AristoteEdit

La plus ancienne formulation connue se trouve dans la discussion d’Aristote sur le principe de non-contradiction, proposé pour la première fois dans Sur l’interprétation, où il dit que de deux propositions contradictoires (c’est-à-dire où une proposition est la négation de l’autre) l’une doit être vraie, et l’autre fausse. Il l’énonce aussi comme un principe dans le livre 3 de la Métaphysique, en disant qu’il est nécessaire dans tous les cas d’affirmer ou de nier, et qu’il est impossible qu’il y ait quelque chose entre les deux parties d’une contradiction.

Aristote écrit que l’ambiguïté peut naître de l’utilisation de noms ambigus, mais ne peut exister dans les faits eux-mêmes :

Il est donc impossible que « être un homme » signifie précisément « ne pas être un homme », si « homme » non seulement signifie quelque chose à propos d’un seul sujet, mais a aussi une seule signification. … Et il ne sera pas possible d’être et de ne pas être la même chose, si ce n’est en vertu d’une ambiguïté, tout comme si quelqu’un que nous appelons « homme » et que d’autres appellent « pas-homme » ; mais le point en question n’est pas celui-ci, à savoir si la même chose peut en même temps être et ne pas être un homme en nom, mais si elle peut l’être en fait. (Métaphysique 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526).

L’affirmation d’Aristote selon laquelle  » il ne sera pas possible d’être et de ne pas être la même chose « , qui s’écrirait en logique propositionnelle comme ¬(P ∧ ¬P), est un énoncé que les logiciens modernes pourraient appeler la loi du milieu exclu (P ∨ ¬P), car la distribution de la négation de l’affirmation d’Aristote les rend équivalentes, indépendamment du fait que la première affirme qu’aucun énoncé n’est à la fois vrai et faux, alors que la seconde exige que tout énoncé soit vrai ou faux.

Mais Aristote écrit aussi que « puisqu’il est impossible que les contradictoires soient en même temps vrais de la même chose, évidemment les contraires ne peuvent pas non plus appartenir en même temps à la même chose » (Livre IV, CH 6, p. 531). Il propose ensuite qu' »il ne peut y avoir d’intermédiaire entre les contradictoires, mais d’un même sujet on doit affirmer ou nier un prédicat quelconque » (Livre IV, CH 7, p. 531). Dans le contexte de la logique traditionnelle d’Aristote, c’est un énoncé remarquablement précis de la loi du milieu exclu, P ∨ ¬P.

Aussi dans Sur l’interprétation, Aristote semble nier la loi du milieu exclu dans le cas des contingents futurs, dans sa discussion sur la bataille navale.

LeibnizEdit

Sa forme habituelle, « Tout jugement est soit vrai, soit faux » …. »(de Kolmogorov dans van Heijenoort, p. 421) note de bas de page 9 : « C’est la formulation très simple de Leibniz (voir Nouveaux Essais, IV,2) » (ibid p 421)

Bertrand Russell et Principia MathematicaEdit

Le principe a été énoncé comme un théorème de logique propositionnelle par Russell et Whitehead dans Principia Mathematica comme:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}

.

Qu’est-ce que la « vérité » et la « fausseté » ? A l’ouverture PM annonce rapidement quelques définitions:

Valeurs de vérité. La « valeur de vérité » d’une proposition est vérité si elle est vraie et fausseté si elle est fausse* …la valeur de vérité de « p ∨ q » est vérité si la valeur de vérité de p ou de q est vérité, et est fausseté sinon … celle de « ~ p » est l’opposé de celle de p… ». (p. 7-8)

Cela ne nous aide pas beaucoup. Mais plus tard, dans une discussion beaucoup plus profonde (« Définition et ambiguïté systématique de la vérité et de la fausseté » Chapitre II partie III, p. 41 et suivantes), PM définit la vérité et la fausseté en termes de relation entre le « a » et le « b » et le « percipient ». Par exemple, « Cet ‘a’ est ‘b' » (par exemple, « Cet ‘objet a’ est ‘rouge' ») signifie en réalité que « l’objet a’ est un sense-datum » et que « rouge » est un sense-datum », et qu’ils sont « en relation » l’un avec l’autre et avec « je ». Ainsi, ce que nous voulons vraiment dire est : « Je perçois que ‘Cet objet a est rouge' » et c’est une « vérité » indéniable-par-3ème partie.

PM définit en outre une distinction entre un « sense-datum » et une « sensation » :

C’est-à-dire que, lorsque nous jugeons (disons) « ceci est rouge », ce qui se produit est une relation de trois termes, l’esprit, et « ceci », et « rouge ». En revanche, lorsque nous percevons « la rougeur de ceci », il y a une relation de deux termes, à savoir l’esprit et l’objet complexe « la rougeur de ceci » (pp. 43-44).

