AristotelesBearbeiten

Die früheste bekannte Formulierung findet sich in Aristoteles‘ Erörterung des Prinzips des Nicht-Widerspruchs, das er erstmals in Über die Interpretation vorschlägt, wo er sagt, dass von zwei widersprüchlichen Sätzen (d. h., wenn ein Satz die Negation des anderen ist) einer wahr und der andere falsch sein muss. Auch in der Metaphysik, Buch 3, stellt er dies als Prinzip fest, indem er sagt, dass es in jedem Fall notwendig ist, zu bejahen oder zu verneinen, und dass es unmöglich ist, dass zwischen den beiden Teilen eines Widerspruchs etwas sein kann.

Aristoteles schrieb, dass Mehrdeutigkeit durch den Gebrauch von mehrdeutigen Namen entstehen kann, aber nicht in den Tatsachen selbst bestehen kann:

Es ist also unmöglich, dass „ein Mensch sein“ genau „kein Mensch sein“ bedeutet, wenn „Mensch“ nicht nur etwas über ein Subjekt bedeutet, sondern auch eine Bedeutung hat. … Und es wird nicht möglich sein, dasselbe zu sein und nicht zu sein, es sei denn kraft einer Zweideutigkeit, so wie wenn einer, den wir „Mensch“ nennen, und andere „Nicht-Mensch“ nennen würden; aber der fragliche Punkt ist nicht der, ob dasselbe Ding gleichzeitig dem Namen nach ein Mensch sein und nicht sein kann, sondern ob es in der Tat sein kann. (Metaphysik 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526).

Aristoteles‘ Behauptung, dass „es nicht möglich sein wird, dasselbe zu sein und nicht zu sein“, die in der Aussagenlogik als ¬(P ∧ ¬P) geschrieben werden würde, ist eine Aussage, die moderne Logiker das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (P ∨ ¬P) nennen könnten, da die Verteilung der Negation von Aristoteles‘ Behauptung sie äquivalent macht, ungeachtet dessen, dass erstere behauptet, dass keine Aussage sowohl wahr als auch falsch ist, während letztere verlangt, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist.

Aber Aristoteles schreibt auch: „Da es unmöglich ist, dass Widersprüche gleichzeitig für dieselbe Sache wahr sind, können natürlich auch die Widersprüche nicht gleichzeitig zu derselben Sache gehören“ (Buch IV, CH 6, S. 531). Er schlägt dann vor, dass „es kein Dazwischen zwischen den Gegensätzen geben kann, sondern dass wir von einem Gegenstand ein Prädikat entweder bejahen oder verneinen müssen“ (Buch IV, CH 7, S. 531). Im Kontext der traditionellen Logik des Aristoteles ist dies eine bemerkenswert präzise Aussage des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte, P ∨ ¬P.

Auch in Über die Interpretation scheint Aristoteles das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte im Falle zukünftiger Kontingente zu leugnen, in seiner Diskussion über die Seeschlacht.

LeibnizEdit

In seiner üblichen Form, „Jedes Urteil ist entweder wahr oder falsch“ …“(aus Kolmogorov in van Heijenoort, S. 421) Fußnote 9: „Dies ist die sehr einfache Formulierung von Leibniz (siehe Nouveaux Essais, IV,2)“ (ebd. S. 421)

Bertrand Russell und Principia MathematicaEdit

Das Prinzip wurde als Theorem der Aussagenlogik von Russell und Whitehead in Principia Mathematica angegeben als:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}

.

Was ist denn nun „Wahrheit“ und „Unwahrheit“? Zur Eröffnung gibt PM schnell einige Definitionen bekannt:

Wahrheitswert. Der „Wahrheitswert“ eines Satzes ist Wahrheit, wenn er wahr ist, und Falschheit, wenn er falsch ist* …der Wahrheitswert von „p ∨ q“ ist Wahrheit, wenn der Wahrheitswert von entweder p oder q Wahrheit ist, und ist andernfalls Falschheit … der von „~ p“ ist das Gegenteil von dem von p…“ (S. 7-8)

Dies ist keine große Hilfe. Aber später, in einer viel tiefer gehenden Diskussion („Definition und systematische Zweideutigkeit von Wahrheit und Falschheit“ Kapitel II Teil III, S. 41 ff), definiert PM Wahrheit und Falschheit im Sinne einer Beziehung zwischen dem „a“ und dem „b“ und dem „Wahrnehmenden“. Zum Beispiel „Dieses ‚a‘ ist ‚b'“ (z.B. „Dieses ‚Objekt a‘ ist ‚rot'“) bedeutet in Wirklichkeit „‚Objekt a‘ ist ein Sinnes-Datum“ und „‚rot‘ ist ein Sinnes-Datum“, und sie „stehen in Beziehung“ zueinander und in Beziehung zu „Ich“. Was wir also wirklich meinen, ist: „Ich nehme wahr, dass ‚Dieses Objekt a rot ist'“, und dies ist eine unbestreitbare „Wahrheit“.

