A Dirac-egyenlet az eredetileg Dirac által javasolt formában a következő:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}}

ahol ψ = ψ(x, t) az m nyugalmi tömegű elektron hullámfüggvénye x, t téridőkoordinátákkal. A p1, p2, p3 a Schrödinger-egyenletben az impulzus operátoraként értelmezett impulzus komponensek. Továbbá c a fénysebesség, ħ pedig a redukált Planck-állandó. Ezek az alapvető fizikai állandók a speciális relativitáselméletet, illetve a kvantummechanikát tükrözik.

Dirac célja az egyenlet felállításával az volt, hogy megmagyarázza a relativisztikusan mozgó elektron viselkedését, és így az atomot a relativitáselméletnek megfelelő módon lehessen kezelni. Meglehetősen szerény reménye az volt, hogy az így bevezetett korrekciók hatással lehetnek az atomspektrumok problémájára.

Addig az időpontig az atom régi kvantumelméletének a relativitáselmélettel való összeegyeztethetőségére tett kísérletek, amelyek az elektron esetleg nem körkörös pályáján az atommag körül tárolt szögimpulzus diszkretizálásán alapultak, kudarcot vallottak – és Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger és maga Dirac új kvantummechanikája nem fejlődött eléggé ahhoz, hogy ezt a problémát kezelni tudja. Bár Dirac eredeti szándékai teljesültek, egyenletének sokkal mélyebb következményei voltak az anyag szerkezetére nézve, és olyan új matematikai objektumosztályokat vezetett be, amelyek ma már az alapvető fizika alapvető elemei.

Az egyenlet új elemei a négy 4 × 4 mátrix α1, α2 , α3 és β, valamint a négykomponensű ψ hullámfüggvény. A ψ-nek azért van négy komponense, mert kiértékelése a konfigurációs tér bármely adott pontján biszpinor. Úgy értelmezhető, mint egy felspinningelt elektron, egy lespinningelt elektron, egy felspinningelt pozitron és egy lespinningelt pozitron szuperpozíciója (lásd alább a további tárgyalást).

A 4 × 4 mátrixok αk és β mindegyike hermitiánus és involutív:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}}

és ezek mind kölcsönösen antikommutálnak:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}

Ezeknek a mátrixoknak és a hullámfüggvény alakjának mély matematikai jelentősége van. A gamma-mátrixok által képviselt algebrai struktúrát mintegy 50 évvel korábban alkotta meg W. K. Clifford angol matematikus. Clifford elképzelései viszont a 19. század közepén Hermann Grassmann német matematikus Lineale Ausdehnungslehre (Lineáris kiterjesztések elmélete) című munkájából születtek. Ez utóbbit a kortársak többsége szinte érthetetlennek tartotta. Valami ilyen elvontnak tűnő dolog megjelenése, ilyen későn és ilyen közvetlen fizikai módon, a fizika történetének egyik legfigyelemreméltóbb fejezete.”

Az egyetlen szimbolikus egyenlet így négy összekapcsolt lineáris elsőrendű parciális differenciálegyenletre bomlik fel a hullámfüggvényt alkotó négy mennyiségre. Az egyenlet Planck-egységekben kifejezettebben így írható fel:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\\\psi _{2}\\\\\\psi _{3}\\\\\\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\+\psi _{3}\\\-\psi _{2}\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\\+\psi _{4}\\\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\\-\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}}}

amiből világosabbá válik, hogy négy ismeretlen függvényt tartalmazó négy parciális differenciálegyenletről van szó.

A Schrödinger-egyenlet relativisztikussá tételeSzerkesztés

A Dirac-egyenlet felületesen hasonló a tömeges szabad részecske Schrödinger-egyenletéhez:

– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

A bal oldal az impulzusoperátor négyzete osztva a tömeg kétszeresével, ami a nemrelativisztikus mozgási energia. Mivel a relativitáselmélet a teret és az időt egy egészként kezeli, ennek az egyenletnek a relativisztikus általánosítása megköveteli, hogy a tér- és időderiváltaknak szimmetrikusan kell belépniük, mint a fény viselkedését szabályozó Maxwell-egyenletekben – az egyenleteknek térben és időben azonos rendűnek kell lenniük differenciálisan. A relativitáselméletben az impulzus és az energiák egy téridővektor, a négyimpulzus tér- és időbeli részei, és a relativisztikusan invariáns összefüggéssel

