Mathématiques
Inspiration, mathématiques pures, appliquées et esthétiqueEdit
Il est fort possible que l’art du calcul ait été développé encore plus tôt que l’écriture, se rapportant principalement à la comptabilité et à la gestion immobilière, au commerce, dans l’arpentage, et plus tard en astronomie.
Aujourd’hui, toutes les sciences apportent des problèmes qui sont étudiés par les mathématiciens, tandis que de nouveaux problèmes apparaissent au sein même des mathématiques. Par exemple, le physicien Richard Feynman a proposé l’intégrale de chemin comme fondement de la mécanique quantique, combinant le raisonnement mathématique et l’approche physique, mais une définition pleinement satisfaisante en termes mathématiques n’a pas encore été obtenue. De même, la théorie des cordes, une théorie scientifique en développement qui tente d’unifier les quatre forces fondamentales de la physique, continue d’inspirer la plupart des mathématiques modernes.
Certaines mathématiques ne sont pertinentes que pour le domaine dans lequel elles ont été inspirées et sont appliquées à d’autres problèmes dans ce domaine. Souvent, cependant, les mathématiques inspirées d’un domaine particulier sont utiles dans de nombreux domaines, et sont incluses dans les concepts mathématiques généraux acceptés. Le fait remarquable que même les mathématiques les plus pures ont généralement des applications pratiques est ce qu’Eugene Wigner a défini comme « l’efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles ».
Comme dans la plupart des domaines d’étude, l’explosion des connaissances à l’ère scientifique a conduit à la spécialisation des mathématiques. Il existe une distinction importante entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. La plupart des mathématiciens de recherche se concentrent sur un seul de ces domaines, et parfois le choix est fait au début de leur cursus. Plusieurs domaines des mathématiques appliquées ont fusionné avec d’autres domaines traditionnellement extérieurs aux mathématiques et sont devenus des disciplines indépendantes, comme les statistiques, la recherche opérationnelle ou l’informatique.
Ceux qui ont une prédilection pour les mathématiques constatent que prévaut un aspect esthétique qui définit la plupart des mathématiques. De nombreux mathématiciens parlent de l’élégance des mathématiques, de leur esthétique intrinsèque et de leur beauté intérieure. En général, l’un de ses aspects les plus appréciés est sa simplicité. Il y a de la beauté dans une preuve simple et percutante, comme la preuve d’Euclide de l’existence d’une infinité de nombres premiers, et dans une analyse numérique élégante qui accélère le calcul, ainsi que dans la transformée de Fourier rapide. G. H. Hardy, dans A Mathematician’s Apology, a exprimé la conviction que ces considérations esthétiques sont, en elles-mêmes, suffisantes pour justifier l’étude des mathématiques pures. Les mathématiciens s’efforcent souvent de trouver des preuves de théorèmes particulièrement élégantes, le mathématicien excentrique Paul Erdős faisant référence à ce fait comme la recherche de preuves du « Livre » dans lequel Dieu a écrit ses preuves préférées. La popularité des mathématiques récréatives est un autre signe du plaisir de résoudre des questions mathématiques.
Notation, langage et rigueurEdit
La plupart des notations mathématiques utilisées aujourd’hui n’ont pas été inventées avant le 18e siècle. Avant cela, les mathématiques étaient écrites en mots, un processus laborieux qui limitait le progrès mathématique. Au 18ème siècle, Euler est à l’origine de nombreuses notations utilisées aujourd’hui. La notation moderne rend les mathématiques beaucoup plus faciles pour les professionnels, mais compliquées pour les débutants. La notation réduit les mathématiques au minimum, ce qui fait que certains symboles contiennent une grande quantité d’informations. Comme la notation musicale, la notation mathématique moderne a une syntaxe stricte et code des informations qui seraient difficiles à écrire autrement.
Le langage mathématique peut aussi être difficile pour les débutants. Des mots tels que ou et seulement ont des significations plus précises que dans le langage courant. En outre, des mots tels que « ouvert » et « corps » ont des significations mathématiques très spécifiques. Le jargon mathématique, ou langage mathématique, comprend des termes techniques tels que l’homéomorphisme ou l’intégrabilité. La nécessité d’utiliser la notation et le jargon s’explique par le fait que le langage mathématique exige plus de précision que le langage courant. Les mathématiciens appellent cette précision dans le langage et la logique la « rigueur ».
La rigueur est une condition indispensable que doit avoir une preuve mathématique. Les mathématiciens veulent que leurs théorèmes issus des axiomes suivent un raisonnement systématique. Cela permet d’éviter les théorèmes erronés, basés sur des intuitions faillibles, qui se sont produits à plusieurs reprises dans l’histoire de cette science. Le niveau de rigueur attendu en mathématiques a varié au fil du temps : les Grecs recherchaient des arguments détaillés, mais à l’époque d’Isaac Newton, les méthodes employées étaient moins rigoureuses. Les problèmes inhérents aux définitions utilisées par Newton ont conduit à un renouveau de l’analyse minutieuse et des démonstrations officielles au XIXe siècle. Aujourd’hui, les mathématiciens continuent à se soutenir mutuellement par des démonstrations assistées par ordinateur.