PM definiert weiter eine Unterscheidung zwischen einem „Sinnes-Datum“ und einer „Empfindung“:

Das heißt, wenn wir urteilen (sagen) „dies ist rot“, ist das, was geschieht, eine Beziehung von drei Begriffen, dem Geist, und „dies“ und „rot“. Wenn wir hingegen „die Röte von diesem“ wahrnehmen, besteht eine Beziehung zwischen zwei Begriffen, nämlich dem Geist und dem komplexen Objekt „die Röte von diesem“ (S. 43-44).

Russell wiederholte seine Unterscheidung zwischen „Sinnesdaten“ und „Empfindung“ in seinem Buch The Problems of Philosophy (1912), das zur gleichen Zeit wie PM (1910-1913) veröffentlicht wurde:

Lassen Sie uns den Namen „Sinnesdaten“ für die Dinge geben, die in der Empfindung unmittelbar bekannt sind: solche Dinge wie Farben, Töne, Gerüche, Härten, Rauheiten und so weiter. Die Erfahrung, sich dieser Dinge unmittelbar bewusst zu sein, nennen wir „Empfindung“… Die Farbe selbst ist ein Sinnes-Datum, keine Empfindung. (S. 12)

Russell beschrieb im selben Buch (Kapitel XII, Wahrheit und Falschheit) seine Überlegungen zu seinen Definitionen von „Wahrheit“ und „Falschheit“ weiter.

Konsequenzen aus dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte in Principia MathematicaEdit

Aus dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, der Formel ✸2.1 in Principia Mathematica, leiten Whitehead und Russell einige der mächtigsten Werkzeuge im Argumentationswerkzeugkasten des Logikers ab. (In Principia Mathematica werden Formeln und Sätze durch ein vorangestelltes Sternchen und zwei Ziffern gekennzeichnet, z. B. „✸2.1“.)

✸2.1 ~p ∨ p „Dies ist das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte“ (PM, S. 101).

Der Beweis von ✸2.1 sieht in etwa wie folgt aus: Die „primitive Idee“ 1.08 definiert p → q = ~p ∨ q. Ersetzt man p für q in dieser Regel, so ergibt sich p → p = ~p ∨ p. Da p → p wahr ist (dies ist Satz 2.08, der separat bewiesen wird), muss ~p ∨ p wahr sein.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutation der Behauptungen ist durch Axiom 1.4 erlaubt)
✸2.12 p → ~(~p) (Prinzip der doppelten Negation, Teil 1: wenn „diese Rose ist rot“ wahr ist, dann ist es nicht wahr, dass „‚diese Rose ist nicht-rot‘ wahr ist“.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma zusammen mit 2.12 zur Ableitung von 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Prinzip der doppelten Negation, Teil 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Eines der vier „Prinzipien der Transposition“. Ähnlich wie bei 1.03, 1.16 und 1.17. Hier war eine sehr lange Demonstration erforderlich.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Wenn es wahr ist, dass „Wenn diese Rose rot ist, dann fliegt dieses Schwein“, dann ist es wahr, dass „Wenn dieses Schwein nicht fliegt, dann ist diese Rose nicht rot.“)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Ein weiteres der „Prinzipien der Transposition“.)
✸2.18 (~p → p) → p (Genannt „Das Komplement der reductio ad absurdum. Es besagt, dass ein Satz, der aus der Hypothese seiner eigenen Falschheit folgt, wahr ist“ (PM, S. 103-104).)

Die meisten dieser Theoreme – insbesondere ✸2.1, ✸2.11 und ✸2.14 – werden vom Intuitionismus abgelehnt. Diese Werkzeuge werden in eine andere Form gebracht, die Kolmogorov als „Hilberts vier Axiome der Implikation“ und „Hilberts zwei Axiome der Negation“ zitiert (Kolmogorov in van Heijenoort, S. 335).