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}

amely szerint ennek a négyvektornak a hossza arányos az m nyugalmi tömeggel. A Schrödinger-elméletből az energia és az impulzus operátor-egyenértékeit behelyettesítve megkapjuk a hullámok terjedését leíró, relativisztikusan invariáns objektumokból konstruált Klein-Gordon-egyenletet,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi }\phi }

mivel a hullámfüggvény ϕ egy relativisztikus skalár: olyan komplex szám, amelynek minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz a számértéke. A tér- és időderiváltak egyaránt másodrendűek. Ez sokatmondó következménnyel jár az egyenlet értelmezésére nézve. Mivel az egyenlet másodrendű az időderiváltban, a határozott problémák megoldásához meg kell adni mind magának a hullámfüggvénynek, mind annak első időderiváltjának kezdeti értékeit. Mivel mindkettő többé-kevésbé tetszőlegesen megadható, a hullámfüggvény nem tudja megtartani korábbi szerepét, hogy meghatározza az elektron adott mozgásállapotban való megtalálásának valószínűségi sűrűségét. A Schrödinger-elméletben a valószínűségi sűrűséget a pozitív definit kifejezés

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi } adja meg.

és ez a sűrűség a valószínűségi áramvektor

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})} }

mivel a valószínűségi áram és sűrűség megőrzése a folytonossági egyenletből következik:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}

A tény, hogy a sűrűség pozitív definit és konvektív e folytonossági egyenlet szerint, azt jelenti, hogy integrálhatjuk a sűrűséget egy bizonyos tartományon, és a végösszeget 1-re állíthatjuk, és ezt a feltételt a megőrzési törvény fenntartja. Egy megfelelő relativisztikus elméletnek, amely valószínűségi sűrűségáramot tartalmaz, szintén rendelkeznie kell ezzel a tulajdonsággal. Most, ha fenn akarjuk tartani a konvektív sűrűség fogalmát, akkor a sűrűség és az áram Schrödinger-kifejezését úgy kell általánosítanunk, hogy a tér- és időderiváltak ismét szimmetrikusan lépjenek be a skalárhullámfüggvényhez képest. Az áramra vonatkozó Schrödinger-kifejezést megtarthatjuk, de a valószínűségi sűrűséget a szimmetrikusan képzett kifejezéssel kell helyettesítenünk

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}\partiális _{t}\psi -\psi \partiális _{t}\psi ^{*})~.}

amely most egy téridővektor 4. komponensévé válik, és a teljes valószínűségi 4 áram-sűrűségnek a relativisztikusan kovariáns kifejezése

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partiális ^{\mu }\psi -\psi \partiális ^{\mu }\psi ^{*})~.}

A folytonossági egyenlet a korábbiak szerint. Most már minden kompatibilis a relativitáselmélettel, de rögtön látjuk, hogy a sűrűségre vonatkozó kifejezés már nem pozitív definit – mind ψ, mind ∂tψ kezdeti értékei szabadon megválaszthatók, és a sűrűség így negatívvá válhat, ami egy törvényszerű valószínűségi sűrűség esetében lehetetlen. Így nem kaphatjuk meg a Schrödinger-egyenlet egyszerű általánosítását azzal a naiv feltételezéssel, hogy a hullámfüggvény egy relativisztikus skalár, és az általa kielégített egyenlet másodrendű az időben.

Bár nem sikeres relativisztikus általánosítása a Schrödinger-egyenletnek, ez az egyenlet feltámadt a kvantumtérelmélet összefüggésében, ahol Klein-Gordon-egyenletként ismert, és egy spin nélküli részecskemezőt (pl. pi-mezon vagy Higgs-bozon) ír le. Történetileg Schrödinger maga is előbb jutott el ehhez az egyenlethez, mint a nevét viselő egyenlethez, de hamarosan elvetette azt. A kvantumtérelmélet kontextusában a határozatlan sűrűségen a töltéssűrűséget értjük, amely lehet pozitív vagy negatív, és nem a valószínűségi sűrűséget.

