ArisztotelészSzerkesztés

A legkorábbi ismert megfogalmazás Arisztotelésznek az ellentmondásmentesség elvéről szóló értekezésében található, amelyet először Az értelmezésről című művében javasolt, ahol azt mondja, hogy két ellentmondásos tétel közül (vagyis amikor az egyik tétel a másik tagadása) az egyiknek igaznak, a másiknak hamisnak kell lennie. A Metafizika 3. könyvében is elvként fogalmazza meg, mondván, hogy minden esetben szükséges az igenlés vagy a tagadás, és lehetetlen, hogy egy ellentmondás két része között bármi is legyen.

Aristotelész azt írja, hogy a kétértelműség a kétértelmű nevek használatából eredhet, de magában a tényállásban nem létezhet:

Az tehát lehetetlen, hogy az “embernek lenni” pontosan azt jelentse, hogy “nem embernek lenni”, ha az “ember” nemcsak egy tárgyról jelent valamit, hanem egy jelentéssel is bír. … És nem lesz lehetséges, hogy ugyanaz a dolog legyen és ne legyen, csakis egy kétértelműség folytán, éppúgy, mintha valaki, akit mi “embernek” nevezünk, mások pedig “nem-embernek” neveznének; de a kérdéses pont nem ez, hogy ugyanaz a dolog lehet-e egyszerre ember és nem lehet egyszerre ember név szerint, hanem az, hogy lehet-e ténylegesen ember. (Metafizika 4.4, W. D. Ross (ford.), GBWW 8, 525-526).

Aristotelész állítása, miszerint “nem lesz lehetséges, hogy ugyanaz a dolog legyen és ne legyen”, amit az állítmányi logikában ¬(P ∧ ¬P) alakban írnánk le, a modern logikusok a kizárt közép törvényének (P ∨ ¬P) nevezhetnék, mivel Arisztotelész állításának tagadásának felosztása egyenértékűvé teszi őket, függetlenül attól, hogy az előbbi azt állítja, hogy nincs olyan állítás, amely egyszerre igaz és hamis, míg az utóbbi azt követeli meg, hogy bármely állítás vagy igaz vagy hamis.

De Arisztotelész azt is írja, hogy “mivel lehetetlen, hogy az ellentmondások egyszerre igazak legyenek ugyanarra a dologra, nyilvánvalóan az ellentétek sem tartozhatnak egyszerre ugyanahhoz a dologhoz” (IV. könyv, CH 6, 531. o.). Ezután azt javasolja, hogy “az ellentmondások között nem lehet közbülső, hanem egy alanyról bármelyik predikátumot vagy állítanunk, vagy tagadnunk kell” (IV. könyv, CH 7, 531. o.). Arisztotelész hagyományos logikájának kontextusában ez a kizárt közép törvényének, P ∨ ¬P, figyelemre méltóan pontos megfogalmazása.

Az Értelmezésről szóló fejezetben Arisztotelész a tengeri csatáról szóló értekezésében szintén tagadni látszik a kizárt közép törvényét a jövőbeli kontingensek esetében.

LeibnizEdit

A szokásos formája: “Minden ítélet vagy igaz vagy hamis” …” (Kolmogorovtól in van Heijenoort, p. 421) 9. lábjegyzet: “Ez Leibniz nagyon egyszerű megfogalmazása (lásd Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid 421. o.)

Bertrand Russell és a Principia MathematicaSzerkesztés

Az elvet Russell és Whitehead a Principia Mathematica-ban a következő módon fogalmazta meg a propozíciós logika tételeként:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \ \ \vdash .\ p\ \ \vee \thicksim p}

.

Szóval mi is az “igazság” és a “hamisság”? A megnyitón PM gyorsan közöl néhány definíciót:

igazság-értékek. Egy tétel “igazságértéke” akkor igazság, ha igaz, és akkor hamisság, ha hamis* …a “p ∨ q” igazságértéke akkor igazság, ha akár p, akár q igazságértéke igazság, egyébként pedig hamisság … a “~ p” igazságértéke a p igazságértékének az ellentéte…”. (7-8. o.)

