Einführung

Die großräumige Dynamik des Universums wird durch die allgemeine kosmische Expansion und das Gravitationsfeld der massiven Objekte bestimmt. Es wird angenommen, dass Magnetfelder dabei keine große Rolle spielen. Es wird angenommen, dass Magnetfelder beim Urknall und während der anschließenden Inflation nicht oder zumindest nicht in nennenswerter Stärke vorhanden waren. Wenn sie überhaupt vorhanden waren, dann in Form der falschen magnetischen Monopole. Sie werden auf kleineren Skalen wichtig. Auf Skalen von kompakten magnetisierten Objekten beginnen sie nicht mehr vernachlässigbar zu sein und werden für eine Reihe von Prozessen sogar zur dominierenden Kraft.

Magnetische Felder sind an den elektrischen Stromfluss gebunden und werden daher, im Gegensatz zu elektrischen Feldern, deren Quellen Elementarladungen und Ladungsdifferenzen sind, durch Prozesse erzeugt, die elektrische Ströme verursachen. Ströme implizieren einen nicht-ambipolaren Transport von Ladungen. Die Frage, wie stark Magnetfelder werden können, reduziert sich somit auf die Frage, wie stark Ströme werden können. In der klassischen Elektrodynamik folgt aus dem Ampère’schen Gesetz für stationäre Magnetfelder, dass

wenn man sich nur auf den Ladungstransport beschränkt und nichtmagnetische Medien mit (der Einfachheit halber einfach geladenen) Ionen- und Elektronendichten bzw. Volumengeschwindigkeiten Ni,e, Vi,e annimmt. Andernfalls würde man einen Magnetisierungsterm M hinzufügen, der von den Eigenschaften der Materie abhängt. Die Bestimmung von M erfordert eine quantenmechanische Behandlung im Rahmen der Festkörperphysik.

Wenn man ohne Einschränkung die Quasineutralität Ne ≈ Ni = N annimmt, tragen nur Geschwindigkeitsunterschiede bei. Da Elektronen wesentlich beweglicher sind als Ionen, kann der Strom vernünftigerweise durch den Elektronenstrom J ≈ – eNVe angenähert werden, eine Bedingung, die streng im Ionenbezugssystem gilt. Da die Geschwindigkeiten durch die Lichtgeschwindigkeit c begrenzt sind, ist das Magnetfeld klassischerweise durch

begrenzt, was bedeutet, dass das Magnetfeld mit L und der Dichte N wächst. Dabei ist Ncc die Einheit von Elektronen pro cm-3 und Lkm die Längenskala eines Stromfadens in km-Einheiten. In der Kruste eines Neutronensterns haben wir zum Beispiel Lkm ~ 1. Wenn ungefähr alle Elektronen in der Kruste am Stromfluss teilnehmen würden, hätten wir Ncc × ~ 1030. Die Magnetfeldstärke könnte also bis zu B ~ 1028 Gauß betragen, eine gewaltige Zahl im Vergleich zu den maximal B ~ 1015 – 1016 Gauß, die in Magnetaren beobachtet werden.

Diese grobe Schätzung muss kommentiert werden, um Missverständnisse zu vermeiden. Es wird angenommen, dass Magnetfelder vorzugsweise durch Dynamowirkung erzeugt werden. Solche Vorgänge sind bei Weißen Zwergen, Neutronensternen, Magnetaren oder anderen kompakten Objekten vermutlich nicht am Werk. Die Felder werden in ihren differenziell rotierenden Vorläufern erzeugt. Nehmen wir die Sonne als Beispiel mit Dynamowirkung in der Konvektionszone mit einer Dicke von L☉ ~ 2 × 105 km und einer durchschnittlichen Dichte von N☉cc ~ 8 × 1023. Die Verwendung der Gesamtbreite der Konvektionszone überschätzt die aktuelle Filamentbreite erheblich. Eine absolute Obergrenze wäre L☉km ≲ 2 × 104. Es ist klar, dass die Geschwindigkeiten auch viel kleiner als c sind. Die Verwendung von c führt also zu einer extremen absoluten Obergrenze für das Magnetfeld B < 1021 T. Die vergleichbar starken Felder in Neutronensternen entstehen später beim schnellen Kollaps des magnetisierten schweren Vorläufersterns, der während des Kollapses keine Zeit hatte, die magnetische Energie abzubauen, die in das winzige Neutronensternvolumen komprimiert wird. Der Kompressionsfaktor liegt in der Größenordnung von ~ 1012, was Grenzfelder von B ≲ 1035 Gauß ergibt. Die klassische elektrodynamische Schätzung scheitert eindeutig, wenn es darum geht, eine Obergrenze für die Magnetfeldstärke zu finden, die mit den Beobachtungen übereinstimmt.