Russell réitère sa distinction entre « données-sens » et « sensation » dans son livre The Problems of Philosophy (1912), publié en même temps que PM (1910-1913):

Donnons le nom de « données-sens » aux choses qui sont immédiatement connues dans la sensation : des choses comme les couleurs, les sons, les odeurs, les duretés, les rugosités, et ainsi de suite. Nous donnerons le nom de « sensation » à l’expérience de la conscience immédiate de ces choses… La couleur elle-même est une donnée sensorielle, pas une sensation. (p. 12)

Russell décrit plus avant le raisonnement qui sous-tend ses définitions de la « vérité » et de la « fausseté » dans le même livre (chapitre XII, Vérité et fausseté).

Conséquences de la loi du milieu exclu dans Principia MathematicaEdit

De la loi du milieu exclu, formule ✸2.1 dans Principia Mathematica, Whitehead et Russell tirent certains des outils les plus puissants de la boîte à outils d’argumentation du logicien. (Dans Principia Mathematica, les formules et les propositions sont identifiées par un astérisque de tête et deux chiffres, comme « ✸2.1 ».)

✸2.1 ~p ∨ p « C’est la loi du milieu exclu » (PM, p. 101).

La preuve de ✸2.1 est grossièrement la suivante : « L’idée primitive » 1.08 définit p → q = ~p ∨ q. En substituant p à q dans cette règle, on obtient p → p = ~p ∨ p. Puisque p → p est vrai (c’est le théorème 2.08, qui est prouvé séparément), alors ~p ∨ p doit être vrai.

✸2.11 p ∨ ~p (La permutation des assertions est permise par l’axiome 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principe de double négation, partie 1 : si « cette rose est rouge » est vraie alors il n’est pas vrai que « ‘cette rose n’est pas rouge’ est vraie ».)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)}. (Lemme associé à 2.12 utilisé pour dériver 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Principe de double négation, partie 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Un des quatre  » Principes de transposition « . Similaire à 1.03, 1.16 et 1.17. Une très longue démonstration a été nécessaire ici.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (S’il est vrai que  » Si cette rose est rouge alors ce cochon vole  » alors il est vrai que  » Si ce cochon ne vole pas alors cette rose n’est pas rouge. »)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Un autre des « Principes de transposition ».)
✸2.18 (~p → p) → p (Appelé « Le complément de la reductio ad absurdum. Il affirme qu’une proposition qui découle de l’hypothèse de sa propre fausseté est vraie  » (PM, p. 103-104).)

La plupart de ces théorèmes – en particulier ✸2.1, ✸2.11 et ✸2.14 – sont rejetés par l’intuitionnisme. Ces outils sont refondus sous une autre forme que Kolmogorov cite comme « les quatre axiomes d’implication de Hilbert » et « les deux axiomes de négation de Hilbert » (Kolmogorov in van Heijenoort, p. 335).

Propositions ✸2.12 et ✸2.14, « double négation »:Les écrits intuitionnistes de L. E. J. Brouwer font référence à ce qu’il appelle  » le principe de la réciprocité des espèces multiples, c’est-à-dire le principe selon lequel, pour tout système, la justesse d’une propriété découle de l’impossibilité de l’impossibilité de cette propriété  » (Brouwer, ibid, p. 335).

Ce principe est communément appelé  » le principe de la double négation  » (PM, p. 101-102). De la loi du milieu exclu (✸2.1 et ✸2.11), PM déduit immédiatement le principe ✸2.12. Nous substituons ~p à p dans 2.11 pour donner ~p ∨ ~(~p), et par la définition de l’implication (c’est-à-dire 1.01 p → q = ~p ∨ q) alors ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (La dérivation de 2.14 est un peu plus impliquée.)

ReichenbachEdit

Il est correct, au moins pour la logique bivalente – c’est-à-dire qu’on peut le voir avec une carte de Karnaugh – que cette loi supprime « le milieu » de l’inclusif-ou utilisé dans sa loi (3). Et c’est le point de la démonstration de Reichenbach que certains croient que l’exclusif-or devrait prendre la place de l’inclusif-or.

