert-térpár \(H_1 \times H_2\) és \(H_1\) tenzorterméken\(H_1 \times H_2\) … Abban az esetben, ha \(H_1\) és\(H_2\) az \(S1\) és \(S2\) rendszerek állapotterei,\(H_1 \otimes H_2\) az \(S1+S2)\) komplexrendszer állapottere. Ebből következik (4.1) alapján, hogy vannak olyan \((S1+S2)\) rendszerhez tartozó megfigyelhető értékek, amelyek értékeit nem határozzák meg a két rendszerhez tartozó megfigyelhető értékek értékei.

Mindezek egyszerű következményei annak, hogy a Hilbert-térben lévő vektorokat és operátorokat vesszük állapotok és megfigyelhető értékek jelölésére, és a Born-szabály (és később (4.1) és (4.2)) alkalmazásával empirikus jelentést adunk az állapotmeghatározásoknak. Ez tökéletesen érthető; a kvantummechanika megértésének igazi nehézsége abban rejlik, hogy megbirkózzunk a fizikai, metafizikai és ismeretelméleti implikációkkal.

Aki megpróbálja megérteni, hogy a kvantummechanika mit mond a világról, annak egy tényt kell még megragadnia. Ez a probléma nem a Hilbert-térrel kapcsolatos, hanem a dinamikával – azokkal a szabályokkal, amelyek leírják a pályákat, amelyeket a rendszerek követnek a téren keresztül. Fizikai szempontból ez sokkal aggasztóbb, mint bármi, amit eddig tárgyaltunk. Nemcsak nehézségek elé állít valakit, aki megpróbálja értelmezni az elméletet, hanem úgy tűnik, hogy logikai ellentmondásra is utal az elmélet alapjaiban.

Tegyük fel, hogy van egy \(S\) rendszerünk és egy \(S^*\) eszközünk, amely egy megfigyelhető \(A\) értéket mér \(S\) \(\(\(a_1,a_2, a_3, …\}\) értékekkel. Ezután létezik \(S^*\) egy állapota (az “alapállapot”), és van egy megfigyelhető \(B\) \(\(b_1, b_2, b_3, …) értékekkel.\(S^*\) (a “mutatómegfigyelhető”, amelyet azért nevezünk így, mert ez az, ami egy sematikus mérőműszer elején lévő tárcsán lévő mutató szerepét tölti be a kísérlet eredményének regisztrálásában), amelyek olyanok, hogy ha \(S^*\) alapállapotban indul, és megfelelő módon kölcsönhatásba lép \(S\), és ha \(A\) értéke közvetlenül a kölcsönhatás előtt \(a_1\), akkor \(B\) értéke közvetlenül utána \(b_1\). Ha azonban \(A\) értéke közvetlenül a kölcsönhatás előtt \(a_2\), akkor \(B\) értéke közvetlenül utána \(b_2\); ha \(A\) értéke közvetlenül a kölcsönhatás előtt \(a_3\), akkor \(B\) értéke közvetlenül utána \(b_3\), és így tovább. Pontosan ezt jelenti, ha azt mondjuk, hogy \(S^*\) méri \(A\) értékét. Tehát, ha \(S\) és \(S^*\) együttes, részleges állapotát (csak azt a részét, amely meghatározza a , a megfigyelhető értékét, amelynek értékei megfelelnek a mért megfigyelhető értékének együttes értékmegadásának \(S\) és a mutató megfigyelhetőjének \(S^*\)) a vektorral\(\ket{A=a_i}_s \ket{B=b_i}_{s^*}\), és legyen “\(\(\rightarrow\) “a kettő közötti kölcsönhatás dinamikai leírása, azt mondani, hogy \(S^*\) egy mérőeszköz \(A\) számára, azt jelenti, hogy a dinamikai törvényekből következik,

\

és így tovább.

Intuitív módon az \(S^*\) egy megfigyelhető \(A\) mérőeszköze, csak abban az esetben, ha van az \(S^*\) valamilyen megfigyelhető tulajdonsága (nem számít, hogy mi, csak valami, aminek az értékei megállapíthatók az eszköz megnézésével), amely korrelál a belé táplált rendszerek \(A\)-értékeivel oly módon, hogy ezeket az értékeket le tudjuk olvasni az \(S^*\) megfigyelhető állapotáról a kölcsönhatás után. Filozófiai nyelven szólva, az \(S^*\) az \(A\) mérőeszköze, abban az esetben, ha az \(S^*\) valamilyen megfigyelhető tulajdonsága követi vagy jelzi azon rendszerek \(A\)-értékeit, amelyekkel megfelelő módon kölcsönhatásba lép.

A fenti (3.1)-ből következik, hogy az \(S\)-nek vannak olyan állapotai (túl sok ahhoz, hogy megszámoljuk), amelyek nem az \(A\) sajátállapotai, és ha megvizsgáljuk, mit mond a Schrödinger-egyenlet az \(S\) és az \(S^*\) együttes fejlődéséről, amikor az \(S\) ezek egyikében indul, akkor azt találjuk, hogy a kölcsönhatás után a pár állapota az \(A\) sajátállapotainak szuperpozíciója. Nem számít, hogy \(S\) milyen megfigyelhetőt mérünk, és nem számít, hogy \(S\) milyen szuperpozícióban indul; Ha a kölcsönhatást helyesen írja le a Schrödinger-egyenlet, akkor az egyenletben szereplő \(U\) linearitásából, a pár korábbi állapotából a későbbi állapotba való transzformációt végző operátor linearitása alapján következik, hogy a kölcsönhatás után az \(S\) és a készülék közös állapota a közös rendszerben lévő megfigyelhető sajátállapotainak szuperpozíciója.