Weitere, nicht weniger schwerwiegende Diskrepanzen ergeben sich, wenn man die Magnetfeldenergie des Neutronensterns mit der gesamten verfügbaren Rotationsenergie sowohl im Vorläufer als auch im Neutronenstern gleichsetzt und dabei von einer Äquipartition der Rotations- und der magnetischen Energie ausgeht – in beiden Fällen eindeutig eine kaum gerechtfertigte Annahme. Die magnetische Energie kann nicht größer werden als die ursprünglich verfügbare dynamische Energie ihrer Ursache, von der sie nur ein Bruchteil ist. Es ist vermutlich grundsätzlich fraglich, ob Magnetfelder jemals durch irgendeinen klassischen Mechanismus wesentlich stärker erzeugt werden konnten als in Neutronensternen beobachtet (abgesehen von einer kurzen, ~10 s langen Phase der Dynamoverstärkung nach dem Kollaps, die bestenfalls einen weiteren Faktor von ~10-100 ergibt) und durch eine weitere Konzentration der magnetischen Energie in kleineren Volumina, die Bündelung von magnetischen Flussröhren, wie sie in Magnetaren vorkommen soll. Wenn überhaupt viel stärkere Felder erzeugt wurden, muss dies zu Zeiten und in Objekten geschehen sein, in denen Magnetfelder durch andere Prozesse als klassische Dynamos erzeugt werden konnten. Man muss also in die Quantenelektrodynamik bzw. Quantenfeldtheorie einsteigen, um Rückschlüsse auf die prinzipiellen physikalischen Grenzen der Erzeugung von Magnetfeldern ziehen zu können. Die folgende Untersuchung ist weniger durch Beobachtungen als durch diese grundlegende theoretische Frage motiviert.

Flusselemente

Die Quantenmechanik bietet eine Möglichkeit, aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung, die ursprünglich 1930 von Landau für ein in einem homogenen Magnetfeld kreisendes Elektron gefunden wurde, eine erste Grenze für das Magnetfeld zu erhalten. Die physikalische Interpretation dieser Lösung wurde viel später in der Aharonov-Bohm-Theorie gegeben. Aus der Forderung, dass der magnetische Fluss Φ eines Feldes B, das in einer Elektronenkreisbahn eingeschlossen ist, einwertig sein muss, leiteten Aharonov und Bohm ab, dass Φ = ν Φ0 mit dem Flusselement Φ0 = 2πħ/e, e die Elementarladung, und ν = 1, 2, …. quantisiert ist. Da ν = Φ/Φ0 die Anzahl der vom Feld getragenen Elementarflüsse und B = Φ/πl2 ist, definiert ν = 1 eine kleinste magnetische Länge

Diese Länge, die der Gyroradius eines Elektrons im niedrigsten Landau-Energieniveau ist, kann als Radius einer Magnetfeldlinie im Magnetfeld B interpretiert werden. Die Feldlinien werden umso schmaler, je stärker das Magnetfeld ist. Andererseits ergibt die Umformulierung von Gleichung (3) einen Ausdruck für das Magnetfeld

aus dem sich für eine gegebene kürzeste „kritische“ Länge lB ≡ lc das maximale Magnetfeld Bc, das lc entspricht, im Prinzip abschätzen lässt. Setzt man beispielsweise lc = 2πħ/mc gleich der Compton-Länge der Elektronen λ0 = 2πħ/mc, so erhält man die kritische Pulsar- (Neutronenstern-) Magnetfeldstärke Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss. Es ist von beträchtlichem Interesse, dass ungefähr diese Feldstärke tatsächlich aus der Beobachtung der fundamentalen (ν = 1) Elektronenzyklotronharmonischen Röntgenlinie abgeleitet wurde, die vom Pulsar HerX1 entdeckt wurde, etwa zwei Jahrzehnte nach Aharonovs und Bohms und ein halbes Jahrhundert nach Landaus Theorie.

Verallgemeinerung

Die Verwendung der Compton-Wellenlänge bringt die begrenzende Feldstärke in Neutronensternen mit der Quantenelektrodynamik in Verbindung. Sie wirft die Frage nach einer genaueren theoretischen Bestimmung der quantenelektrodynamischen Grenzfeldstärke unter Berücksichtigung relativistischer Effekte auf. Sie wirft auch die Frage auf, ob der Bezug auf andere fundamentale Längenskalen andere prinzipielle Grenzen für Magnetfelder liefern kann, wenn nur solche Felder auf irgendeine Weise erzeugt werden können, d.h. wenn elektrische Ströme ausreichender Stärke unter anderen Bedingungen fließen könnten, wie z.B. in der Quantenchromodynamik.