Vorschläge ✸2.12 und ✸2.14, „doppelte Negation“:Die intuitionistischen Schriften von L. E. J. Brouwer beziehen sich auf das, was er „das Prinzip der Reziprozität der multiplen Arten“ nennt, d.h. das Prinzip, dass für jedes System die Richtigkeit einer Eigenschaft aus der Unmöglichkeit der Unmöglichkeit dieser Eigenschaft folgt (Brouwer, ebd., S. 335).

Dieses Prinzip wird gemeinhin „das Prinzip der doppelten Negation“ genannt (PM, S. 101-102). Aus dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (✸2.1 und ✸2.11) leitet PM unmittelbar das Prinzip ✸2.12 ab. Wir ersetzen ~p für p in 2.11, um ~p ∨ ~(~p) zu erhalten, und durch die Definition der Implikation (d.h. 1.01 p → q = ~p ∨ q) ist dann ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (Die Herleitung von 2.14 ist etwas komplizierter.)

ReichenbachEdit

Es ist richtig, zumindest für bivalente Logik – d.h. man kann mit einer Karnaugh-Map sehen -, dass dieses Gesetz „die Mitte“ des in seinem Gesetz (3) verwendeten Inklusiv-oder entfernt. Und das ist der Punkt von Reichenbachs Demonstration, dass einige glauben, das Exklusiv-Oder solle an die Stelle des Inklusiv-Oders treten.

Zu diesem Thema (in zugegebenermaßen sehr technischen Begriffen) bemerkt Reichenbach:

Das Tertium non datur 29. (x) ist in seinen Hauptbegriffen nicht erschöpfend und daher eine aufgeblasene Formel. Diese Tatsache erklärt vielleicht, warum manche Leute es für unvernünftig halten, (29) mit dem Einschluss-‚oder‘ zu schreiben, und es mit dem Zeichen des Ausschluss-‚oder‘ 30 geschrieben haben wollen. (x), wo das Zeichen „⊕“ das Ausschließlichkeits-„oder“ bedeutet, in welcher Form es vollständig erschöpfend und daher nomologisch im engeren Sinne wäre. (Reichenbach, S. 376)

In Zeile (30) bedeutet das „(x)“ „für alle“ oder „für jeden“, eine Form, die von Russell und Reichenbach verwendet wurde; heute lautet die Symbolik gewöhnlich ∀ {\displaystyle \forall }

x. Ein Beispiel für den Ausdruck würde also so aussehen:

• (Schwein): (Fliegen(Schwein) ⊕ ~Fliegen(Schwein))
• (Für alle Instanzen von „Schwein“ gesehen und ungesehen): („Schwein fliegt“ oder „Schwein fliegt nicht“, aber nicht beides gleichzeitig)

Logiker gegen IntuitionistenEdit

Von den späten 1800er Jahren bis in die 1930er Jahre tobte eine erbitterte, anhaltende Debatte zwischen Hilbert und seinen Anhängern gegen Hermann Weyl und L. E. J. Brouwer. Brouwers Philosophie, Intuitionismus genannt, begann ernsthaft mit Leopold Kronecker in den späten 1800er Jahren.

Hilbert missfielen Kroneckers Ideen zutiefst:

Kronecker bestand darauf, dass es keine Existenz ohne Konstruktion geben könne. Für ihn, wie für Paul Gordan, war Hilberts Beweis der Endlichkeit der Basis des invarianten Systems einfach keine Mathematik. Hilbert hingegen beharrte zeitlebens darauf, dass, wenn man beweisen kann, dass die einem Begriff zugewiesenen Attribute niemals zu einem Widerspruch führen, die mathematische Existenz des Begriffs damit bewiesen ist (Reid S. 34)

Es war seine Behauptung, dass man von nichts sagen könne, dass es mathematisch existiere, wenn es nicht tatsächlich mit einer endlichen Anzahl positiver ganzer Zahlen konstruiert werden könne (Reid S. 26)

Die Debatte hatte eine tiefgreifende Wirkung auf Hilbert. Reid weist darauf hin, dass Hilberts zweites Problem (eines von Hilberts Problemen von der Zweiten Internationalen Konferenz in Paris im Jahr 1900) aus dieser Debatte hervorging (kursiv im Original):

In seinem zweiten Problem hatte er nach einem mathematischen Beweis für die Konsistenz der Axiome der Arithmetik der reellen Zahlen gefragt. Um die Bedeutung dieses Problems zu verdeutlichen, fügte er die folgende Bemerkung hinzu: „Wenn einem Begriff widersprüchliche Eigenschaften zugeordnet werden, sage ich, dass der Begriff mathematisch nicht existiert“ (Reid S. 71)

Damit meinte Hilbert: „Wenn p und ~p sich beide als wahr erweisen, dann existiert p nicht“, und berief sich damit auf das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, das in die Form des Gesetzes des Widerspruchs gegossen wurde.