Tegyük fel például, hogy \(S^*\) alapállapotában kezdjük, \(S\) pedig

\

állapotban

\

Az összetett rendszer állapotterének meghatározására vonatkozó szabályokból következik, hogy a pár együttes állapota

\

és ez következik abból, hogy \(S^*\) egy mérőeszköz \(A\) számára,és az \(U\) linearitásából, hogy az együttes állapotuk a kölcsönhatás után

\

Ez azonban, ellentmond a 2. típusú kontextusokra vonatkozó dinamikai szabálynak, mivel a 2. típusú kontextusokra vonatkozó dinamikai szabály (és ha van ilyen kontextus, akkor ez az egyik) azt jelenti, hogy a páros állapota a kölcsönhatás után vagy

\

vagy

\

Egyértelműen, ez azzal jár, hogy \(\frac{1}{2}\) pontos valószínűsége van annak, hogy az előbbi állapotba kerül, és \(\frac{1}{2}\) valószínűsége van annak, hogy az utóbbi állapotba kerül.

Megpróbálhatjuk helyreállítani a logikai konzisztenciát úgy, hogy feladjuk a 2. típusú kontextusokra vonatkozó dinamikai szabályt (vagy, ami ugyanezt jelenti, tagadjuk, hogy léteznek ilyen kontextusok), de akkor felmerül a tapasztalattal való konzisztencia problémája. Ugyanis nem puszta baklövés volt, hogy ez a szabály bekerült az elméletbe; tudjuk, hogyan néz ki egy rendszer, amikor egy adott megfigyelhető sajátállapotában van,és azt is tudjuk a látványból, hogy a mérőműszer a mérés utána a mutató megfigyelhető sajátállapotában van. És így kezdettől fogva tudjuk, hogy ha egy elmélet valami mást mond a mérőberendezések mérés utáni állapotáról, bármi legyen is ez a valami más, az téves.

Ez, dióhéjban, a kvantummechanika mérési problémája; az elmélet bármely értelmezésének, bármely részletes történetnek arról, hogy milyen a világ a kvantummechanika szerint, és különösen a világ azon részei, amelyekben mérések történnek, meg kell küzdenie vele.

Loose Ends

A vegyes állapotok tiszta állapotok súlyozott összegei, és olyan együttesek állapotainak ábrázolására használhatók, amelyek összetevői különböző tiszta állapotokban vannak, vagy olyan egyedi rendszerek állapotai, amelyekről csak részleges ismereteink vannak. Az első esetben az adott tiszta állapothoz rendelt súly tükrözi az együttes azon komponensének méretét, amelyik ebben az állapotban van (és így annak objektív valószínűségét, hogy az együttes egy tetszőleges tagja ebben az állapotban van); a második esetben azt az episztemikus valószínűséget tükrözik, hogy a kérdéses rendszer, amelyhez az állapotot rendeljük, ebben az állapotban van.

Ha nem akarjuk elveszíteni a tiszta és a vegyes állapotok közötti különbséget, akkor a tiszta állapotok halmazának (ekvivalens módon a hozzájuk tartozó valószínűségi függvények) súlyozott összegének ábrázolásához olyan módszerre van szükségünk, amely különbözik az őket reprezentáló (megfelelően súlyozott) vektorok összeadásától, és ez azt jelenti, hogy vagy a vegyes állapotok ábrázolásának alternatív módjára van szükségünk, vagy a tiszta és a vegyes állapotok ábrázolásának olyan egységes módjára, amely megőrzi a köztük lévő különbséget.A Hilbert-térben létezik egyfajta operátor, az úgynevezett sűrűségoperátor, amely jól használható az utóbbi minőségben, és kiderül, hogy nem nehéz újrafogalmazni mindent, amit az állapotvektorokról mondtunk, sűrűségoperátorok formájában. Tehát, bár gyakran beszélünk úgy, mintha a tiszta állapotokat vektorok reprezentálnák, a hivatalos szabály az, hogy a kvantummechanikában az állapotokat – a tiszta és a vegyes állapotokat egyaránt – sűrűségoperátorok reprezentálják.

Bár a kevert állapotok, mint mondtam, használhatók arra, hogy reprezentáljuk a tudatlanságunkat olyan rendszerek állapotáról, amelyek valójában egyik vagy másik tiszta állapotban vannak, és bár ez sokak számára megfelelő módszernek tűnt a keverékek értelmezésére klasszikus kontextusban, komoly akadályai vannak a kvantummechanikai keverékekre való általános alkalmazásának. Ezek részletes tárgyalása az Enciklopédia kvantummechanikáról szóló egyéb bejegyzéseiben található.

A megfigyelhető értékekről elmondottak szigorúan véve csak arra az esetre vonatkoznak, amikor a megfigyelhető értékek diszkrét halmazt alkotnak; a folyamatos megfigyelhető értékek esetére való általánosításhoz szükséges matematikai finomságok bonyolultak, és technikai jellegű problémákat vetnek fel. Ezeket is jobb, ha részletes tárgyalásra hagyjuk.

Ez az összes kezdeti előkészület, amire szükségünk van ahhoz, hogy megközelítsük a kvantummechanika filozófiai tárgyalását, de ez csak az első lépés. Minél többet tudunk meg a Hilbert-térben lévő vektorok és operátorok közötti és a köztük lévő kapcsolatokról,arról, hogy az egyszerű rendszerek terei hogyan kapcsolódnak az összetett rendszerekéhez,és arról az egyenletről, amely leírja, hogyan mozognak az állapotvektorok a térben, annál jobban fogjuk értékelni az elmélettel kapcsolatos problémák természetét és nehézségét. A kvantummechanikában az a vicces dolog, ami egy filozófus számára végtelenül magával ragadóvá teszi, hogy minél többet tanul az ember, annál nehezebbé válnak a problémák.