Das ProblemBearbeiten

Die Poincaré-Vermutung, 1904 von dem französischen Mathematiker Henri Poincaré aufgestellt, war eines der Schlüsselprobleme der Topologie. Jede Schleife auf einer 3-Sphäre – wie zum Beispiel die Menge der Punkte im Abstand von 1 vom Ursprung im vierdimensionalen euklidischen Raum – kann zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die Poincaré-Vermutung besagt, dass jede geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit, bei der jede Schleife zu einem Punkt kontrahiert werden kann, topologisch eine 3-Sphäre ist. Das analoge Ergebnis ist in Dimensionen größer oder gleich fünf seit 1960 bekannt, wie in der Arbeit von Stephen Smale. Der vierdimensionale Fall widerstand länger und wurde schließlich 1982 von Michael Freedman gelöst. Aber der Fall der dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten erwies sich als der schwierigste von allen. Grob gesagt liegt das daran, dass es bei der topologischen Manipulation einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit zu wenige Dimensionen gibt, um „problematische Regionen“ aus dem Weg zu räumen, ohne etwas anderes zu stören. Der grundlegendste Beitrag zum dreidimensionalen Fall wurde von Richard S. Hamilton geleistet. Die Aufgabe von Perelman war es, das Hamilton-Programm zu vervollständigen.

Perelmans BeweisBearbeiten

Im November 2002 veröffentlichte Perelman den ersten von drei Preprints auf arXiv, in denen er behauptete, einen Beweis für die Geometrisierungsvermutung, von der die Poincaré-Vermutung ein Sonderfall ist, skizziert zu haben. Es folgten zwei weitere Preprints im Jahr 2003.

Perelman modifizierte Richard S. Hamiltons Programm für einen Beweis der Vermutung. Die zentrale Idee ist der Begriff des Ricci-Flusses. Hamiltons Grundidee besteht darin, einen „dynamischen Prozess“ zu formulieren, bei dem eine gegebene dreifache Mannigfaltigkeit geometrisch verzerrt wird, wobei der Verzerrungsprozess durch eine Differentialgleichung analog zur Wärmegleichung gesteuert wird. Die Wärmegleichung (die Riemann schon viel früher dazu veranlasste, seine Riemann-Hypothese über die Nullstellen der Zeta-Funktion aufzustellen) beschreibt das Verhalten von skalaren Größen wie der Temperatur. Sie stellt sicher, dass sich Konzentrationen erhöhter Temperatur ausbreiten, bis eine gleichmäßige Temperatur in einem Objekt erreicht ist. In ähnlicher Weise beschreibt der Ricci-Fluss das Verhalten einer tensoriellen Größe, des Ricci-Krümmungstensors. Hamilton hoffte, dass sich unter dem Ricci-Fluss Konzentrationen großer Krümmung ausbreiten, bis eine einheitliche Krümmung über die gesamte dreifache Mannigfaltigkeit erreicht ist. Wenn man also von einer beliebigen dreifachen Mannigfaltigkeit ausgeht und den Ricci-Fluss auftreten lässt, dann sollte man im Prinzip schließlich eine Art „Normalform“ erhalten. Nach William Thurston muss diese Normalform eine von wenigen Möglichkeiten sein, die jeweils eine andere Art von Geometrie haben, die sogenannten Thurston-Modellgeometrien.

Es wurde jedoch allgemein erwartet, dass der Prozess durch die Entwicklung von „Singularitäten“ behindert würde. In den 1990er Jahren machte Hamilton Fortschritte beim Verständnis der möglichen Arten von Singularitäten, die auftreten können, war aber nicht in der Lage, eine umfassende Beschreibung zu liefern. Die Artikel von Perelman skizzierten eine Lösung. Perelman zufolge sieht jede Singularität entweder wie ein Zylinder aus, der auf seine Achse kollabiert, oder wie eine Kugel, die auf ihren Mittelpunkt kollabiert. Mit diesem Verständnis war er in der Lage, eine Modifikation des Standard-Ricci-Flusses zu konstruieren, den so genannten chirurgischen Ricci-Fluss, mit dem singuläre Regionen systematisch und kontrolliert entfernt werden können, während sie sich entwickeln. Die Idee des chirurgischen Ricci-Flusses existierte bereits seit einem Artikel von Hamilton aus dem Jahr 1993, der ihn 1997 erfolgreich für höherdimensionale Räume unter bestimmten eingeschränkten geometrischen Bedingungen anwendete. Perelmans Operationsverfahren ähnelte weitgehend dem von Hamilton, unterschied sich aber in seinen technischen Aspekten deutlich.