Ez nem sokat segít. De később, egy sokkal mélyebb értekezésben (“Az igazság és a hamisság meghatározása és szisztematikus kétértelműsége” II. fejezet III. rész, 41. o. ff) PM az igazságot és a hamisságot az “a” és a “b”, valamint az “észlelő” közötti viszony szempontjából határozza meg. Például “Ez az ‘a’ ‘b'” (pl. “Ez az ‘a’ tárgy ‘piros'”) valójában azt jelenti, hogy “‘a’ tárgy egy érzéklet-dátum” és “‘piros’ egy érzéklet-dátum”, és ezek “viszonyban állnak” egymással és az “én”-nel. Így azt értjük valójában: “Azt érzékelem, hogy ‘Ez az a tárgy piros'”, és ez egy tagadhatatlan-harmadik fél által megcáfolt “igazság”.”

APM továbbá különbséget tesz az “érzék-datum” és az “érzet” között:

Azt, hogy amikor megítéljük (mondjuk), hogy “ez piros”, akkor három fogalom, az elme, az “ez” és a “piros” viszonya jön létre. Másrészt, amikor azt érzékeljük, hogy “ez a vörös”, akkor két terminus, nevezetesen az elme és az összetett tárgy, “ennek a vörössége” viszonya áll fenn (43-44. o.).

Russell a PM-mel (1910-1913) egy időben megjelent The Problems of Philosophy (1912) című könyvében megismételte az “érzék-datum” és az “érzékelés” közötti megkülönböztetést:

Adjuk az “érzék-datum” nevet az érzékelésben közvetlenül megismerhető dolgoknak: olyanoknak, mint a színek, hangok, szagok, keménységek, érdességek stb. Adjuk az “érzékelés” nevet annak az élménynek, hogy ezeket a dolgokat közvetlenül tudatosítjuk… Maga a szín egy érzékelési adat, nem pedig szenzáció. (12. o.)

Russell ugyanebben a könyvben (XII. fejezet, Igazság és hamisság) tovább fejtette ki az “igazság” és a “hamisság” definíciói mögötti érvelését.

A kizárt közép törvényének következményei a Principia Mathematica-banSzerkesztés

A kizárt közép törvényéből, a Principia Mathematica ✸2.1. képletéből Whitehead és Russell a logikus érvelési eszköztárának néhány leghatásosabb eszközét vezeti le. (A Principia Mathematica-ban a formulákat és tételeket egy vezető csillaggal és két számmal azonosítjuk, például “✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p “Ez a kizárt közép törvénye” (PM, 101. o.).

A ✸2.1 bizonyítása nagyjából a következő: Az 1.08-as “alapgondolat” szerint p → q = ~p ∨ q. Ha ebbe a szabályba p-t helyettesítjük q-val, akkor p → p = ~p ∨ p. Mivel p → p igaz (ez a 2.08-as tétel, amit külön bizonyítunk), akkor ~p ∨ p-nek igaznak kell lennie.

✸2.11 p ∨ ~p (Az állítások permutációját az 1.4. axióma megengedi)
✸2.12 p → ~(~p) (A kettős tagadás elve, 1. rész: ha “ez a rózsa piros” igaz, akkor nem igaz, hogy “‘ez a rózsa nem piros’ igaz”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma a 2.12-vel együtt felhasználva a 2.14 levezetéséhez)
✸2.14 ~(~p) → p (A kettős tagadás elve, 2. rész)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (A négy “transzpozíciós elv” egyike. Hasonló az 1.03, 1.16 és 1.17 pontokhoz. Itt nagyon hosszú bizonyításra volt szükség.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Ha igaz, hogy “Ha ez a rózsa piros, akkor ez a malac repül”, akkor igaz, hogy “Ha ez a malac nem repül, akkor ez a rózsa nem piros”.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Egy másik a “transzpozíció elvei” közül.)
✸2.18 (~p → p) → p (Úgynevezett “A reductio ad absurdum kiegészítése. Azt állítja, hogy egy olyan tétel, amely saját hamisságának hipotéziséből következik, igaz.” (PM, 103-104. o.))