A propos de cette question (en termes certes très techniques) Reichenbach observe:

Le tertium non datur 29. (x) n’est pas exhaustif dans ses termes majeurs et constitue donc une formule gonflée. Ce fait explique peut-être pourquoi certaines personnes considèrent qu’il n’est pas raisonnable d’écrire (29) avec le « ou » inclusif, et veulent le faire écrire avec le signe du « ou » exclusif 30. (x), où le symbole « ⊕ » signifie exclusif-or, forme sous laquelle il serait pleinement exhaustif et donc nomologique au sens étroit. (Reichenbach, p. 376)

A la ligne (30), le  » (x)  » signifie  » pour tous  » ou  » pour chaque « , forme utilisée par Russell et Reichenbach ; aujourd’hui, le symbolisme est généralement ∀ {\displaystyle \forall }.

x. Ainsi, un exemple de l’expression ressemblerait à ceci :

• (cochon) : (Mouches(cochon) ⊕ ~Mouches(cochon))
• (Pour toutes les instances de « cochon » vues et non vues) : (« Le cochon vole » ou « Le cochon ne vole pas » mais pas les deux simultanément)

Logiciens contre IntuitionnistesEdit

De la fin des années 1800 jusqu’aux années 1930, un débat amer et persistant a fait rage entre Hilbert et ses disciples contre Hermann Weyl et L. E. J. Brouwer. La philosophie de Brouwer, appelée intuitionnisme, a commencé sérieusement avec Leopold Kronecker à la fin des années 1800.

Hilbert détestait intensément les idées de Kronecker:

Kronecker insistait sur le fait qu’il ne pouvait y avoir d’existence sans construction. Pour lui, comme pour Paul Gordan , la preuve par Hilbert de la finitude de la base du système invariant n’était tout simplement pas mathématique. En revanche, Hilbert, tout au long de sa vie, devait insister sur le fait que si l’on peut prouver que les attributs assignés à un concept ne conduiront jamais à une contradiction, l’existence mathématique du concept est ainsi établie (Reid p. 34)

Il soutenait que rien ne pouvait être dit avoir une existence mathématique à moins qu’il puisse effectivement être construit avec un nombre fini d’entiers positifs (Reid p. 26)

Le débat a eu un effet profond sur Hilbert. Reid indique que le deuxième problème de Hilbert (un des problèmes de Hilbert de la deuxième conférence internationale de Paris en 1900) a évolué à partir de ce débat (italique dans l’original):

Dans son deuxième problème avait demandé une preuve mathématique de la cohérence des axiomes de l’arithmétique des nombres réels. Pour montrer l’importance de ce problème, il ajoutait l’observation suivante : « Si des attributs contradictoires sont attribués à un concept, je dis que mathématiquement le concept n’existe pas » (Reid p. 71)

Donc Hilbert disait : « Si l’on montre que p et ~p sont tous deux vrais, alors p n’existe pas », et invoquait ainsi la loi du milieu exclu coulée sous la forme de la loi de la contradiction.

Et finalement les constructivistes… restreignaient les mathématiques à l’étude des opérations concrètes sur des structures finies ou potentiellement (mais pas réellement) infinies ; les totalités infinies achevées… étaient rejetées, tout comme les preuves indirectes basées sur la loi du milieu exclu. Les plus radicaux parmi les constructivistes étaient les intuitionnistes, menés par l’ancien topologue L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

Le débat rancunier s’est poursuivi du début des années 1900 aux années 1920 ; en 1927, Brouwer se plaignait de  » polémiquer contre lui sur un ton narquois  » (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Mais le débat était fertile : il a débouché sur Principia Mathematica (1910-1913), et cet ouvrage a donné une définition précise à la loi du milieu exclu, et tout cela a fourni un cadre intellectuel et les outils nécessaires aux mathématiciens du début du 20e siècle :

De cette rancœur, et engendrée en partie par elle, sont nés plusieurs développements logiques importants…l’axiomatisation de la théorie des ensembles par Zermelo (1908a) … qui fut suivie deux ans plus tard par le premier volume des Principia Mathematica …. dans lequel Russell et Whitehead ont montré comment, via la théorie des types, une grande partie de l’arithmétique pouvait être développée par des moyens logicistes (Dawson p. 49)

Brouwer a réduit le débat à l’utilisation de preuves conçues à partir de preuves « négatives » ou de « non-existence » par rapport à des preuves « constructives » :