Perelman zeigte, dass jede Singularität, die sich in endlicher Zeit entwickelt, im Wesentlichen eine „Einklemmung“ entlang bestimmter Sphären ist, die der Primzahlzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit entsprechen. Darüber hinaus resultieren alle „unendlichen Zeit“-Singularitäten aus bestimmten kollabierenden Teilen der JSJ-Zerlegung. Perelmans Arbeit beweist diese Behauptung und damit die Geometrisierungsvermutung.

Der Inhalt der drei Arbeiten ist im Folgenden zusammengefasst:

• Der erste Preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, bietet viele neue Techniken bei der Untersuchung des Ricci-Flusses, dessen wichtigstes Ergebnis ein Theorem ist, das eine quantitative Charakterisierung von Regionen mit hoher Krümmung des Flusses liefert.
• Der zweite Preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, korrigiert einige fehlerhafte Aussagen des ersten Papiers und ergänzt einige Details, und benutzt das Hauptergebnis des ersten Papiers, um das Operationsverfahren zu beschreiben. Die zweite Hälfte des Papiers ist einer Analyse von Ricci-Strömen gewidmet, die für unendliche Zeit existieren.
• Der dritte Preprint, Finite Extinction Time for the Solutions to the Ricci Flow on certain three-manifolds, bietet eine Abkürzung zum Beweis der Poincaré-Vermutung, die die Argumente in der zweiten Hälfte des zweiten Preprints umgeht. Er zeigt, dass auf jedem Raum, der die Annahmen der Poincaré-Vermutung erfüllt, der Ricci-Fluss mit Operation nur für endliche Zeit existiert, so dass die Analyse des Ricci-Flusses für unendliche Zeit irrelevant ist.

Tobias Colding und William Minicozzi II haben ein völlig anderes Argument als Perelmans dritten Preprint geliefert. Ihr Argument ist angesichts der Voraussetzung einiger ausgefeilter geometrischer Maßtheorie-Argumente, wie sie in den 1980er Jahren entwickelt wurden, besonders einfach.

VerificationEdit

Perelmans Preprints gewannen schnell die Aufmerksamkeit der mathematischen Gemeinschaft, obwohl sie allgemein als schwer verständlich angesehen wurden, da sie etwas knapp geschrieben waren. Entgegen dem üblichen Stil in akademischen mathematischen Publikationen waren viele technische Details ausgelassen worden. Es war bald offensichtlich, dass Perelman wichtige Beiträge zu den Grundlagen des Ricci-Flusses geleistet hatte, obwohl es der mathematischen Gemeinschaft nicht sofort klar war, dass diese Beiträge ausreichten, um die Geometrisierungsvermutung oder die Poincaré-Vermutung zu beweisen.

Im April 2003 besuchte Perelman das Massachusetts Institute of Technology, die Princeton University, die Stony Brook University, die Columbia University und die New York University, um kurze Vortragsreihen über seine Arbeit zu halten und einige Details für Experten auf den entsprechenden Gebieten zu klären.

Im Juni 2003 veröffentlichten Bruce Kleiner und John Lott, beide damals von der University of Michigan, Notizen auf Lotts Website, die Abschnitt für Abschnitt viele der Details in Perelmans erstem Preprint ergänzten. Im September 2004 wurden die Notizen aktualisiert, um Perelmans zweiten Vorabdruck einzubeziehen. Nach weiteren Überarbeitungen und Korrekturen stellten sie am 25. Mai 2006 eine Version auf arXiv ein, die 2008 in einer modifizierten Fassung in der Fachzeitschrift Geometry & Topology veröffentlicht wurde. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 2006 sagte Lott: „Wir haben einige Zeit gebraucht, um Perelmans Arbeit zu untersuchen. Das liegt zum einen an der Originalität von Perelmans Arbeit und zum anderen an der technischen Raffinesse seiner Argumente. Alles deutet darauf hin, dass seine Argumente richtig sind. In der Einleitung zu ihrem Artikel erklären Kleiner und Lott