Sehr formal, mit Ausnahme der Einbeziehung relativistischer Effekte, liefert Gleichung (4) eine Modellgleichung für ein Grenzfeld in Abhängigkeit von einer beliebigen fundamentalen Längenskala lc. Unter dieser vereinfachenden Annahme skaliert das kritische Magnetfeld Bc einfach mit dem inversen Quadrat der entsprechenden fundamentalen Länge. Formal ist dies in Abbildung 1 unter der Annahme der Gültigkeit der Aharonov-Bohm-Skalierung bei höheren Energien grafisch dargestellt.

Das Compton-Limit für Magnetfelder war aus reinen Energiebetrachtungen bekannt, die den Zerfall des Vakuums zur Paarbildung bei Magnetfeldern stärker als Bns vorhersagen. Aus diesem Grund war der Nachweis von Magnetfeldern, die das Quantenlimit um bis zu drei Größenordnungen überschreiten, in Magnetaren zunächst eine Überraschung. Genauere relativistische elektrodynamische Berechnungen mit Feynman-Graphen höherer Ordnung zeigten jedoch, dass das Compton-Limit durchaus überschritten werden kann. In erster Näherung verschiebt sich im anomalen magnetischen Moment der Elektronen das unterste Landau-Niveau gemäß

mit α = α/2π der reduzierten Feinstrukturkonstante. Diese Formel ist gültig für B < Bq. Sie deutet auf eine Abnahme des niedrigsten Landau-Energieniveaus bei zunehmenden Feldern hin, offensichtlich mit heftigen nicht-physikalischen Folgen für astrophysikalische Objekte. Daher müssen Feynman-Diagramme mit der Selbstanziehung von Elektronen höherer Ordnung berücksichtigt werden, insbesondere bei großen Feldern. In Feldern B ≫ Bq, die Bq wesentlich überschreiten, werden die Elektronen relativistisch massiv, und das unterste Landau-Niveau steigt nach Durchlaufen eines Minimums zu

Hieraus folgt, dass sich die Energie des niedrigsten Landau-Niveaus erst bei Magnetfeldern in der Größenordnung von B ~ 1028 T (~ 1032 Gauß) verdoppelt, also weit oberhalb jeglicher Magnetfelder von Neutronensternen oder Magnetar-Oberflächen. Relativistische Selbstenergiekorrekturen, die einen Magnetfeldzerfall verursachen, kommen daher nur bei diesen Energien zum Tragen, die die ultimative Grenze für Magnetfeldstärken darstellen könnten.

Es ist bemerkenswert, dass diese Grenze ungefähr mit den besten jüngsten experimentellen Bestimmungen einer Obergrenze für den Elektronenradius übereinstimmt. Unterhalb dieser Skala sollten zusätzliche Effekte auftreten, die vor allem eine weitere Erhöhung der Magnetfeldstärken oder sogar die Existenz von Magnetfeldern verhindern. Es scheint also, dass bis zu dieser Skala die Aharonov-Bohm-Skalierung, die Abbildung 1 zugrunde liegt, nicht völlig ungerechtfertigt ist. Dies ist auch unter dem Gesichtspunkt höchst interessant, dass sowohl die Skalen der elektroschwachen als auch der starken Wechselwirkung in den erlaubten Bereich fallen, da die Elektronen ihre Natur in diesen Skalen beibehalten. Es ist nur der Wüstenbereich der Energien bzw. Skalen, der ausgeschlossen ist. Er umfasst insbesondere den GUT-Bereich der großen Vereinheitlichung sowie die Quantengravitation, Bereiche, die nur im sehr frühen Universum eine Rolle gespielt haben. Etwaige rudimentäre Magnetfelder aus dieser Zeit sind durch die Inflation und die kosmologische Expansion auf niedrige Werte verdünnt worden, die sich nur noch am unteren Rand von Abbildung 1 befinden.

Diskussion und Schlussfolgerungen

Wenn magnetische Monopole jemals im Universum existiert und überlebt haben, müssen Magnetfelder zu jeder Zeit durch die Erzeugung elektrischer Ströme entstanden sein. Die im frühen Universum erzeugten Felder wurden später auf die heutigen niedrigen Werte im großen Maßstab abgeschwächt, wie an anderer Stelle diskutiert. Möglicherweise waren sie anfangs sehr stark, in diesem Fall ist ihre Stärke ebenfalls begrenzt. Alle vernünftigen Stärken, die aus Dynamo- und anderen Modellen in klassischen und chromodynamischen Theorien geschätzt werden, erreichen jedoch höchstwahrscheinlich keine der oben genannten quantenelektrodynamischen Grenzen. Vermutlich ist es nicht nötig, zusätzliche chromodynamische Grenzen zu fordern. Diese Behauptung lässt sich auf die Rolle der Elektronen bei der Stromerzeugung stützen, die die Grundlage für die Erzeugung von Magnetfeldern in großem Maßstab bildet. Elektronen und ihre Spins sind auch für den Magnetismus in Festkörpern verantwortlich. Es wird immer noch angenommen, dass Elektronen keine Struktur haben. In jedem Fall dürften Ströme auf Skalen „innerhalb“ eines Elektrons, d. h. unterhalb des fiktiven Elektronenradius re, entweder jede Bedeutung verlieren oder überhaupt nicht existieren, so dass der Begriff des Magnetfelds wahrscheinlich nicht mehr viel Sinn macht. Man kann also davon ausgehen, dass die obere quantenelektrodynamische Grenze eine absolute Grenze für realistische Magnetfeldstärken setzt.