A legtöbb ilyen tételt – különösen a ✸2.1, ✸2.11 és ✸2.14 tételeket – az intuicionizmus elutasítja. Ezeket az eszközöket egy másik formába öntik át, amelyet Kolmogorov “Hilbert négy implikációs axiómája” és “Hilbert két negációs axiómája” néven idéz (Kolmogorov in van Heijenoort, 335. o.).

A ✸2.12 és ✸2.14 tételek, “kettős negáció”: The intuitionist writings of L. E. J. J. Brouwer hivatkozik arra, amit ő “a többszörös fajok kölcsönösségének elvének nevez, vagyis arra az elvre, hogy minden rendszer esetében egy tulajdonság helyessége következik e tulajdonság lehetetlenségének lehetetlenségéből” (Brouwer, ibid, 335. o.).

Ezt az elvet általában “a kettős negáció elvének” nevezik (PM, 101-102. o.). A kizárt közép törvényéből (✸2.1 és ✸2.11) a PM azonnal levezeti a ✸2.12. elvet. A 2.11-ben a p-t ~p-vel helyettesítjük, így ~p ∨ ~(~p) lesz, és az implikáció definíciója szerint (azaz 1.01 p → q = ~p ∨ q) akkor ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (A 2.14 levezetése egy kicsit bonyolultabb.)

ReichenbachEdit

Ez helyes, legalábbis a kétértékű logikára – azaz Karnaugh-térképpel látható -, hogy ez a törvény eltávolítja a (3) törvényében használt inkluzív- vagy “közepét”. És ez a lényege Reichenbach kimutatásának, hogy egyesek szerint az exkluzív-or-nak az inkluzív-or helyére kellene lépnie.

Ezzel a kérdéssel kapcsolatban (bevallottan nagyon szakszerűen) Reichenbach megjegyzi:

A tertium non datur 29 . (x) nem kimerítő a főbb kifejezésekben, és ezért felfújt formula. Ez a tény talán megmagyarázza, hogy egyesek miért tartják ésszerűtlennek a (29) inkluzív-‘vagy’ jellel való írását, és miért akarják, hogy a kizárólagos-‘vagy’ 30 jellel írják. (x), ahol a “⊕” jel a kizáró-vagy-ot jelöli, amely formában teljesen kimerítő és ezért szűkebb értelemben nomologikus lenne. (Reichenbach, 376. o.)

A (30) sorban az “(x)” jelentése “mindenre” vagy “mindenre”, ez a Russell és Reichenbach által használt forma; ma a szimbolika általában ∀ {\displaystyle \forall }.

x. Így a kifejezés egy példája így nézne ki:

• (disznó): (Légy(disznó) ⊕ ~Légy(disznó))
• (A “disznó” minden látott és nem látott példányára): (“A disznó repül” vagy “A disznó nem repül”, de nem mindkettő egyszerre)

Logikusok kontra intuitívokSzerkesztés

Az 1800-as évek végétől az 1930-as évekig elkeseredett, kitartó vita folyt Hilbert és követői között Hermann Weyl és L. E. J. Brouwer ellenében. Brouwer intuitivizmusnak nevezett filozófiája Leopold Kroneckerrel kezdődött komolyan az 1800-as évek végén.

Hilbert hevesen ellenezte Kronecker elképzeléseit:

Kronecker ragaszkodott ahhoz, hogy konstrukció nélkül nem létezhet létezés. Számára, akárcsak Paul Gordan számára , Hilbert bizonyítása az invariáns rendszer alapjának végességéről egyszerűen nem volt matematika. Hilbert viszont egész életében kitartott amellett, hogy ha be tudjuk bizonyítani, hogy a fogalomhoz rendelt attribútumok soha nem vezetnek ellentmondáshoz, akkor ezzel a fogalom matematikai létezése megalapozott (Reid p. 34)

Az volt az állítása, hogy semmi sem mondható matematikai létezőnek, hacsak nem lehet ténylegesen véges számú pozitív egész számmal konstruálni (Reid 26. o.)

