Opérateur (mathématiques)

Sep 22, 2021

admin

GéométrieEdit

Articles principaux : groupe linéaire général et isométrie

En géométrie, on étudie parfois des structures supplémentaires sur des espaces vectoriels. Les opérateurs qui mettent en correspondance de tels espaces vectoriels avec eux-mêmes de manière bijective sont très utiles dans ces études, ils forment naturellement des groupes par composition.

Par exemple, les opérateurs bijectifs préservant la structure d’un espace vectoriel sont précisément les opérateurs linéaires inversibles. Ils forment le groupe linéaire général sous composition. Ils ne forment pas un espace vectoriel sous l’addition d’opérateurs, par exemple, id et -id sont tous deux inversibles (bijectifs), mais leur somme, 0, ne l’est pas.

Les opérateurs préservant la métrique euclidienne sur un tel espace forment le groupe isométrique, et ceux qui fixent l’origine forment un sous-groupe appelé groupe orthogonal. Les opérateurs du groupe orthogonal qui préservent également l’orientation des tuples de vecteurs forment le groupe orthogonal spécial, ou le groupe des rotations.

Théorie des probabilitésModifier

Article principal : Théorie des probabilités

Des opérateurs interviennent également dans la théorie des probabilités, comme l’espérance, la variance et la covariance. En effet, toute covariance est fondamentalement un produit scalaire ; toute variance est un produit scalaire d’un vecteur avec lui-même, et est donc une norme quadratique ; tout écart-type est une norme (racine carrée de la norme quadratique) ; le cosinus correspondant à ce produit scalaire est le coefficient de corrélation de Pearson ; la valeur attendue est fondamentalement un opérateur intégral (utilisé pour mesurer des formes pondérées dans l’espace).

CalculusEdit

Articles principaux : opérateur différentiel et opérateur intégral

Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, le calcul est l’étude de deux opérateurs linéaires : l’opérateur différentiel d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}. }{\mathrm {d} t}}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, et l’opérateur de Volterra ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}

$\int_0^t$

Série de Fourier et transformée de FourierModifier

Articles principaux : Série de Fourier et transformée de Fourier

La transformée de Fourier est utile en mathématiques appliquées, notamment en physique et en traitement du signal. C’est un autre opérateur intégral ; il est utile principalement parce qu’il convertit une fonction sur un domaine (temporel) en une fonction sur un autre domaine (fréquence), d’une manière effectivement inversible. Aucune information n’est perdue, puisqu’il existe un opérateur de transformation inverse. Dans le cas simple des fonctions périodiques, ce résultat repose sur le théorème selon lequel toute fonction périodique continue peut être représentée comme la somme d’une série d’ondes sinusoïdales et d’ondes cosinusoïdales :

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$

Le tuple (a0, a1, b1, a2, b2, …) est en fait un élément d’un espace vectoriel de dimension infinie ℓ2, et donc la série de Fourier est un opérateur linéaire.

Lorsqu’on traite de la fonction générale R → C, la transformée prend une forme intégrale :

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Transformation de LaplaceEdit

Article principal : Transformée de Laplace

La transformée de Laplace est un autre opérateur intégral et intervient dans la simplification du processus de résolution des équations différentielles.

Donné f = f(s), elle est définie par :

F ( s ) = L { f }. ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t)\,dt.$

Opérateurs fondamentaux sur les champs scalaires et vectorielsModifier

Articles principaux : calcul vectoriel, champ vectoriel, champ scalaire, gradient, divergence et curl

Trois opérateurs sont la clé du calcul vectoriel :

Grad (gradient), (avec le symbole opérateur ∇ {\displaystyle \nabla }.
$\nabla$

) attribue à chaque point d’un champ scalaire un vecteur qui pointe dans la direction du plus grand taux de variation de ce champ et dont la norme mesure la valeur absolue de ce plus grand taux de variation.
Div (divergence), (avec le symbole opérateur ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) est un opérateur vectoriel qui mesure la divergence ou la convergence d’un champ vectoriel vers un point donné.
Curl, (avec le symbole d’opérateur ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) est un opérateur vectoriel qui mesure la tendance à l’enroulement (enroulement autour, rotation autour) d’un champ vectoriel autour d’un point donné.

En tant qu’extension des opérateurs du calcul vectoriel à la physique, à l’ingénierie et aux espaces tensoriels, les opérateurs Grad, Div et Curl sont également souvent associés au calcul tensoriel ainsi qu’au calcul vectoriel.