Und schließlich beschränkten die Konstruktivisten … die Mathematik auf das Studium konkreter Operationen auf endlichen oder potentiell (aber nicht tatsächlich) unendlichen Strukturen; abgeschlossene unendliche Totalitäten … wurden abgelehnt, ebenso wie indirekte Beweise auf der Grundlage des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte. Die radikalsten unter den Konstruktivisten waren die Intuitionisten, angeführt von dem ehemaligen Topologen L. E. J. Brouwer (Dawson S. 49)

Die erbitterte Debatte setzte sich von den frühen 1900er Jahren bis in die 1920er Jahre fort; 1927 beklagte sich Brouwer darüber, dass „in spöttischem Ton gegen sie polemisiert“ wurde (Brouwer in van Heijenoort, S. 492). Aber die Debatte war fruchtbar: Sie führte zu Principia Mathematica (1910-1913), und dieses Werk gab dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte eine genaue Definition, und all dies lieferte einen intellektuellen Rahmen und die notwendigen Werkzeuge für die Mathematiker des frühen 20. Jahrhunderts:

Aus dem Groll heraus und zum Teil durch ihn hervorgebracht, gab es mehrere wichtige logische Entwicklungen…Zermelos Axiomatisierung der Mengenlehre (1908a) … der zwei Jahre später der erste Band der Principia Mathematica folgte …. in dem Russell und Whitehead zeigten, wie über die Theorie der Typen ein Großteil der Arithmetik mit logischen Mitteln entwickelt werden konnte (Dawson S. 49)

Brouwer reduzierte die Debatte auf die Verwendung von Beweisen, die aus „negativen“ oder „Nicht-Existenz“-Beweisen versus „konstruktiven“ Beweisen konstruiert wurden:

Nach Brouwer bedeutet eine Aussage, dass ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert, dies und ist nur dann bewiesen, wenn eine Methode bekannt ist, die es zumindest prinzipiell ermöglicht, ein solches Objekt zu finden oder zu konstruieren … Hilbert war natürlich anderer Meinung. „Die reinen Existenzbeweise sind die wichtigsten Marksteine in der historischen Entwicklung unserer Wissenschaft gewesen“, behauptete er. (Reid S. 155) Brouwer … weigerte sich, das logische Prinzip der ausgeschlossenen Mitte zu akzeptieren… Sein Argument war das folgende: „Nehmen wir an, dass A die Aussage ist: „Es gibt ein Mitglied der Menge S, das die Eigenschaft P hat.“ Wenn die Menge endlich ist, ist es prinzipiell möglich, jedes Mitglied von S zu untersuchen und festzustellen, ob es ein Mitglied von S mit der Eigenschaft P gibt oder ob jedem Mitglied von S die Eigenschaft P fehlt. Für endliche Mengen akzeptierte Brouwer daher das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte als gültig. Für unendliche Mengen lehnte er es ab, denn wenn die Menge S unendlich ist, können wir nicht – auch nicht im Prinzip – jedes Mitglied der Menge untersuchen. Wenn wir im Laufe unserer Untersuchung ein Mitglied der Menge mit der Eigenschaft P finden, ist die erste Alternative bewiesen; wenn wir aber nie ein solches Mitglied finden, ist die zweite Alternative immer noch nicht bewiesen. Da mathematische Theoreme oft dadurch bewiesen werden, dass man feststellt, dass die Negation einen Widerspruch nach sich ziehen würde, würde diese dritte Möglichkeit, die Brouwer vorschlug, viele der derzeit akzeptierten mathematischen Aussagen in Frage stellen. „Dem Mathematiker das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte zu nehmen“, sagte Hilbert, „ist dasselbe, wie … dem Boxer den Gebrauch seiner Fäuste zu verbieten.“ „Der mögliche Verlust schien Weyl nicht zu stören… Brouwers Programm sei das Kommende, beharrte er gegenüber seinen Freunden in Zürich.“ (Reid, S. 149)}}