Un axiome est traditionnellement interprété comme une « vérité évidente », mais cette conception est problématique. Dans le domaine formel, un axiome n’est rien de plus qu’une chaîne de symboles, qui n’a de signification intrinsèque que dans le contexte de toutes les formules dérivées d’un système axiomatique.
Les mathématiques en tant que scienceModifié
Carl Friedrich Gauss qualifiait les mathématiques de « reine des sciences ». Tant dans l’original latin Scientiārum Regīna, que dans l’allemand Königin der Wissenschaften, le mot science doit être interprété comme (domaine de) la connaissance. Si la science est considérée comme l’étude du monde physique, alors les mathématiques, ou du moins les mathématiques pures, ne sont pas une science.
De nombreux philosophes pensent que les mathématiques ne sont pas falsifiables expérimentalement et ne sont donc pas une science selon la définition de Karl Popper. Cependant, dans les années 1930, d’importants travaux en logique mathématique montrent que les mathématiques ne peuvent être réduites à la logique, et Karl Popper conclut que « la plupart des théories mathématiques sont, comme celles de la physique et de la biologie, hypothético-déductives. Ainsi, les mathématiques pures se sont rapprochées des sciences naturelles dont les hypothèses sont des conjectures, comme c’était le cas jusqu’à présent ». D’autres penseurs, notamment Imre Lakatos, ont appelé à une version du falsificationnisme pour les mathématiques elles-mêmes.
Un autre point de vue est que certains domaines scientifiques (tels que la physique théorique) sont des mathématiques avec des axiomes qui prétendent correspondre à la réalité. En fait, le physicien théoricien J. M. Ziman propose que la science soit une « connaissance publique » et qu’elle comprenne donc les mathématiques. Quoi qu’il en soit, les mathématiques ont beaucoup en commun avec de nombreux domaines des sciences physiques, notamment l’exploration des conséquences logiques des hypothèses. L’intuition et l’expérimentation jouent également un rôle important dans la formulation des conjectures en mathématiques et dans les autres sciences. Les mathématiques expérimentales continuent de gagner en représentation au sein des mathématiques. Le calcul et la simulation jouent un rôle croissant dans les sciences et les mathématiques, ce qui atténue l’objection selon laquelle les mathématiques ne font pas appel à la méthode scientifique. En 2002, Stephen Wolfram soutient, dans son livre A New Kind of Science, que les mathématiques computationnelles méritent d’être explorées empiriquement en tant que domaine scientifique.
Les opinions des mathématiciens sur cette question sont très variées. De nombreux mathématiciens considèrent que qualifier leur domaine de science revient à minimiser l’importance de son profil esthétique, ainsi qu’à nier son histoire au sein des sept arts libéraux. D’autres estiment qu’ignorer son lien avec les sciences revient à ignorer le lien évident entre les mathématiques et leurs applications dans les domaines de la science et de l’ingénierie, ce qui a considérablement stimulé le développement des mathématiques. Un autre sujet de débat, qui est quelque peu lié au précédent, est de savoir si les mathématiques ont été créées (en tant qu’art) ou découvertes (en tant que science). C’est l’une des nombreuses questions qui préoccupent la philosophie des mathématiques.
Les prix mathématiques sont généralement séparés de leurs équivalents en sciences. Le prix le plus prestigieux en mathématiques, la médaille Fields, a été créé en 1936 et est décerné tous les quatre ans. Il est souvent considéré comme l’équivalent du prix Nobel pour la science. D’autres prix sont le prix Wolf en mathématiques, créé en 1978, qui récompense l’ensemble des réalisations des mathématiciens, et le prix Abel, autre grand prix international, qui a été introduit en 2003. Les deux dernières récompensent l’excellence d’un travail, qu’il s’agisse d’une recherche révolutionnaire ou de la résolution d’un problème exceptionnel dans un domaine donné. Une liste célèbre de ces 23 problèmes non résolus, appelée « problèmes de Hilbert », a été compilée en 1900 par le mathématicien allemand David Hilbert. Cette liste est devenue très populaire parmi les mathématiciens, et au moins neuf des problèmes ont déjà été résolus. Une nouvelle liste de sept problèmes fondamentaux, intitulée « Problèmes du millénaire », a été publiée en 2000. La solution à chacun de ces problèmes sera récompensée par un million de dollars. Il est intéressant de noter qu’une seule (l’hypothèse de Riemann) figure sur les deux listes.