A vita mély hatást gyakorolt Hilbertre. Reid jelzi, hogy Hilbert második problémája (Hilbert egyik problémája az 1900-as második párizsi nemzetközi konferenciáról) ebből a vitából fejlődött ki (dőlt betű az eredetiben):

Második problémájában a valós számok aritmetikájának axiómái konzisztenciájának matematikai bizonyítását kérte. Hogy megmutassa a probléma jelentőségét, a következő észrevételt tette hozzá: “Ha egy fogalomhoz ellentmondó attribútumokat rendelünk, azt mondom, hogy matematikailag a fogalom nem létezik.” (Reid 71. o.)

Ezzel Hilbert azt akarta mondani: “Ha p és ~p egyaránt igaznak bizonyul, akkor p nem létezik”, és ezzel az ellentmondás törvényének formájába öntött kizárt közép törvényére hivatkozott.

És végül a konstruktivisták … a matematikát a véges vagy potenciálisan (de nem ténylegesen) végtelen struktúrákon végzett konkrét műveletek tanulmányozására korlátozták; a befejezett végtelen totalitásokat … elutasították, akárcsak a kizárt közép törvényén alapuló közvetett bizonyítást. A konstruktivisták közül a legradikálisabbak az intuicionisták voltak, élükön az egykori topológus L. E. J. Brouwerrel (Dawson 49. o.)

A haragos vita az 1900-as évek elején az 1920-as években folytatódott; 1927-ben Brouwer panaszkodott, hogy “gúnyos hangnemben polemizálnak ellene” (Brouwer in van Heijenoort, 492. o.). A vita azonban termékeny volt: ennek eredményeként született meg a Principia Mathematica (1910-1913), és ez a mű pontos definíciót adott a kizárt közép törvényének, és mindez szellemi keretet és a szükséges eszközöket biztosított a 20. század eleji matematikusok számára:

A haragból, és részben ennek hatására született számos fontos logikai fejlesztés….Zermelo axiomatizációja a halmazelméletről (1908a) … amelyet két évvel később a Principia Mathematica első kötete követett… amelyben Russell és Whitehead megmutatta, hogy a típusok elméletén keresztül az aritmetika nagy része logikai eszközökkel fejleszthető (Dawson p. 49)

Brouwer a vitát a “negatív” vagy “nemlétező” kontra “konstruktív” bizonyításból tervezett bizonyítások használatára redukálta:

Brouwer szerint az az állítás, hogy egy adott tulajdonsággal rendelkező tárgy létezik, ezt jelenti, és csak akkor bizonyítható, ha ismert egy olyan módszer, amely elvileg legalábbis lehetővé teszi egy ilyen tárgy megtalálását vagy megalkotását … Hilbert természetesen nem értett egyet. “A tiszta létbizonyítások tudományunk történelmi fejlődésének legfontosabb mérföldkövei voltak” – állította. (Reid 155. o.) Brouwer … elutasította a kizárt közép logikai elvét… Érvelése a következő volt: “Tegyük fel, hogy A az a kijelentés: “Létezik az S halmaznak egy olyan tagja, amely rendelkezik a P tulajdonsággal”. Ha a halmaz véges, akkor elvileg lehetséges – elvileg – megvizsgálni az S minden egyes tagját, és megállapítani, hogy létezik-e az S-nek olyan tagja, amely rendelkezik a P tulajdonsággal, vagy az S minden egyes tagja nem rendelkezik a P tulajdonsággal. Véges halmazokra tehát Brouwer elfogadta a kizárt közép elvét érvényesnek. Végtelen halmazokra nem volt hajlandó elfogadni, mert ha az S halmaz végtelen, akkor nem tudjuk – még elvileg sem – megvizsgálni a halmaz minden egyes tagját. Ha vizsgálatunk során a halmaz egy olyan tagját találjuk, amely rendelkezik a P tulajdonsággal, akkor az első alternatíva megalapozott; de ha soha nem találunk ilyen tagot, akkor a második alternatíva még mindig nem bizonyított. Mivel a matematikai tételeket gyakran úgy bizonyítják, hogy megállapítják, hogy a tagadás ellentmondásba keverednénk, ez a Brouwer által javasolt harmadik lehetőség számos jelenleg elfogadott matematikai állítást megkérdőjelezne. “A kizárt közép elvének elvétele a matematikustól” – mondta Hilbert – “ugyanaz, mintha … megtiltanánk a bokszolónak, hogy használja az öklét”. “Úgy tűnt, hogy az esetleges veszteség nem zavarta Weylt… Brouwer programja volt az eljövendő dolog, erősködött zürichi barátainak”. (Reid, 149. o.)}}

Gödel 1941-ben a Yale-en tartott előadásában és az azt követő dolgozatában megoldást javasolt: “hogy egy egyetemes tétel tagadása úgy értendő, mint egy ellenpélda … létezésének állítása” (Dawson, 157. o.))

