A problémaSzerkesztés

A Henri Poincaré francia matematikus által 1904-ben felvetett Poincaré-feltevés a topológia egyik kulcsproblémája volt. A 3 gömb bármely hurokja – ahogyan azt a négydimenziós euklideszi térben az origótól 1 távolságra lévő pontok halmaza példázza – ponttá zsugorítható. A Poincaré-féle feltevés azt állítja, hogy minden olyan zárt háromdimenziós sokaság, amelyben bármely hurok ponttá húzható össze, topológiailag 3 gömb. Az analóg eredmény 1960 óta ismert, hogy ötnél nagyobb vagy azzal egyenlő dimenziókban is igaz, mint Stephen Smale munkájában. A négydimenziós eset tovább ellenállt, végül 1982-ben Michael Freedman oldotta meg. A három sokszögűek esete azonban mind közül a legnehezebbnek bizonyult. Nagyjából azért, mert egy háromrétegű sokszög topológiai manipulációja során túl kevés dimenzió áll rendelkezésre ahhoz, hogy a “problémás területeket” el lehessen tolni az útból anélkül, hogy valami mást ne zavarnánk. A háromdimenziós esethez a legalapvetőbb hozzájárulást Richard S. Hamilton produkálta. Perelman szerepe a Hamilton-program kiegészítése volt.

Perelman bizonyításaSzerkesztés

2002 novemberében Perelman három preprintje közül az elsőt tette közzé az arXiv-on, amelyben azt állította, hogy felvázolta a geometrizációs sejtés bizonyítását, amelynek a Poincaré-sejtés egy speciális esete. Ezt követte a másik két preprint 2003-ban.

Perelman módosította Richard S. Hamilton programját a sejtés bizonyítására. A központi gondolat a Ricci-áramlás fogalma. Hamilton alapötlete egy olyan “dinamikai folyamat” megfogalmazása, amelyben egy adott háromrétegű sokaság geometriai torzul, és a torzulási folyamatot egy, a hőegyenlethez analóg differenciálegyenlet szabályozza. A hőegyenlet (amely jóval korábban motiválta Riemannt, hogy megfogalmazza a zéta-függvény zérusaira vonatkozó Riemann-hipotézisét) olyan skalármennyiségek viselkedését írja le, mint például a hőmérséklet. Biztosítja, hogy a megemelkedett hőmérsékletű koncentrációk addig terjednek, amíg az egész tárgyban egyenletes hőmérsékletet nem érünk el. Hasonlóképpen, a Ricci-áramlás egy tenzoros mennyiség, a Ricci-görbületi tenzor viselkedését írja le. Hamilton azt remélte, hogy a Ricci-áramlás alatt a nagy görbületű koncentrációk addig terjednek, amíg az egész három sokszögben egységes görbületet nem érnek el. Ha ez így van, akkor, ha bármelyik háromrétegű sokaságból indulunk ki, és hagyjuk, hogy a Ricci-áramlás bekövetkezzen, akkor elvileg végül egyfajta “normálformát” kell kapnunk. William Thurston szerint ennek a normálformának egy kis számú lehetőség egyikét kell felvennie, amelyek mindegyike másfajta geometriával rendelkezik, ezeket nevezik Thurston-modellgeometriáknak.

Azzal azonban széles körben számoltak, hogy a folyamatot akadályozni fogja a “szingularitások” kialakulása. Az 1990-es években Hamilton előrelépést ért el a szingularitások lehetséges típusainak megértésében, amelyek előfordulhatnak, de nem tudott átfogó leírást adni. Perelman cikkei felvázoltak egy megoldást. Perelman szerint minden szingularitás vagy úgy néz ki, mint egy tengelyére összeeső henger, vagy mint egy középpontjára összeeső gömb. Ezzel a felismeréssel képes volt megalkotni a standard Ricci-áramlás egy módosítását, az úgynevezett Ricci-áramlás műtéttel, amely képes szisztematikusan, kontrollált módon kimetszeni a szinguláris régiókat, ahogy azok kialakulnak. A sebészeti Ricci-áramlás ötlete Hamilton egy 1993-as cikke óta létezett, aki 1997-ben sikeresen végrehajtotta azt magasabb dimenziós terek környezetében, bizonyos korlátozott geometriai feltételek mellett. Perelman sebészeti eljárása nagyjából hasonlított Hamiltonéhoz, de technikai szempontból markánsan különbözött tőle.

Perelman megmutatta, hogy minden véges idő alatt kialakuló szingularitás lényegében egy “becsípődés” bizonyos gömbök mentén, amelyek megfelelnek a 3-as sokaság prímszámú dekompozíciójának. Továbbá, minden “végtelen idejű” szingularitás a JSJ dekompozíció bizonyos összeeső darabjaiból adódik. Perelman munkája bizonyítja ezt az állítást, és ezzel bizonyítja a geometrizációs sejtést.

