$ \def\P{\mathcal P} % ensemble de puissance \def\iff{\Leftrightarrow}$

Le mapping, ou abrégé map, est l’un des nombreux synonymes utilisés pour la fonction.En particulier, le terme map(ping) est utilisé dans des contextes généraux, comme la théorie des ensembles, mais l’usage n’est pas limité à ces cas.

Le concept de mapping en théorie des ensembles

En théorie des ensembles, les mappings sont des relations binaires spéciales.

Un mapping $f$ d’un ensemble $A$ à un ensemble $B$ estun triple (ordonné) $ f = (A,B,G_f) $ où $ G_f \sous-ensemble A \times B $ tel que

• (a) si $ (x,y) $ et $ (x,y’) \in G_f $ alors $ y=y’ $, et
• (b) la projection $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

La condition (a) exprime que $f$ est monovalent. etla condition (b) qu’il est défini sur $A$.

$A$ est le domaine, $B$ est le codomaine, et $G_f$ est le graphe du mapping. Par conséquent, dans ce cadre, les cartographies sont égales si et seulement si toutes les trois composantes correspondantes (domaine, codomaine et graphe) sont égales.
La cartographie est généralement dénotée comme $ f : A \to B $, et $ a \mapsto f(a) $où $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ est la valeur de $f$ à $a$.

Si deux applications $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ et $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ satisfont

$ A_1 \sous-ensemble A_2 $, $ B_1 \subset B_2 $ et $ G_1 \subset G_2 $

alors $f_2$ est appelé une extension de $ f_1 $, et $ f_1 $ une restriction de $f_2$.Dans ce cas, $ f_1 $ est souvent noté $ f_2 \vert A_1 $ et, clairement, $ f_1 (a) = f_2 (a) $ tient pour tout $ a \in A_1 $.

Remarque:
Parfois, seul le graphe $G_f$ est utilisé pour représenter une fonction.Dans ce cas, deux applications sont égales si elles ont le même graphe,et on peut admettre des graphes qui ne sont pas des ensembles mais des classes.
Alors que le domaine de la fonction peut être obtenu comme projection $ \pi_1 (G_f) $ de la première composante, la projection $ \pi_2 (G_f) $ de la seconde composante ne produit pas le codomaine mais seulement l’image du domaine.Ainsi, la notion de surjectivité n’est pas applicable.

Composition

Deux mappings peuvent être composés si le codomaine d’un mapping est un sous-ensemble du domaine de l’autre mapping :

Pour $ f=(A,B,G_f) $ et $ g=(C,D,G_g) $ avec $ B \sous-ensemble C $la composition $ g \circ f $ est le mapping $ (A,D,G) $ avec

$ G := \{ (a,g(f(a))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Remarques :
(a) La condition $ B \sous-ensemble C $ peut être relaxée en $ f(A) \sous-ensemble C $.
(b) Si l’on n’utilise que des graphes, alors le graphe de la composition est défini (comme ci-dessus) par

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

mais peut s’avérer vide.

Mappages induits

Tout mapping $ f : A \to B $ induit deux mappings entre les ensembles de puissances $\P(A)$ et $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \to \P(B) $ définie par $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ pour $ S \sous-ensemble A $

et

$ f^\ast : \P(B) \to \P(A) $ définie par $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ pour $ T \sous-ensemble B $

$ f_\ast (S) $ est appelée l’image de $S$ sous $f$, généralement notée $f(S)$, et$ f^\ast (T) $ est appelée l’image inverse de $T$ sous $f$, généralement notée $f^{-1}(T)$,mais il faut savoir que ces notations courantes peuvent être ambiguës dans certaines situations.