In seinem Vortrag 1941 in Yale und dem anschließenden Papier schlug Gödel eine Lösung vor: „dass die Negation eines universellen Satzes als Behauptung der Existenz … eines Gegenbeispiels zu verstehen sei“ (Dawson, S. 157))

Gödels Ansatz zum Gesetz der ausgeschlossenen Mitte bestand darin, zu behaupten, dass Einwände gegen „die Verwendung von ‚impredikativen Definitionen'“ „mehr Gewicht“ hätten als „das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und verwandte Theoreme der Aussagenkalkulation“ (Dawson S. 156). Er schlug sein „System Σ vor … und er schloss mit der Erwähnung mehrerer Anwendungen seiner Interpretation. Darunter war ein Beweis für die Konsistenz des Prinzips ~ (∀A: (A ∨ ~A)) mit der intuitionistischen Logik (trotz der Inkonsistenz der Annahme ∃ A: ~ (A ∨ ~A)“ (Dawson, S. 157)

Die Debatte schien zu schwächeln: Mathematiker, Logiker und Ingenieure verwenden das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (und der doppelten Negation) weiterhin in ihrer täglichen Arbeit.

Intuitionistische Definitionen des Gesetzes (Prinzips) der ausgeschlossenen MitteBearbeiten

Das Folgende zeigt das tiefe mathematische und philosophische Problem hinter dem, was es bedeutet, zu „wissen“, und trägt auch dazu bei, zu erhellen, was das „Gesetz“ impliziert (d.h. was das Gesetz wirklich bedeutet). Die Schwierigkeiten, die sie mit dem Gesetz haben, zeigen sich darin, dass sie keine Implikationen als wahr akzeptieren wollen, die aus dem Unüberprüfbaren (Untestbaren, Unwissbaren) oder aus dem Unmöglichen oder Falschen abgeleitet werden. (Alle Zitate stammen von van Heijenoort, Kursivschrift hinzugefügt).

Brouwer bietet seine Definition des „Prinzips der ausgeschlossenen Mitte“ an; wir sehen hier auch die Frage der „Prüfbarkeit“:

Auf der Grundlage der soeben erwähnten Prüfbarkeit gilt für Eigenschaften, die innerhalb eines bestimmten endlichen Hauptsystems gedacht werden, das „Prinzip der ausgeschlossenen Mitte“, d.h. das Prinzip, dass für jedes System jede Eigenschaft entweder richtig oder unmöglich ist, und insbesondere das Prinzip der Reziprozität der komplementären Arten, d.h. das Prinzip, dass für jedes System die Richtigkeit einer Eigenschaft aus der Unmöglichkeit der Unmöglichkeit dieser Eigenschaft folgt. (335)

Kolmogorovs Definition zitiert Hilberts zwei Axiome der Negation

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Hilberts erstes Axiom der Negation, „alles folgt aus dem Falschen“, trat erst mit dem Aufkommen der symbolischen Logik in Erscheinung, ebenso wie das erste Axiom der Implikation…. während… das betrachtete Axiom etwas über die Folgen von etwas Unmöglichem aussagt: wir müssen B akzeptieren, wenn das wahre Urteil A als falsch angesehen wird… Hilberts zweites Negationsaxiom drückt das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte aus. Das Prinzip wird hier in der Form ausgedrückt, in der es für Ableitungen verwendet wird: Wenn B sowohl aus A als auch aus ~A folgt, dann ist B wahr. Seine übliche Form, „jedes Urteil ist entweder wahr oder falsch“, ist äquivalent zu der oben angegebenen“. Aus der ersten Interpretation der Negation, d.h. dem Verbot, das Urteil als wahr zu betrachten, kann man nicht die Gewissheit gewinnen, dass das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte wahr ist… Brouwer hat gezeigt, dass das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte im Falle solcher transfiniten Urteile nicht als offensichtlich angesehen werden kann Fußnote 9: „Dies ist die sehr einfache Formulierung von Leibniz (siehe Nouveaux Essais, IV,2). Die Formulierung „A ist entweder B oder nicht-B“ hat nichts mit der Logik der Urteile zu tun. Fußnote 10: „Symbolisch wird die zweite Form so ausgedrückt: A ∨ ~A

wobei ∨ „oder“ bedeutet. Die Gleichwertigkeit der beiden Formen ist leicht zu beweisen (S. 421)