A három dolgozat tartalmát az alábbiakban foglaljuk össze:

• Az első preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, számos új technikát kínál a Ricci-áramlás vizsgálatában, amelynek legfőbb eredménye egy tétel, amely az áramlás nagy görbületű régióinak mennyiségi jellemzését adja.
• A második preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, kijavítja az első dolgozat néhány helytelen állítását és kiegészít néhány részletet, valamint az első dolgozat fő eredményét használja fel a műtéti eljárás előírására. A dolgozat második felét a végtelen ideig létező Ricci-áramlások elemzésének szenteli.
• A harmadik preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, egy olyan rövidítést ad a Poincaré-féle sejtés bizonyításához, amely elkerüli a második preprint második felének érveit. Megmutatja, hogy bármely olyan téren, amely kielégíti a Poincaré-féle sejtés feltételezéseit, a Ricci-áramlás műtéttel csak véges ideig létezik, így a Ricci-áramlás végtelen idejű elemzése irreleváns.

Tobias Colding és William Minicozzi II egy teljesen alternatív érvelést adott Perelman harmadik preprintjéhez képest. Az ő érvelésük, tekintettel néhány kifinomult, az 1980-as években kidolgozott geometriai mértékelméleti érv előfeltételére, különösen egyszerű.

VerificationEdit

Perelman preprintjei gyorsan elnyerték a matematikus közösség figyelmét, bár széles körben nehezen érthetőnek tartották őket, mivel kissé szűkszavúan voltak megírva. A tudományos matematikai publikációkban szokásos stílussal ellentétben sok technikai részletet kihagytak belőlük. Hamarosan nyilvánvalóvá vált, hogy Perelman jelentős mértékben hozzájárult a Ricci-áramlás alapjaihoz, bár a matematikus közösség számára nem volt azonnal világos, hogy ezek a hozzájárulások elegendőek a geometrizációs feltevés vagy a Poincaré-feltevés bizonyításához.

2003 áprilisában Perelman ellátogatott a Massachusetts Institute of Technology, a Princeton University, a Stony Brook University, a Columbia University és a New York University egyetemekre, hogy rövid előadássorozatot tartson munkájáról, és hogy tisztázzon néhány részletet az érintett területek szakértői számára.

2003 júniusában Bruce Kleiner és John Lott, mindketten akkor a University of Michiganről, jegyzeteket tettek közzé Lott weboldalán, amelyek szakaszról szakaszra kiegészítették Perelman első preprintjének számos részletét. 2004 szeptemberében a jegyzeteket frissítették, hogy azok tartalmazzák Perelman második preprintjét. További átdolgozások és javítások után 2006. május 25-én közzétettek egy változatot az arXiv-on, amelynek módosított változata 2008-ban jelent meg a Geometry & Topology című tudományos folyóiratban. A 2006-os Nemzetközi Matematikus Kongresszuson Lott azt mondta: “Eltartott egy ideig, amíg Perelman munkáját megvizsgáltuk. Ez részben Perelman munkájának eredetiségéből, részben pedig érveinek technikai kifinomultságából adódik. Minden jel arra mutat, hogy érvei helyesek”. Cikkük bevezetőjében Kleiner és Lott kifejtette

Perelman bizonyításai tömörek és időnként vázlatosak. E jegyzetek célja, hogy megadjuk azokat a részleteket, amelyek hiányoznak a … Ami a bizonyításokat illeti, tartalmaznak néhány helytelen állítást és hiányos érvelést, amelyekre igyekeztünk felhívni az olvasó figyelmét. (Néhány hibát a .-ban kijavítottunk.) Nem találtunk komoly problémákat, vagyis olyanokat, amelyek a Perelman által bevezetett módszerekkel nem javíthatók.”

Az Asian Journal of Mathematics 2006 júniusában közölte Zhu Xiping (Sun Yat-sen University, Kína) és Huai-Dong Cao (Lehigh University, Pennsylvania) cikkét, amelyben Perelman Poincaré és a geometrizációs feltevések bizonyításának teljes leírását adja. Kleiner és Lott cikkével ellentétben, amely Perelman cikkeihez fűzött megjegyzések gyűjteményeként épült fel, Cao és Zhu cikke közvetlenül a Poincaré-feltevés és a geometrizációs feltevés bizonyításának magyarázatára irányult. Bevezetésükben kifejtik

Ebben a cikkben a Ricci-áramlás Hamilton-Perelman-féle elméletét fogjuk bemutatni. Ennek alapján adjuk meg az első írásos beszámolót a Poincaré-féle sejtés és a Thurston-féle geometrizációs sejtés teljes bizonyításáról. Bár a teljes mű számos geometriai elemző felhalmozott erőfeszítése, a fő közreműködők kétségtelenül Hamilton és Perelman. Ebben a dolgozatban teljes és részletes bizonyításokat fogunk adni, különösen Perelman második dolgozatának munkájáról, amelyben a bizonyítások számos kulcsgondolata vázlatosan vagy vázlatosan szerepel, de a bizonyítások teljes részletei gyakran hiányoznak. Mint már korábban rámutattunk, Perelman több kulcsfontosságú érvét a mi tanulmányunk alapján új megközelítésekkel kell helyettesítenünk, mert nem tudtuk megérteni Perelman ezen eredeti érveit, amelyek nélkülözhetetlenek a geometrizálási program befejezéséhez.