Gödel a kizárt közép törvényével kapcsolatban azt állította, hogy “az “impredikatív definíciók” használata elleni ellenvetéseknek” “nagyobb súlya van”, mint “a kizárt közép törvényének és a tételes számtan kapcsolódó tételeinek” (Dawson 156. o.). Javaslatot tett a “Σ … rendszerére”, és értelmezésének számos alkalmazásának megemlítésével zárta mondandóját. Ezek között volt a ~ (∀A: (A ∨ ~A)) elv intuicionista logikával való konzisztenciájának bizonyítása (a ∃ A: ~ (A ∨ ~A) feltételezés ellentmondásossága ellenére)” (Dawson, 157. o.)

A vita gyengülni látszott: matematikusok, logikusok és mérnökök továbbra is használják a kizárt közép (és a kettős tagadás) törvényét mindennapi munkájuk során.

A kizárt közép törvényének (elvének) intuitív definícióiSzerkesztés

A következőkben rávilágítunk arra a mély matematikai és filozófiai problémára, ami a “tudás” mögött áll, és segít megvilágítani azt is, hogy mit jelent a “törvény” (azaz mit jelent valójában a törvény). A törvénnyel kapcsolatos nehézségeik abból adódnak: hogy nem akarják igaznak elfogadni az ellenőrizhetetlen (nem vizsgálható, nem megismerhető) vagy a lehetetlenből vagy a hamisból levont következtetéseket. (Minden idézet van Heijenoorttól származik, dőlt betűvel szedve).

Brouwer a “kizárt közép elve” definícióját kínálja; itt is a “tesztelhetőség” kérdését látjuk:

Az imént említett tesztelhetőség alapján egy adott véges fő rendszerben felfogott tulajdonságokra érvényes a “kizárt közép elve”, vagyis az az elv, hogy minden rendszerre nézve minden tulajdonság vagy helyes, vagy lehetetlen, és különösen a komplementer fajok kölcsönösségének elve, vagyis az az elv, hogy minden rendszerre nézve egy tulajdonság helyessége következik e tulajdonság lehetetlenségének lehetetlenségéből. (335)

Kolmogorov definíciója Hilbert két tagadási axiómáját idézi

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → {(~A → B) → B}

Hilbert első tagadási axiómája, “a hamisból minden következik”, csak a szimbolikus logika megjelenésével jelent meg, akárcsak az első implikációs axióma…. míg… a vizsgált axióma valamit állít valami lehetetlen következményeiről: el kell fogadnunk B-t, ha az A igaz ítéletet hamisnak tekintjük… Hilbert második tagadási axiómája a kizárt közép elvét fejezi ki. Az elvet itt abban a formában fejezzük ki, ahogyan azt a levezetéseknél használjuk: ha B következik A-ból és ~A-ból is, akkor B igaz. A szokásos formája, “minden ítélet vagy igaz vagy hamis”, egyenértékű a fent megadottal””. A tagadás első értelmezéséből, vagyis abból a tilalomból, hogy az ítéletet igaznak tekintsük, nem nyerhető az a bizonyosság, hogy a kizárt közép elve igaz… Brouwer megmutatta, hogy az ilyen transzfinit ítéletek esetében a kizárt közép elve nem tekinthető nyilvánvalónak 9. lábjegyzet: “Ez Leibniz nagyon egyszerű megfogalmazása (lásd Nouveaux Essais, IV,2). Az “A vagy B vagy nem-B” megfogalmazásnak semmi köze az ítéletek logikájához. 10. lábjegyzet: “Szimbolikusan a második formát így fejezzük ki: A ∨ ~A

ahol a ∨ “vagy”-t jelent. A két forma egyenértékűsége könnyen bizonyítható (421. o.)

.