Perelmans Beweise sind knapp und manchmal skizzenhaft. Der Zweck dieser Anmerkungen ist es, die Details zu liefern, die in … Was die Beweise betrifft, so enthalten sie einige falsche Aussagen und unvollständige Argumente, auf die wir versucht haben, den Leser hinzuweisen. (Einige der Fehler in wurden in korrigiert.) Wir haben keine schwerwiegenden Probleme gefunden, d.h. Probleme, die nicht mit den von Perelman eingeführten Methoden korrigiert werden können.

Im Juni 2006 veröffentlichte das Asian Journal of Mathematics einen Artikel von Zhu Xiping von der Sun Yat-sen University in China und Huai-Dong Cao von der Lehigh University in Pennsylvania, der eine vollständige Beschreibung von Perelmans Beweis der Poincaré- und der Geometrisierungsvermutung enthält. Im Gegensatz zum Artikel von Kleiner und Lott, der als eine Sammlung von Anmerkungen zu Perelmans Arbeiten strukturiert war, zielt der Artikel von Cao und Zhu direkt auf die Erklärung der Beweise der Poincaré-Vermutung und der Geometrisierungsvermutung ab. In ihrer Einleitung erklären sie

In diesem Papier werden wir die Hamilton-Perelman Theorie des Ricci Flusses vorstellen. Darauf aufbauend geben wir die erste schriftliche Darstellung eines vollständigen Beweises der Poincaré-Vermutung und der Geometrisierungsvermutung von Thurston. Das gesamte Werk ist das Ergebnis der Bemühungen vieler geometrischer Analytiker, aber die wichtigsten Beiträge stammen zweifellos von Hamilton und Perelman. In diesem Papier werden wir vollständige und detaillierte Beweise geben, insbesondere von Perelmans Arbeit in seinem zweiten Papier, in dem viele Schlüsselideen der Beweise skizziert oder umrissen sind, aber vollständige Details der Beweise oft fehlen. Wie wir bereits angedeutet haben, müssen wir mehrere Schlüsselargumente von Perelman durch neue, auf unserer Studie basierende Ansätze ersetzen, da wir nicht in der Lage waren, diese ursprünglichen Argumente von Perelman nachzuvollziehen, die für die Vervollständigung des Geometrisierungsprogramms wesentlich sind.

Im Juli 2006 veröffentlichten John Morgan von der Columbia University und Gang Tian vom Massachusetts Institute of Technology ein Papier auf arXiv, in dem sie eine detaillierte Darstellung von Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung lieferten. Im Gegensatz zu den Ausführungen von Kleiner-Lott und Cao-Zhu befasst sich die Arbeit von Morgan und Tian auch mit Perelmans dritter Arbeit. Am 24. August 2006 hielt Morgan am ICM in Madrid einen Vortrag über die Poincaré-Vermutung, in dem er erklärte, Perelmans Arbeit sei „gründlich überprüft“ worden. Im Jahr 2008 veröffentlichten Morgan und Tian ein Papier, das die Einzelheiten des Beweises der Geometrisierungsvermutung enthielt. Die beiden Artikel von Morgan und Tian wurden vom Clay Mathematics Institute in Buchform veröffentlicht.

Revisionen der BeweiseEdit

Alle drei der oben genannten Darstellungen wurden nach der Veröffentlichung überarbeitet. Die Ausführungen von Kleiner-Lott und Morgan-Tian wurden als fehlerhaft befunden (was den großen Umfang nicht beeinträchtigte), während die Ausführungen von Cao-Zhu wegen ihrer Formulierung und eines Zuordnungsfehlers kritisiert wurden.

Seit der Veröffentlichung wurde der Artikel von Kleiner und Lott zweimal überarbeitet, um Korrekturen vorzunehmen, z. B. wegen einer falschen Aussage von Hamiltons wichtigem „Kompaktheitstheorem“ für den Ricci-Fluss. Die letzte Überarbeitung ihres Artikels stammt aus dem Jahr 2013. Im Jahr 2015 wies Abbas Bahri auf einen Fehler in Morgans und Tians Darstellung hin, der später von Morgan und Tian korrigiert und auf einen grundlegenden Rechenfehler zurückgeführt wurde.