Dirac puccsEdit

Dirac tehát úgy gondolta, hogy olyan egyenletet próbál ki, amely mind térben, mind időben elsőrendű. Lehetne például formálisan (pl. a jelöléssel visszaélve) az energia relativisztikus kifejezését

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}

helyettesítsük p-t az operátor megfelelőjével, terjesszük ki a négyzetgyökét egy végtelen deriváltoperátor-sorozatban, állítsuk fel a sajátérték-problémát, majd iterációkkal oldjuk meg az egyenletet formálisan. A legtöbb fizikus kevéssé bízott egy ilyen eljárásban, még ha technikailag lehetséges is lenne.

A történet szerint Dirac Cambridge-ben a kandallóba bámult, és ezen a problémán töprengett, amikor rátalált arra az ötletre, hogy így vegye ki a hullámoperátor négyzetgyökét:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}

A jobb oldalt kiszorozva azt látjuk, hogy ahhoz, hogy az összes kereszttétel, például ∂x∂y eltűnjön, fel kell tételeznünk

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

mivel

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, aki éppen akkoriban foglalkozott intenzíven a Heisenberg-féle mátrixmechanika alapjainak kidolgozásával, azonnal megértette, hogy ezek a feltételek teljesülhetnek, ha A, B, C és D mátrixok, amiből következik, hogy a hullámfüggvénynek több összetevője van. Ez azonnal megmagyarázta a kétkomponensű hullámfüggvények megjelenését Pauli fenomenológiai spinelméletében, amit addig még maga Pauli is rejtélyesnek tartott. A szükséges tulajdonságokkal rendelkező rendszer felállításához azonban legalább 4 × 4 mátrixra van szükség – tehát a hullámfüggvénynek négy komponense volt, nem pedig kettő, mint a Pauli-elméletben, vagy egy, mint a puszta Schrödinger-elméletben. A négykomponensű hullámfüggvény a fizikai elméletekben a matematikai objektumok egy új osztályát képviseli, amely itt jelenik meg először.

Ezeknek a mátrixoknak a faktorizálását adjuk meg, most azonnal felírhatunk egy egyenletet

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

with κ {\displaystyle \kappa }

meghatározandó. Ismét alkalmazva a mátrixoperátort mindkét oldalon, megkapjuk ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Mivel κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}}

azt találjuk, hogy a hullámfüggvény minden összetevője egyenként kielégíti a relativisztikus energia-momentum összefüggést. Így a keresett, térben és időben egyaránt elsőrendű egyenlet ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}

beállítás

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}

és mivel D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}

a Dirac-egyenletet a fent leírtak szerint kapjuk.

Kovariáns forma és relativisztikus invarianciaSzerkesztés

Az egyenlet relativisztikus invarianciájának szemléltetéséhez előnyös olyan formába önteni, amelyben a tér- és időderiváltak egyenrangúan jelennek meg. Új mátrixokat vezetünk be a következőképpen:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

és az egyenlet a következő formát ölti (emlékezve a 4-gradiensre és különösen arra, hogy ∂0 = 1/c∂t )

ahol a kétszer ismétlődő μ = 0, 1, 2, 3 index értékei felett implicit összegzés van, ∂μ pedig a 4-gradiens. A gyakorlatban a gammamátrixokat gyakran a Pauli-mátrixokból és a 2 × 2 azonossági mátrixból vett 2 × 2 almátrixokkal írjuk fel. Explicit módon a standard ábrázolás

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

A teljes rendszert a téridő Minkowski-metrika segítségével foglaljuk össze

{ γ μ , γ ν } formában. = 2 η μ ν I 4 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}\=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}}

ahol a zárójeles kifejezés

{ a , b } = a b + b a {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}

az antikommutátort jelöli. Ezek egy Clifford-algebra meghatározó relációi egy (+ – – -) metrikus szignatúrájú 4 dimenziós pszeudo-ortogonális tér fölött. A Dirac-egyenletben alkalmazott konkrét Clifford-algebrát ma Dirac-algebraként ismerjük. Bár az egyenlet megfogalmazásakor Dirac nem ismerte fel ezt, utólag visszatekintve ennek a geometriai algebrának a bevezetése óriási előrelépést jelent a kvantumelmélet fejlődésében.