Die Anwendung der Aharonov-Bohm-Skalierung in Abbildung 1 auf Magnetfelder im Universum scheint eine vernünftige Vorstellung von den zu erwartenden absoluten Grenzen für Magnetfeldstärken auf quantenelektrodynamischen Skalen zu vermitteln. Offensichtlich ändert sich der Charakter des Vakuums auf kurzen Skalen und bei hohen Energien, da Photonen schwer werden und in elektroschwache Bosonen übergehen und Quarks in der Materie ins Spiel kommen. Elektronen bleiben bis mindestens re ~ 10-22 m, der derzeitigen Obergrenze für den Elektronenradius, gleich. Dies legt nahe, die Gleichung (4) für das kritische Magnetfeld wie folgt zu formulieren:

wobei lc ≥ l0 und l0 ≳ re die relevante Mindestlänge ist, ab der Magnetfelder sinnvoll sind. In Abbildung 1 ist dieses Verhalten durch die gestrichelte schwarze Kurve dargestellt, die von der Diagonalen abweicht. Dennoch ist die Stabilität des Vakuums nicht so eindeutig wie im quantenelektrodynamischen Bereich in Gegenwart der superstarken Magnetfelder im elektroschwachen und chromodynamischen Bereich. Das Problem bleibt, dass Magnetfelder entweder auf diesen kleinen Skalen oder auf viel größeren elektrodynamischen Skalen erzeugt werden müssen, von denen aus sie auf diese kleinen Skalen kollabieren.

Was die Erzeugung von Magnetfeldern vor dem Kollaps durch die allgemein akzeptierten Dynamo- oder Batterieeffekte betrifft, so sind die Magnetfeldstärken streng durch die verfügbaren dynamischen Energien begrenzt, die weit unter jeder quantenelektrodynamischen Grenze liegen. Man könnte argumentieren, dass die quantenelektrodynamische Skalierung eine vernünftige absolute Begrenzung für jede mögliche Magnetfeldstärke darstellt, solange die Skala des Elektronenradius während des Kollapses nicht erreicht wird. Neutronensterne und Magnetare haben Skalen, die viel größer sind als die Elektronenskala. Schwerere Objekte könnten durch Verkleinerung ihres Maßstabs wesentlich stärkere Felder besitzen, aber der zulässige Bereich wird durch die Bedingung eingeengt, dass solche Objekte beim Kollaps leicht zu Schwarzen Löchern werden, die nach dem berühmten No-Hair-Theorem keine Magnetfelder besitzen. Es ist nicht bekannt, was mit dem Feld beim Überschreiten des Horizonts passieren würde, da der externe Beobachter keine Informationen über das Feld erhalten würde. Das No-Hair-Theorem legt nahe, dass das Feld einfach in das Loch gesaugt wird und zusammen mit der kollabierenden Masse verschwindet. Gewöhnliche Überlegungen, die von der Aufrechterhaltung des eingefrorenen Zustands ausgehen, legen dann nahe, dass das Feld innerhalb des Horizonts bei dem vermutlich anhaltenden Gravitationskollaps weiter zunehmen sollte.

Die verfügbaren starken Felder, die näher an die quantenelektrodynamischen Grenzen heranreichen, finden sich in Neutronensternen und Magnetaren. Bisher wurden noch keine Magnetfelder von fremden Sternen positiv nachgewiesen. Es wurde sogar gezeigt, dass solche Felder, die möglicherweise in supraleitenden fremden Sternen vorhanden sind, innerhalb von Zeiten kürzer als ~ 20 Myrs rotatorisch zerfallen würden. Das Vorhandensein von Feldern in Magnetaren, die stärker als Bns = Bq sind, wird heute als Folge von Krusteneffekten verstanden, die zu einer lokalen Konzentration von Magnetfeldern und ausgedehnten Magnetschleifen führen, die eine gewisse Ähnlichkeit mit den bekannten Sonnenflecken aufweisen. Die Auswirkungen auf die Materie in superstarken Feldern wurden zuerst von Ruderman untersucht und sind in und anderen überarbeitet worden.

Erklärung zum Interessenkonflikt

Die Autoren erklären, dass die Forschung in Abwesenheit jeglicher kommerzieller oder finanzieller Beziehungen durchgeführt wurde, die als potentieller Interessenkonflikt ausgelegt werden könnten.