Két alapvető képletet már ismerünk:
1) Összesen = n(Nincs halmaz) + n(Pontosan egy halmaz) + n(Pontosan két halmaz) + n(Pontosan három halmaz)

2) Összesen = n(A) + n(B) + n(C) – n(A és B) – n(B és C) – n(C és A) – n(C és A) + n(A és B és C) + n(Nincs halmaz)

Ebből a két képletből tudjuk levezetni az összes többit.

n(Pontosan egy halmaz) + n(Pontosan két halmaz) + n(Pontosan három halmaz) adja n(Legalább egy halmaz). Tehát megkapjuk:

3) Összesen = n(Nincs halmaz) + n(Legalább egy halmaz)

A (3)-ból megkapjuk: n(Legalább egy halmaz) = Összesen – n(Nincs halmaz)

Ezt a (2)-be illesztve megkapjuk:

4) n(Legalább egy halmaz) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A és B) – n(B és C) – n(C és A) + n(A és B és C)

Most nézzük, hogyan tudjuk kiszámítani, hányan vannak pontosan két halmazban. Nem véletlenül ugrottunk rá az n(Pontosan két halmazra), ahelyett, hogy a logikusabb következő lépést követtük volna az n(Legalább két halmaz) kiszámításával – intuitívabb lesz az n(Legalább két halmaz) kiszámítása, miután megtaláltuk az n(Pontosan két halmaz)-t.

az n(A és B) tartalmazza az A-ban és B-ben lévő embereket, és tartalmazza az A-ban, B-ben és C-ben lévő embereket is. Emiatt az n(A és B-ből) ki kell vennünk az n(A és B-ből) az n(A és C-ből), hogy megkapjuk az n(Csak A és B) értéket. Hasonlóképpen megkapjuk n(csak B és C) és n(csak C és A), így mindhárom összeadásával megkapjuk a pontosan két halmazban lévő emberek számát.

n(Pontosan két halmaz) = n(A és B) – n(A és B és C) + n(B és C) – n(A és B és C) + n(C és A) – n(A és B és C). Ezért:

5) n(Pontosan két halmaz) = n(A és B) + n(B és C) + n(C és A) – 3*n(A és B és C)

Most már könnyen megkaphatjuk n(Legalább két halmaz):

6) n(Legalább két halmaz) = n(A és B) + n(B és C) + n(C és A) – 2*n(A és B és C)

Ez éppen n(A és B és C) több, mint n(Pontosan két halmaz). Ennek van értelme, nem igaz? Itt azokat az embereket is beleszámítjuk, akik mindhárom halmazban egyszer szerepelnek, és n(Pontosan két halmaz) átalakul n(Legalább két halmaz)!!!

Most továbbmegyünk, hogy megtaláljuk n(Pontosan egy halmaz). Az n(Legalább egy halmaz) értékéből vonjuk ki az n(Legalább két halmaz) értéket; azaz. kivonjuk (6)-ot (4)-ből

n(Pontosan egy halmaz) = n(Legalább egy halmaz) – n(Legalább két halmaz), tehát:

7) n(Pontosan egy halmaz) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A és B) – 2*n(B és C) – 2*n(C és A) + 3*n(A és B és C)

Nem kell ezeket a képleteket megtanulni. Csak az első kettőre koncentrálj, és tudd, hogyan juthatsz a többire, ha szükséges. Próbáljuk ki ezt egy példafeladaton:

A 250 megkérdezett néző közül, akik a három TV-csatorna közül legalább egyet néznek, nevezetesen A, B &C. 116 nézi az A-t, 127 a C-t, míg 107 a B-t. Ha 50-en pontosan két csatornát néznek. Hányan néznek pontosan egy csatornát?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Azt kapjuk, hogy:

n(Legalább egy csatorna) = 250

n(Pontosan két csatorna) = 50

Így tudjuk, hogy n(Legalább egy csatorna) = n(Pontosan 1 csatorna) + n(Pontosan 2 csatorna) + n(Pontosan 3 csatorna) = 250

250 = n(Pontosan 1 csatorna). + 50 + n(Pontosan 3 csatorna)

Keresd meg az n(Pontosan 3 csatorna) = x

Azt is tudjuk, hogy n(Legalább egy csatorna) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A és B) – n(B és C) – n(C és A) + n(A és B és C) = 250

Szintén, n(Pontosan két csatorna) = n(A és B) + n(B és C) + n(C és A) – 3*n(A és B és C)

Szóval n(A és B) + n(B és C) + n(C és A) = n(Pontosan két csatorna) + 3*n(A és B és C)

A fenti egyenletbe illesztve:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Pontosan két csatorna) – 3*x + x