A Dirac-egyenlet ma már sajátérték-egyenletként értelmezhető, ahol a nyugalmi tömeg arányos a 4-momentumoperátor egyik sajátértékével, az arányossági állandó pedig a fénysebesség:

P o p ψ = m c ψ . {\displaystyle P_{\mathrm {op} }\psi =mc\psi ~.}

Using ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {\displaystyle {\partial \!\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ \gamma ^{\mu }\partial _{\mu}}

( ∂ / {\displaystyle {\partial \!\!\!\!\!{\big /}}}}}

kiejtése “d-slash”), a Feynman-féle slash jelölés szerint a Dirac-egyenlet a következő lesz: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {\displaystyle i\hbar {\partiális \!\!\!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0.}

A fizikusok a gyakorlatban gyakran használnak olyan mértékegységeket, amelyek ħ = c = 1, az úgynevezett természetes mértékegységeket. Az egyenlet ekkor az egyszerű formát ölti

Egy alaptétel szerint, ha adott két különböző mátrixhalmaz, amelyek mindketten kielégítik a Clifford-relációkat, akkor hasonlósági transzformációval kapcsolódnak egymáshoz:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Ha ráadásul a mátrixok mind unitárisak, mint a Dirac-halmaz, akkor maga S is unitáris;

γ μ ′ = U † γ μ U . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

Az U transzformáció egy 1 abszolút értékű multiplikatív tényezőig egyedi. Képzeljük most el, hogy a tér- és időkoordinátákon, valamint a deriváltoperátorokon, amelyek egy kovariáns vektort alkotnak, Lorentz-transzformációt hajtottunk végre. Ahhoz, hogy a γμ∂μ operátor invariáns maradjon, a gammáknak egymás között kontravariáns vektorként kell transzformálódniuk téridőindexük tekintetében. Ezek az új gammák a Lorentz-transzformáció ortogonalitása miatt maguk is kielégítik a Clifford-relációkat. Az alaptétel alapján az új halmazt helyettesíthetjük a régi halmazzal egy unitárius transzformációnak alávetve. Az új keretben, emlékezve arra, hogy a nyugalmi tömeg egy relativisztikus skalár, a Dirac-egyenlet ekkor a következő formát ölti

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}}

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partiális _{\mu }^{\prime }-m)U\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Ha most definiáljuk az átalakított spinort

ψ ′ = U ψ {\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }

akkor megkapjuk a transzformált Dirac-egyenletet oly módon, hogy a manifeszt relativisztikus invariánssá válik:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partiális _{\mu }^{\prime }-m)\psi ^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Ha tehát egyszer megállapodtunk a gammák bármelyik unitárius ábrázolásában, az végleges, feltéve, hogy a spinort az adott Lorentz-transzformációnak megfelelő unitárius transzformáció szerint alakítjuk át.

A Dirac-mátrixok különböző alkalmazott reprezentációi a Dirac-hullámfüggvény fizikai tartalmának sajátos aspektusait fogják előtérbe helyezni (lásd alább). Az itt bemutatott reprezentációt standard reprezentációnak nevezzük – ebben a hullámfüggvény felső két komponense átmegy Pauli 2 spinor hullámfüggvényébe kis energiák és a fényhez képest kis sebességek határán.

A fenti megfontolások felfedik a gammák geometriai eredetét, visszautalva Grassmann eredeti motivációjára – az egységvektorok rögzített alapját képviselik a téridőben. Hasonlóképpen a gammák termékei, mint például a γμγν, orientált felületelemeket képviselnek, és így tovább. Ezt szem előtt tartva a következőképpen találhatjuk meg az egységnyi térfogatelem alakját a téridőben a gammák szempontjából. A definíció szerint ez

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β β γ μ γ ν γ α γ β . {\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}

Hogy ez invariáns legyen, az epsilon szimbólumnak tenzornak kell lennie, tehát √g faktorát kell tartalmaznia, ahol g a metrikus tenzor determinánsa. Mivel ez negatív, ez a faktor képzeletbeli. Így

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Ez a mátrix a γ5 speciális szimbólumot kapta, annak fontossága miatt, amikor a téridő nem megfelelő, azaz az alapvektorok orientációját megváltoztató transzformációkat vizsgáljuk. A standard ábrázolásban ez

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Ezt a mátrixot a másik négy Dirac-mátrixszal is antikommutálónak találjuk:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}

Vezető szerepet kap, amikor a paritás kérdései merülnek fel, mert a térfogati elem mint irányított nagyság téridő-tükrözés hatására előjelet vált. A fenti pozitív négyzetgyök felvétele tehát egyenlő a téridőre vonatkozó kéztartási konvenció megválasztásával.

