Mobil értesítés megjelenítése Összes jegyzet megjelenítése Összes jegyzet elrejtése

4. fejezet : Többszörös integrálok

A Számtan I-ben az integrálok témakörére tértünk át, miután befejeztük a deriváltak tárgyalását. Ugyanez igaz ebben a kurzusban is. Most, hogy befejeztük az egynél több változós függvények deriváltjainak tárgyalását, tovább kell lépnünk a két vagy három változós függvények integráljaira.

A legtöbb derivált témakör kissé természetesen bővült az I. Számítás témakörből, és ez itt sem lesz másképp. Mivel azonban most két vagy három változó függvényeivel foglalkozunk, lesz néhány különbség is. Lesznek új jelölések és néhány új kérdés, amelyek egyszerűen nem merülnek fel, amikor egyváltozós függvényekkel foglalkozunk.

Itt van a fejezetben tárgyalt témák listája.

Kettős integrálok – Ebben a fejezetben formálisan definiáljuk a kettős integrált, valamint megadjuk a kettős integrál gyors értelmezését.

Iterált integrálok – Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a Fubini-tétel hogyan használható olyan kettős integrálok kiértékelésére, ahol az integrálási tartomány egy téglalap.

Kettős integrálok általános tartományok felett – Ebben a fejezetben elkezdjük a kettős integrálok kiértékelését általános tartományok felett, azaz olyan tartományok felett, amelyek nem téglalapok. Megmutatjuk, hogy egy függvény kettős integrálja hogyan értelmezhető a függvény által adott felület és a \(xy\)-sík közötti térfogat nettó térfogataként.

Kettős integrálok polárkoordinátákban – Ebben a részben a kartézi koordinátákban megadott integrálok (beleértve a \(dA\)) polárkoordinátákba való átváltásával foglalkozunk. Az integrálási tartományok ezekben az esetekben a korongok vagy gyűrűk egésze vagy egy része lesz, ezért ezeknek a tartományoknak az eredeti kartéziánus határértékeit is át kell alakítanunk polárkoordinátákba.

Háromszoros integrálok – Ebben a szakaszban a hármas integrált definiáljuk. Jó néhány példát is bemutatunk az integrálási határok felállítására a háromdimenziós integrálási tartományból. Az integrálás határainak meghatározása gyakran a nehéz része ezeknek a feladatoknak.

Háromszoros integrálok hengeres koordinátákban – Ebben a részben a kartézi koordinátákban lévő integrálok (beleértve a \(dV\)) átalakítását hengeres koordinátákba. Ezen területek eredeti kartéziánus határértékeit is átváltjuk hengeres koordinátákba.

Háromszoros integrálok gömbi koordinátákban – Ebben a szakaszban megnézzük az integrálok (beleértve az \(dV\)) átváltását kartéziánus koordinátákban gömbi koordinátákba. Ezen tartományok eredeti kartéziánus határértékeit is gömbi koordinátákra alakítjuk át.

Változók változása – Az előző szakaszokban kartéziánus koordinátákat alakítottunk át poláris, hengeres és gömbi koordinátákra. Ebben a szakaszban általánosítjuk ezt az elképzelést, és megvitatjuk, hogyan alakítjuk át a kartéziánus koordinátákban lévő integrálokat alternatív koordinátarendszerekbe. Ebben a részben a \(dV\) átváltási képlet levezetése is szerepel, amikor gömbi koordinátákba konvertáljuk.

Felület területe – Ebben a részben megmutatjuk, hogyan lehet egy kettős integrál segítségével meghatározni egy felület azon részének területét, amely a kétdimenziós térben egy régió felett helyezkedik el.

Felület és térfogat újragondolva – Ebben a részben összefoglaljuk a fejezet különböző terület és térfogat képleteit.