Je vais définir une fonction s de N et je vais la définir comme la somme la somme de tous les entiers positifs entiers positifs y compris n y compris n et donc le domaine de cette fonction est vraiment tous les… entiers positifs et doit être un entier positif et donc on peut l’essayer avec quelques trucs on peut prendre s de 3 ça va être égal à 1 plus 2 plus 3 ce qui est égal à 6 on peut prendre s de prenons s de 4 bien ça va être 1 plus 2 plus 3 plus 4 ce qui va être égal à 10 donc assez simple maintenant ce que je veux faire dans cette vidéo, c’est vous prouver, et il y a plusieurs façons de le faire, que je peux écrire que la somme de tous les entiers positifs jusqu’à n inclus est égale à n fois n plus 1, le tout sur 2, et la façon dont je vais vous le prouver, du moins la première, c’est par induction. par induction c’est une façon philosophique intéressante de prouver quelque chose parce que la façon dont on fait une preuve par induction c’est d’abord de prouver le cas de base on prouve le cas de base donc dans le cas de cette fonction cette déclaration juste ici donc c’est ce qu’on doit prouver dans le cas de cette déclaration juste ici on va d’abord le prouver 4-1 ce sera notre cas de base et ensuite nous allons faire l’étape d’induction l’étape d’induction qui consiste essentiellement à dire que si nous supposons que ça marche pour un certain entier positif K, alors si nous supposons que alors nous pouvons prouver que ça va marcher pour l’entier positif suivant, ça va marcher pour K plus 1. pour K plus 1 et la raison pour laquelle ça marche disons qu’on prouve que si on prouve les deux, alors le cas de base on va le prouver pour dans ce cas on va prouver pour 1 prouver pour 1 mais il n’y a pas toujours besoin d’être 1 parce que vous pourriez votre votre il pourrait être ceci est vrai pour tout au-dessus de 55 ou tout ce qui est au-dessus d’un certain seuil mais dans ce cas on dit que c’est vrai pour tous les entiers positifs donc notre cas de base va être 4 1 et ensuite notre prochain F on va essayer de prouver que si on suppose si on suppose 4 si on suppose que cette chose est vraie pour certains de K si on suppose que alors elle sera vraie pour certains de K plus 1 et la raison pour laquelle c’est tout ce que vous avez à faire pour prouver ceci pour tous les nombres entiers positifs est juste d’imaginer alors pensons à tous les nombres entiers positifs juste ici 1 2 3 4 5 6 on pourrait continuer indéfiniment donc nous allons le prouver 4-1 nous allons prouver que cette formule juste ici cette expression s’applique au cas de 1 quand n est 1 et ensuite nous allons prouver que si nous savons que c’est vrai pour un K donné c’est vrai pour le suivant donc si nous savons que c’est vrai pour 1 dans notre cas de base alors la deuxième étape cette étape d’induction dit bien que ça doit être vrai pour 2 alors parce que nous avons prouvé généralement si c’est vrai pour K ça va être vrai pour K plus 1 alors si c’est vrai pour 2 alors ça doit être vrai pour 3 parce que nous avons prouvé que si c’est vrai pour K c’est vrai pour K plus 1 alors si c’est vrai pour 2 c’est vrai pour 3 et alors si c’est vrai pour 3 ça doit être vrai pour 4 et on peut continuer encore et encore à l’infini ce qui veut dire que c’est vrai pour tout maintenant on parle en général de généralités prouvons en fait par induction alors prenons prenons prenons prenons la somme faisons cette fonction sur 1 bien cela va juste être la somme de tous les nombres entiers positifs incluant 1 c’est juste littéralement 1 nous venons juste de les additionner tous c’est juste 1 il n’y a pas d’autre nombre entier positif jusqu’à 1 inclus et nous pouvons prouver que c’est la même chose que 1 fois 1 plus 1 tout cela sur 2 1 plus 1 est 2 2 divisé par 2 est 1 1 fois 1 est 1 donc cette formule juste ici cette expression a marché pour elle a fonctionné pour 1 donc nous avons prouvé que nous avons prouvé notre cas de base nous l’avons prouvé pour 1 maintenant ce que je veux faire c’est que je veux supposer que ça marche pour un certain nombre pour un certain nombre K donc je vais supposer que c’est vrai pour un certain nombre K donc je vais supposer que pour un certain nombre K que cette fonction à K va être égale à K fois k plus 1 sur 2 donc je vais juste