A valószínűségi áram megőrzéseSzerkesztés

Az adjungált spinor

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}

ahol ψ† a ψ konjugált transzponálása, és megjegyezve, hogy

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

a Dirac-egyenlet hermitiánus konjugáltját véve és jobbról γ0-val szorozva megkapjuk az adjungált egyenletet:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}

ahol ∂μ balra hatónak értendő. A Dirac-egyenletet balról ψ-vel, az adjungált egyenletet pedig jobbról ψ-vel szorozva és összeadva megkapjuk a Dirac-áram megőrzésének törvényét:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partial _\\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0~.}

Most látjuk az elsőrendű egyenlet nagy előnyét a Schrödinger által próbált egyenlethez képest – ez a relativisztikus invariancia által megkövetelt konzervált áramsűrűség, csak most a 4. összetevője pozitív definit, és így alkalmas a valószínűségi sűrűség szerepére:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi ~.}

Mivel a valószínűségi sűrűség most egy relativisztikus vektor negyedik komponenseként jelenik meg, és nem egyszerű skalárként, mint a Schrödinger-egyenletben, a Lorentz-transzformációk szokásos hatásainak, például az időtágulásnak lesz kitéve. Így például az olyan atomi folyamatok, amelyeket sebességként figyelünk meg, szükségszerűen a relativitáselméletnek megfelelő módon módosulnak, míg az energia és az impulzus mérésével járó folyamatok, amelyek maguk is relativisztikus vektort alkotnak, párhuzamos kiigazításon mennek keresztül, amely megőrzi a megfigyelt értékek relativisztikus kovarianciáját. Maga a Dirac-áram ekkor a téridő-kovariáns négyvektor:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }=\bar {\psi }\gamma ^{\mu }\psi .}

SolutionsEdit

A Dirac-egyenlet megoldásának részleteit lásd a Dirac-spinornál. Megjegyezzük, hogy mivel a Dirac-operátor négyzetintegrálható függvények 4-tupláján hat, megoldásainak ugyanannak a Hilbert-térnek a tagjainak kell lenniük. Az a tény, hogy a megoldások energiáinak nincs alsó korlátja, váratlan – további részletekért lásd a lyukelmélet fejezetet alább.

Összehasonlítás a Pauli-elmélettelSzerkesztés

A fél egész spin bevezetésének szükségessége kísérletileg a Stern-Gerlach-kísérlet eredményeire vezethető vissza. Egy atomnyalábot erős inhomogén mágneses téren vezetnek keresztül, amely ezután az atomok saját szögimpulzusától függően N részre hasad. Megállapították, hogy az ezüstatomok esetében a sugár kettéhasad – az alapállapot tehát nem lehet egész számú, mert még ha az atomok belső szögimpulzusa a lehető legkisebb, 1 is lenne, a sugár három részre hasadna, ami az Lz = -1, 0, +1 értékű atomoknak felelne meg. A következtetés az, hogy az ezüstatomok nettó belső szögimpulzusa 1⁄2 . Pauli felállított egy elméletet, amely ezt a felhasadást egy kétkomponensű hullámfüggvény és egy megfelelő korrekciós kifejezés bevezetésével magyarázta a Hamilton-függvényben, amely ennek a hullámfüggvénynek egy alkalmazott mágneses térrel való félklasszikus csatolását jelenti, ahogyan az SI-egységekben is: (Megjegyzendő, hogy a félkövér betűk euklideszi vektorokat jelentenek 3 dimenzióban, míg a Minkowski négyvektor Aμ a következőképpen definiálható: A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )} }

