What is engineering beam theory?

Ein strukturelles Element oder Bauteil, das Kräften und Kopplungen entlang der Längsachse des Bauteils ausgesetzt ist. Das Bauteil spannt sich typischerweise zwischen einem oder mehreren Trägern und seine Konstruktion wird im Allgemeinen durch Biegemomente bestimmt.

Euler-Bernoulli Balkentheorie

Die Euler-Bernoulli-Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen der aufgebrachten Last und der resultierenden Durchbiegung des Balkens und wird mathematisch wie folgt dargestellt:

Wobei w die verteilte Belastung oder Kraft pro Längeneinheit ist, die in der gleichen Richtung wie y wirkt, und die Durchbiegung des Balkens Δ(x) an einer bestimmten Stelle x. E ist der Elastizitätsmodul des betrachteten Materials und I ist das zweite Flächenmoment, das in Bezug auf die Achse berechnet wird, die durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft und senkrecht zur aufgebrachten Last steht. Wenn EI oder die Biegesteifigkeit entlang des Trägers nicht variiert, vereinfacht sich die Gleichung zu:

Wenn die Durchbiegung aufgrund einer gegebenen Last bestimmt wurde, können die Spannungen im Träger mit den folgenden Ausdrücken berechnet werden:

Das Biegemoment im Träger:

Die Querkraft im Träger:

Stützverbindungen und Reaktionen

Es gibt vier verschiedene Arten von Verbindungen, die im Umgang mit Trägern häufig anzutreffen sind, und jede bestimmt die Art der Last, der die Stütze widerstehen kann, sowie die Gesamttragfähigkeit nicht nur des betrachteten Elements, sondern auch des Systems, zu dem das Element gehört.

Rollenstützen: Sie können sich frei drehen und entlang der Oberfläche, auf der die Rolle ruht, verschieben und sind daher nicht in der Lage, Seitenkräften zu widerstehen. Solche Stützen sind einer einzigen Reaktionskraft ausgesetzt, die senkrecht zur Oberfläche und von ihr weg wirkt.

Gelenkstützen: erlauben es dem Bauteil oder Balken, sich zu drehen (manchmal nur in eine Richtung), aber sich in keine Richtung zu verschieben, d. h. sie können sowohl vertikalen als auch horizontalen Kräften widerstehen, nicht aber Biegemomenten.

Feste Stützen: verhindern sowohl Drehung als auch Verschiebung und widerstehen sowohl vertikalen und horizontalen Kräften als auch Biegemomenten.

Einfache Stützen: können sich entlang der Fläche, auf der sie ruhen, in allen Richtungen frei drehen und verschieben, außer senkrecht zur Fläche und von ihr weg. Einfache Stützen unterscheiden sich von Rollenstützen dadurch, dass sie keinen seitlichen Belastungen irgendeiner Größenordnung widerstehen können.

Trägerarten

Einfach gestützter Balken: An jedem Ende frei gestützt, ist das Element an den Endlagerpunkten frei drehbar und hat keinen Widerstand gegen Biegemomente. Die Endauflager des Trägers sind in der Lage, Kräfte auf den Träger auszuüben, drehen sich aber, wenn sich der Träger unter der Last durchbiegt.

Fester Träger: an jedem Ende des Trägers sind die Endpunkte in ihrer Drehung und Bewegung sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung eingeschränkt.

Kragarmträger: ein Träger, der nur an einem Ende befestigt ist, während sich das andere Ende sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung frei drehen und bewegen kann.

Auskragend: ein einfacher Träger, der an einem oder beiden Enden über seine Stützen hinausragt.

Durchlaufend: ein Träger, der sich über mehr als zwei Stützen erstreckt.

Genauigkeit der Balkentheorie

Aufgrund der Annahmen gilt als allgemeine Faustregel, dass die Gleichungen für Biegespannung und Querschubspannung für die meisten Konfigurationen mit einer Genauigkeit von etwa 3 % für Balken mit einem Längen-Höhen-Verhältnis von mehr als 4 genau sind. Es ist auch wichtig, die Art des Materials, aus dem der Träger besteht, die Art der Verformung des Trägers, die Geometrie des Trägers, einschließlich der Querschnittsfläche und des inneren Gleichgewichts, zu verstehen und zu berücksichtigen.

Annahmen und Einschränkungen

• Der Querschnitt des Trägers wird als klein im Vergleich zu seiner Länge betrachtet, was bedeutet, dass der Träger lang und dünn ist.
• Lasten wirken quer zur Längsachse und verlaufen durch das Scherzentrum, wodurch jegliche Torsion oder Verdrehung vermieden wird.
• Das Eigengewicht des Trägers wurde vernachlässigt und sollte in der Praxis berücksichtigt werden.
• Das Material des Trägers ist homogen und isotrop und hat einen konstanten Elastizitätsmodul in allen Richtungen, sowohl auf Druck als auch auf Zug.
• Die Schwerpunktsebene oder neutrale Fläche ist einer axialen Spannung von Null ausgesetzt und erfährt keine Längenänderung.
• Die Reaktion auf Dehnung ist eine eindimensionale Spannung in Biegerichtung.
• Die Durchbiegungen werden als sehr klein im Vergleich zur Gesamtlänge des Trägers angenommen.
• Der Querschnitt bleibt während der Biegung eben und senkrecht zur Längsachse.
• Der Träger ist anfangs gerade und jede Durchbiegung des Trägers folgt einem Kreisbogen, wobei der Krümmungsradius im Vergleich zur Abmessung des Querschnitts als groß angesehen wird.

Gebogene Träger und Bögen

Während die Bemessung von gebogenen Trägern mit der von geraden Trägern identisch ist, wenn die Abmessungen des Querschnitts im Vergleich zum Krümmungsradius klein sind, besteht der Hauptunterschied zwischen gebogenen Trägern und Bögen darin, dass die Krümmung bis zu einem Punkt vergrößert wurde, an dem die Axialkräfte in Bögen bedeutend werden.

Ein Hinweis zu Biegemomenten

In der Bautechnik wird das positive Moment auf der Zugseite des Bauteils eingezeichnet, was den Umgang mit Balken und Rahmen erleichtert. Da die Momente in dieselbe Richtung gezeichnet werden, in die sich das Bauteil unter Belastung theoretisch biegen würde, ist es einfacher zu visualisieren, was passiert. StructX hat diese Art des Zeichnens von Biegemomenten durchgängig übernommen.

Eine Auswahl von Balkengleichungen zusammen mit relevanten technischen Rechnern finden Sie hier.