Mi a műszaki gerendaelmélet?

Egy szerkezeti elem vagy tag, amely a tag hossztengelye mentén erőknek és tengelykapcsolatoknak van kitéve. A tag jellemzően egy vagy több támasz között feszül, és tervezését általában a hajlítónyomatékok határozzák meg.

Euler-Bernoulli gerendaelmélet

Az Euler-Bernoulli-egyenlet leírja az alkalmazott terhelés és a gerenda eredő lehajlása közötti kapcsolatot, és matematikailag a következőképpen jelenik meg:

Ahol w az y irányban ható, eloszló terhelés vagy egységnyi hosszúságra jutó erő, és a gerenda Δ(x) lehajlása valamilyen x helyzetben. E a vizsgált anyag rugalmassági modulusa, I pedig a keresztmetszet középpontján áthaladó és az alkalmazott terhelésre merőleges tengelyre vonatkoztatott második területi nyomaték. Ha EI vagy a hajlítómerevség nem változik a gerenda mentén, akkor az egyenlet egyszerűsödik:

Mihelyt egy adott terhelés hatására bekövetkező lehajlás meghatározásra került, a gerendában lévő feszültségek a következő kifejezések segítségével számíthatóak ki:

A gerendában lévő hajlítónyomaték:

A gerendában lévő nyíróerő:

Tartókapcsolatok és reakciók

Négy különböző típusú kapcsolat létezik, amelyekkel általában találkozunk, amikor gerendákkal foglalkozunk, és mindegyik meghatározza, hogy a tartó milyen típusú terhelésnek tud ellenállni, valamint nemcsak a vizsgált tag teljes teherbírását, hanem a rendszerét is, amelynek a tag részét képezi.

Görgőtartók: szabadon forognak és elmozdulnak azon a felületen, amelyen a görgő nyugszik, és ennek következtében nem képesek ellenállni az oldalirányú erőknek. Az ilyen alátámasztások a felületre merőlegesen és attól távolodva ható egyedi reakcióerőnek vannak kitéve.

Betétes alátámasztások: lehetővé teszik, hogy a tag vagy gerenda elforduljon (néha csak egy irányban), de egyik irányban sem tud elmozdulni, azaz ellenállnak a függőleges és vízszintes erőknek, de a hajlítónyomatékoknak nem.

Fixált támaszok: mind az elfordulás, mind a transzláció ellen visszatartanak, és ellenállnak mind a függőleges, mind a vízszintes erőknek, valamint a hajlítónyomatékoknak.

Egyszerű támaszok: szabadon forognak és transzlálódnak a felület mentén, amelyen nyugszanak, minden irányban, de a felületre merőlegesen és a felülettől távolodva. Az egyszerű támaszok abban különböznek a görgős támaszoktól, hogy nem tudnak ellenállni semmilyen nagyságú oldalirányú terhelésnek.

A gerendák típusai

Simplán tartó gerenda: mindkét végén szabadon alátámasztva a tag szabadon forog a végtámaszpontokon, és nem áll ellen a hajlítónyomatékoknak. A gerenda végtámaszai képesek erőt kifejteni a gerendára, de elfordulnak, amikor a tag bármilyen terhelés hatására elhajlik.

Feszített gerenda: a tag mindkét végén rögzített a végpontok a függőleges és vízszintes irányú forgástól és mozgástól korlátozottak.

Feszített gerenda: a tag csak az egyik végén rögzített, a másik vége szabadon forog és szabadon mozog mind függőleges, mind vízszintes irányban.

Függőgerenda: olyan egyszerű gerenda, amely az egyik vagy mindkét végén túlnyúlik a támaszain.

Folyamatos: olyan gerenda, amely több mint két támaszon átnyúlik.

A mérnöki gerendaelmélet pontossága

A feltételezések miatt általános ökölszabály, hogy a legtöbb konfiguráció esetén a hajlítófeszültség és a keresztirányú nyírófeszültség egyenletei a 4-nél nagyobb hosszúság/magasság arányú gerendák esetében körülbelül 3%-os pontosságúak. A szerkezeti tervezés konzervatív jellege (terhelési tényezők) a legtöbb esetben kompenzálja ezeket a pontatlanságokat.Fontos továbbá megérteni és figyelembe venni a gerendát alkotó anyag(ok) típusát, a gerenda alakváltozásának módját, a gerenda geometriáját, beleértve a keresztmetszeti területet és a belső egyensúlyi helyzetet.

Feltételek és korlátozások

• A gerenda keresztmetszete a hosszához képest kicsinek tekinthető, ami azt jelenti, hogy a gerenda hosszú és vékony.
• A terhek a hossztengelyre keresztirányban hatnak, és a nyírási középponton haladnak át, kiküszöbölve minden torziót vagy csavart.
• A gerenda önsúlyát figyelmen kívül hagytuk, amit a gyakorlatban figyelembe kell venni.
• A gerenda anyaga homogén és izotróp, és minden irányban állandó Young-modullal rendelkezik mind nyomásra, mind húzásra.
• A középponti sík vagy semleges felület nulla tengelyirányú feszültségnek van kitéve, és nem megy keresztül semmilyen hosszváltozáson.
• A terhelésre adott válasz egydimenziós feszültség a hajlítás irányában.
• A lehajlásokat a gerenda teljes hosszához képest nagyon kicsinek feltételezzük.
• A keresztmetszet hajlítás közben sík és a hossztengelyre merőleges marad.
• A gerenda kezdetben egyenes, és a gerenda bármilyen elhajlása köríves ívet követ, amelynek görbületi sugarát a keresztmetszet méretéhez képest nagynak tekintjük.

Görbe gerendák és ívek

Míg a görbe gerendák tervezése megegyezik az egyenes gerendákéval, amikor a keresztmetszet méretei kicsik a görbületi sugárhoz képest, az elsődleges különbség a görbe gerendák és az ívek között az, hogy a görbületet olyan mértékben megnövelték, hogy az ívekben a tengelyirányú erők jelentősekké válnak.

Egy megjegyzés a hajlítónyomatékokról

A szerkezetépítésben a pozitív nyomatékot a tag húzóoldalára rajzolják, ami lehetővé teszi a gerendák és keretek könnyebb kezelését. Mivel a nyomatékokat ugyanabba az irányba rajzolják, amerre a tag terheléskor elméletileg meghajolna, könnyebb szemléltetni, hogy mi történik. A StructX a hajlítónyomatékok rajzolásának ezt a módját alkalmazza.

A gerendaegyenletek és a vonatkozó mérnöki számológépek itt találhatók.