.). H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Itt A és ϕ {\displaystyle \phi }

az elektromágneses négypotenciál összetevőit jelentik a szabványos SI-egységekben, a három szigma pedig a Pauli-mátrixokat. Az első tag négyzetre emelésével a mágneses mezővel való maradék kölcsönhatást találjuk, valamint az alkalmazott mezővel kölcsönhatásba lépő töltött részecske szokásos klasszikus Hamilton-egyenletét SI-egységekben: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}

Ez a Hamilton-egyenlet most egy 2 × 2 mátrix, így a rajta alapuló Schrödinger-egyenletnek kétkomponensű hullámfüggvényt kell használnia. A külső elektromágneses 4-vektoros potenciál hasonló módon történő bevezetésekor a Dirac-egyenletbe, amit minimális csatolásnak nevezünk, az a következő formát veszi fel:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

A Dirac-operátor második alkalmazása most pontosan úgy reprodukálja a Pauli-tételt, mint korábban, mivel az i-vel szorzott térbeli Dirac-mátrixoknak ugyanazok a négyzetes és kommutációs tulajdonságai, mint a Pauli-mátrixoknak. Mi több, az elektron gyromágneses arányának értéke, amely Pauli új terminusa előtt áll, első elvekből magyarázható. Ez volt a Dirac-egyenlet egyik legnagyobb eredménye, és nagy hitet adott a fizikusoknak az egyenlet általános helyességében. Van azonban ennél több is. A Pauli-elméletet a Dirac-elmélet alacsony energiájú határértékének tekinthetjük a következő módon. Először is az egyenletet a 2-spinorokra vonatkozó kapcsolt egyenletek formájában írjuk fel az SI-egységek helyreállításával:

( ( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

so

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}

Feltéve, hogy a tér gyenge és az elektron mozgása nemrelativisztikus, az elektron teljes energiája megközelítőleg megegyezik a nyugalmi energiájával, és az impulzus átmegy a klasszikus értékre,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf{v} }

és így a második egyenlet felírható

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

amely v/c nagyságrendű – tehát tipikus energiák és sebességek esetén, a Dirac-spinor alsó komponensei a standard ábrázolásban jóval elnyomottabbak a felső komponensekhez képest. Ezt a kifejezést az első egyenletbe behelyettesítve némi átrendezés után

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

A bal oldali operátor a részecske nyugalmi energiájával csökkentett energiát jelenti, ami éppen a klasszikus energia, tehát Pauli elméletét akkor nyerjük vissza, ha a 2-spinorját azonosítjuk a Dirac-spinor felső komponenseivel a nemrelativisztikus közelítésben. Egy további közelítés a Pauli-elmélet határértékeként a Schrödinger-egyenletet adja. Így a Schrödinger-egyenletet a Dirac-egyenlet távoli nemrelativisztikus közelítésének tekinthetjük, amikor elhanyagolhatjuk a spint, és csak kis energiákon és sebességeken dolgozhatunk. Ez is nagy diadal volt az új egyenlet számára, mivel a benne megjelenő rejtélyes i-t és a komplex hullámfüggvény szükségességét a Dirac-algebrán keresztül visszavezette a téridő geometriájára. Rávilágít arra is, hogy a Schrödinger-egyenlet, bár felületesen egy diffúziós egyenlet formájában, valójában miért ábrázolja a hullámok terjedését.

Keményen hangsúlyozni kell, hogy a Dirac-spinornak ez a nagy és kis komponensekre való szétválasztása kifejezetten egy alacsony energiájú közelítéstől függ. A teljes Dirac-spinor egy redukálhatatlan egészet képvisel, és azok a komponensek, amelyeket az imént elhanyagoltunk, hogy eljussunk a Pauli-elmélethez, új jelenségeket hoznak a relativisztikus rezsimben – az antianyagot és a részecskék keletkezésének és megsemmisülésének gondolatát.

Összehasonlítás a Weyl-elmélettelMódosítás

A m → 0 határértékben a Dirac-egyenlet a Weyl-egyenletre redukálódik, amely relativisztikus tömeg nélküli spin-1⁄2 részecskéket ír le.

Dirac LagrangianEdit

A Dirac-egyenletet és az Adjoint Dirac-egyenletet is megkaphatjuk az akció (variálásából) egy adott Lagrange-sűrűséggel, amely a következővel adódik:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }\psi }\psi }