2006 júliusában John Morgan a Columbia Egyetemről és Gang Tian a Massachusetts Institute of Technologyról az arXiv-on közzétett egy tanulmányt, amelyben részletesen bemutatták Perelman Poincaré-vetés bizonyítását. Kleiner-Lott és Cao-Zhu expozíciójától eltérően Morgan és Tian expozíciója Perelman harmadik dolgozatával is foglalkozik. 2006. augusztus 24-én Morgan előadást tartott a madridi ICM-en a Poincaré-vetésről, amelyben kijelentette, hogy Perelman munkáját “alaposan ellenőrizték”. 2008-ban Morgan és Tian közzétett egy tanulmányt, amely a geometrizációs sejtés bizonyításának részleteivel foglalkozott. Morgan és Tian két cikkét a Clay Mathematics Institute könyv formájában is megjelentette.

Az igazolások felülvizsgálataSzerkesztés

A fenti három kifejtést a megjelenés után átdolgozták. Kleiner-Lott és Morgan-Tian kifejtéseiben hibákat találtak (amelyek nem befolyásolták a nagy terjedelmet), míg Cao-Zhu kifejtését kritika érte a megfogalmazásuk és egy attribúciós hiba miatt.

A megjelenés óta Kleiner és Lott cikkét utólag kétszer is átdolgozták javítások miatt, például Hamilton fontos “tömörségi tételének” helytelen állítása miatt a Ricci-áramlásra vonatkozóan. Cikkük legutóbbi átdolgozása 2013-ban történt. 2015-ben Abbas Bahri rámutatott egy hibára Morgan és Tian kifejtésében, amelyet később Morgan és Tian kijavított, és egy alapvető számítási hibára vezette vissza.

Cao és Zhu cikkét a matematikai közösség egyes részei kritikával illették szóhasználatuk miatt, amelyet egyes megfigyelők úgy értelmeztek, hogy túl sok elismerést követelnek maguknak. Különösen az “alkalmazás” szó használatát a “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” címben és az “This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” mondatot az összefoglalóban emelték ki a kritika tárgyául. Amikor megkérdezték erről a kérdésről, Perelman azt mondta, hogy Cao és Zhu nem járultak hozzá semmi eredetivel, és egyszerűen csak átdolgozták a bizonyítását, mert “nem egészen értették az érvelést”. Ráadásul Cao és Zhu cikkének egyik oldala lényegében megegyezett Kleiner és Lott 2003-as bejegyzésének egyik oldalával. Egy közzétett javításban Cao és Zhu ezt egy tévedésnek tulajdonította, mondván, hogy 2003-ban jegyzeteket vettek fel Kleiner és Lott jegyzeteinek eredeti változatából, és 2006-os írásukban nem vették észre a jegyzetek megfelelő forrását. Egy átdolgozott változatot tettek közzé az arXiv-en, amelyben a megfogalmazásukban és a bizonyítás vonatkozó oldalán is átdolgoztak.

Jelenlegi álláspontokSzerkesztés

2020-ban még mindig vannak olyan matematikusok, akik – bár általánosan elismerik, hogy Perelman óriási előrelépéseket tett a Ricci-áramlás elméletében – nem fogadják el, hogy a Poincaré- és a geometrizációs feltevések bizonyítást nyertek. E megfigyelők számára a bizonyítás zavaró részei Perelman második preprintjének második felében találhatók. Például a Fields-érmes Shing-Tung Yau 2019-ben azt mondta, hogy

Bár eretnekség lehet, hogy ezt mondom, nem vagyok biztos benne, hogy a bizonyítás teljesen szögezve van. Meggyőződésem, ahogy már sokszor elmondtam, hogy Perelman zseniális munkát végzett a háromdimenziós terekben lévő szingularitások kialakulásával és szerkezetével kapcsolatban – olyan munkát, amely valóban méltó volt az általa elnyert Fields-éremre. Ebben nem kételkedem A helyzet az, hogy nagyon kevés szakértő van a Ricci-áramlás területén, és még nem találkoztam senkivel, aki azt állította volna, hogy teljes mértékben érti Perelman bizonyításának utolsó, legnehezebb részét Amennyire én tudom, senki sem vette át a Perelman által a dolgozatának vége felé bevezetett technikák egy részét, és nem használta őket sikeresen más jelentős probléma megoldására. Ez számomra azt sugallja, hogy más matematikusok sem ismerik még teljesen ezt a munkát és annak módszereit.

Ezzel szemben, amikor 2010-ben a Millenniumi díjat Perelmannak ítélték oda a “Poincaré-vetés feloldásáért”, a Fields-érmes Simon Donaldson a díj egyik laudációjában azt mondta

Akortól kezdve, amikor a Poincaré- és a Geometrizációs Vetésekkel kapcsolatos preprints megjelentek, a matematikusok szerte a világon egységesen fejezték ki elismerésüket, csodálatukat és csodálkozásukat rendkívüli teljesítménye miatt, és úgy vélem, hogy itt egész szellemi közösségünk képviselőjeként szólalok meg. Egy kiemelkedő, évszázados problémát old meg.”