Cao und Zhus Arbeit wurde von einigen Teilen der mathematischen Gemeinschaft wegen ihrer Wortwahl kritisiert, die einige Beobachter so interpretierten, dass sie zu viel Anerkennung für sich beanspruchten. Die Verwendung des Wortes „Anwendung“ in ihrem Titel „Ein vollständiger Beweis der Poincaré- und Geometrisierungsvermutungen – Anwendung der Hamilton-Perelman-Theorie des Ricci-Flusses“ und die Formulierung „Dieser Beweis sollte als die krönende Errungenschaft der Hamilton-Perelman-Theorie des Ricci-Flusses betrachtet werden“ in der Zusammenfassung wurden besonders kritisiert. Darauf angesprochen, sagte Perelman, Cao und Zhu hätten nichts Originelles beigetragen, sondern lediglich seinen Beweis überarbeitet, weil sie „das Argument nicht ganz verstanden“ hätten. Außerdem war eine Seite des Artikels von Cao und Zhu im Wesentlichen identisch mit einer Seite aus dem Beitrag von Kleiner und Lott von 2003. In einem veröffentlichten Erratum führten Cao und Zhu dies auf ein Versehen zurück und erklärten, dass sie 2003 Notizen aus der ursprünglichen Version der Notizen von Kleiner und Lott notiert hatten und in ihrem 2006 verfassten Artikel nicht die richtige Quelle der Notizen erkannt hatten. Sie haben eine überarbeitete Version auf arXiv veröffentlicht, in der sie ihre Formulierungen und die entsprechende Seite des Beweises überarbeitet haben.

Aktuelle StandpunkteBearbeiten

Auch im Jahr 2020 gibt es noch einige Mathematiker, die, obwohl allgemein anerkannt ist, dass Perelman enorme Fortschritte in der Theorie des Ricci-Flusses gemacht hat, nicht akzeptieren, dass die Poincaré- und Geometrisierungsvermutungen bewiesen wurden. Für diese Beobachter befinden sich die problematischen Teile des Beweises in der zweiten Hälfte von Perelmans zweitem Preprint. So sagte beispielsweise der Fields-Medaillengewinner Shing-Tung Yau im Jahr 2019:

Auch wenn es für mich vielleicht ketzerisch ist, dies zu sagen, bin ich mir nicht sicher, dass der Beweis vollständig festgenagelt ist. Ich bin überzeugt, wie ich schon oft gesagt habe, dass Perelman eine brillante Arbeit über die Entstehung und Struktur von Singularitäten in dreidimensionalen Räumen geleistet hat – eine Arbeit, die in der Tat der Fields-Medaille, die ihm verliehen wurde, würdig war. Die Sache ist die, dass es nur sehr wenige Experten auf dem Gebiet des Ricci-Flusses gibt, und ich habe noch niemanden getroffen, der behauptet, den letzten, schwierigsten Teil von Perelmans Beweis vollständig verstanden zu haben Soweit mir bekannt ist, hat niemand einige der Techniken, die Perelman gegen Ende seiner Arbeit eingeführt hat, erfolgreich zur Lösung eines anderen bedeutenden Problems eingesetzt. Das deutet für mich darauf hin, dass auch andere Mathematiker diese Arbeit und ihre Methoden noch nicht vollständig beherrschen.

Als dagegen 2010 der Millenniumspreis an Perelman für die „Lösung der Poincaré-Vermutung“ verliehen wurde, sagte der Fields-Medaillengewinner Simon Donaldson in einer der Laudationes für den Preis:

Seit der Zeit, als die Vorabdrucke zu den Poincaré- und Geometrisierungsvermutungen erschienen, haben Mathematiker auf der ganzen Welt vereint ihre Anerkennung, Ehrfurcht und Verwunderung über seine außergewöhnliche Leistung zum Ausdruck gebracht, und ich glaube, dass ich hier als Vertreter unserer gesamten intellektuellen Gemeinschaft spreche. Sie löst ein herausragendes, jahrhundertealtes Problem.