supposer que c’est vrai pour ça maintenant Ce que je veux faire, c’est penser à ce qui se passe quand j’essaie de trouver cette fonction pour k plus 1, donc c’est ce que je suppose, je suppose que je le sais, maintenant essayons de le faire pour k plus 1, donc quelle est la somme de tous les nombres entiers jusqu’à k plus 1 inclus, jusqu’à k plus 1 inclus, et bien ce sera 1 plus 2 plus 3 plus jusqu’à k plus k plus 1, c’est la somme de tout jusqu’à et y compris k plus 1. y compris k plus 1 on suppose qu’on sait déjà ce que c’est on suppose qu’on a déjà une formule pour ça on suppose que ça va se simplifier en k fois k plus 1 sur 2 ou on suppose qu’on sait ça et donc on va juste prendre cette partie et on va l’ajouter à k plus 1 donc on va l’ajouter à k plus 1 ici on va l’ajouter à k plus 1 et si on trouve un dénominateur commun si on trouve un commentaire le le dénominateur commun sera 2 alors allons-y, ceci sera égal à je vais d’abord écrire la partie en magenta c’est K fois k plus 1 sur 2 plus 2 fois k plus 1 sur 2 cette chose en bleu est la même chose que cette chose en bleu les deux s’annulent je l’ai juste écrit de cette façon donc j’ai un dénominateur commun et donc ceci sera égal à ceci sera égal à nous avons un dénominateur commun de 2 et je vais Je vais l’écrire dans une couleur différente ici donc nous allons avoir K fois k plus 1 plus 2 fois k plus 1 maintenant à cette étape juste ici vous pouvez factoriser un k plus 1 ces deux termes sont divisibles par K plus 1 donc factorisons cela si vous factorisez un k plus 1 vous obtenez k plus 1 k plus 1 fois nous le fracturons ici si vous factorisez un k plus 1 vous avez juste un K ici si vous factorisez un k plus 1 vous avez juste un – Je vais donner un code de couleur pour que vous sachiez ce que je fais, donc ce 2 est ce 2 juste là et ce K ce K est ce K est ce K juste là on a factorisé ces k plus une fois on a factorisé environ 2 ce k plus 1 juste là et ça va être tout ça tout ça sur 2 maintenant on peut réécrire ça c’est la même chose c’est égal à c’est la même chose que c’est la même chose que k plus 1 c’est cette partie juste ici fois k plus 1 k plus 1 plus 1 c’est clairement la même chose que k plus 2 tout ça sur tout ça sur 2 Maintenant, pourquoi est-ce intéressant pour nous ? Eh bien, nous venons de le prouver si nous supposons que c’est vrai, si nous supposons que c’est vrai et si nous utilisons cette hypothèse, nous obtenons que la somme de tous les nombres entiers positifs jusqu’à et y compris k plus 1 est égale à k plus 1 fois k plus 1 plus 1 sur 2 nous sommes en train de montrer que la formule originale s’applique aussi à k plus 1 si vous prenez k plus 1 et que vous le mettez pour n vous pourriez le mettre pour n vous obtiendriez exactement le résultat que nous avons ici donc nous avons montré nous avons prouvé nous avons prouvé notre cas de base. prouvé que nous avons prouvé notre cas de base cette expression a fonctionné pour la somme de tous les entiers positifs jusqu’à 1 inclus et elle fonctionne également si nous supposons qu’elle fonctionne pour tout ce qui est jusqu’à k ou si nous supposons qu’elle fonctionne pour l’entier k, elle fonctionne également pour l’entier k plus 1. entier k plus 1 et nous avons fini c’est notre preuve ami par induction qui nous prouve que ça marche pour tous les entiers positifs pourquoi est-ce bien nous l’avons prouvé pour 1 et nous l’avons prouvé que si ça marche pour un certain entier ça va marcher pour l’entier suivant si on peut supposer que ça marche pour un certain nombre de nombres entiers, cela fonctionnera pour le nombre entier suivant, donc si on suppose que cela fonctionne pour un, cela peut fonctionner pour deux, et bien on a déjà prouvé que cela fonctionne pour un, donc on peut supposer que cela fonctionne pour un, donc cela fonctionnera certainement pour deux, donc on a deux vérifications, mais comme on peut supposer que cela fonctionne pour deux nous pouvons maintenant supposer qu’il fonctionne pour trois bien si il fonctionne pour trois alors nous avons prouvé qu’il fonctionne pour quatre vous voyez comment cette étape d’induction est un peu comme un domino et il Cascades et nous pouvons continuer et continuer indéfiniment ainsi il fonctionnera vraiment pour tous les entiers positifs