Selon Brouwer, une déclaration selon laquelle un objet existe ayant une propriété donnée signifie cela, et n’est prouvée que lorsqu’on connaît une méthode qui, en principe au moins, permettra de trouver ou de construire un tel objet…. Hilbert n’était naturellement pas d’accord. « Les preuves d’existence pure ont été les repères les plus importants dans le développement historique de notre science », soutenait-il. (Reid p. 155) Brouwer … refusait d’accepter le principe logique du milieu exclu… Son argument était le suivant : « Supposons que A soit l’énoncé « Il existe un membre de l’ensemble S ayant la propriété P ». Si l’ensemble est fini, il est possible – en principe – d’examiner chaque membre de S et de déterminer s’il existe un membre de S ayant la propriété P ou si chaque membre de S n’a pas la propriété P. Pour les ensembles finis, Brouwer acceptait donc le principe du milieu exclu comme valide. Il refuse de l’accepter pour les ensembles infinis car si l’ensemble S est infini, nous ne pouvons pas, même en principe, examiner chaque membre de l’ensemble. Si, au cours de notre examen, nous trouvons un membre de l’ensemble ayant la propriété P, la première alternative est justifiée ; mais si nous ne trouvons jamais un tel membre, la deuxième alternative n’est toujours pas justifiée. Comme les théorèmes mathématiques sont souvent prouvés en établissant que la négation nous entraînerait dans une contradiction, cette troisième possibilité suggérée par Brouwer remettrait en question de nombreux énoncés mathématiques actuellement acceptés.  » Retirer le principe du milieu exclu au mathématicien « , disait Hilbert,  » revient à […] interdire au boxeur l’usage de ses poings.  » « La perte éventuelle ne semblait pas gêner Weyl… Le programme de Brouwer était la chose à venir, insista-t-il auprès de ses amis de Zurich. » (Reid, p. 149)}}

Dans sa conférence de 1941 à Yale et dans l’article qui a suivi, Gödel a proposé une solution : « que la négation d’une proposition universelle devait être comprise comme affirmant l’existence… d’un contre-exemple » (Dawson, p. 157))

L’approche de Gödel à la loi du milieu exclu était d’affirmer que les objections contre « l’utilisation de ‘définitions imprédicatives' » « avaient plus de poids » que « la loi du milieu exclu et les théorèmes connexes du calcul propositionnel » (Dawson p. 156). Il propose son  » système Σ […] et il conclut en mentionnant plusieurs applications de son interprétation. Parmi elles, une preuve de la cohérence avec la logique intuitionniste du principe ~ (∀A : (A ∨ ~A)) (malgré l’inconsistance de l’hypothèse ∃ A : ~ (A ∨ ~A) » (Dawson, p. 157)

Le débat semblait s’affaiblir : Les mathématiciens, les logiciens et les ingénieurs continuent d’utiliser la loi du milieu exclu (et de la double négation) dans leur travail quotidien.

Définitions intuitionnistes de la loi (principe) du milieu excluEdit

Ce qui suit met en évidence le problème mathématique et philosophique profond derrière ce que signifie « savoir », et aide également à élucider ce que la « loi » implique (c’est-à-dire ce que la loi signifie vraiment). Leurs difficultés avec la loi émergent : ils ne veulent pas accepter comme vraies des implications tirées de ce qui est invérifiable (non testable, inconnaissable) ou de l’impossible ou du faux. (Toutes les citations sont de van Heijenoort, les italiques sont ajoutées).

Brouwer propose sa définition du « principe du milieu exclu » ; nous voyons ici aussi la question de la « testabilité » :

Sur la base de la testabilité qui vient d’être mentionnée, il existe, pour les propriétés conçues dans un système principal fini spécifique, le « principe du milieu exclu », c’est-à-dire le principe selon lequel, pour tout système, toute propriété est soit correcte, soit impossible, et en particulier le principe de la réciprocité des espèces complémentaires, c’est-à-dire le principe selon lequel, pour tout système, la correction d’une propriété découle de l’impossibilité de cette propriété. (335)

La définition de Kolmogorov cite les deux axiomes de négation de Hilbert

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Le premier axiome de négation de Hilbert, « tout suit du faux », n’a fait son apparition qu’avec l’essor de la logique symbolique, tout comme le premier axiome d’implication…. alors que… l’axiome considéré affirme quelque chose à propos des conséquences d’une chose impossible : nous devons accepter B si le jugement vrai A est considéré comme faux… Le deuxième axiome de négation de Hilbert exprime le principe du milieu exclu. Le principe est exprimé ici sous la forme dans laquelle il est utilisé pour les dérivations : si B suit de A aussi bien que de ~A, alors B est vrai. Sa forme habituelle, « tout jugement est soit vrai, soit faux » est équivalente à celle donnée ci-dessus ». De la première interprétation de la négation, c’est-à-dire l’interdiction de considérer le jugement comme vrai, il est impossible d’obtenir la certitude que le principe du milieu exclu est vrai… Brouwer a montré que dans le cas de tels jugements transfinis le principe du milieu exclu ne peut pas être considéré comme évident note 9 : « C’est la formulation très simple de Leibniz (voir Nouveaux Essais, IV,2). La formulation « A est soit B, soit non-B » n’a rien à voir avec la logique des jugements. note 10 : « Symboliquement la deuxième forme s’exprime ainsi A ∨ ~A

où ∨ signifie « ou ». L’équivalence des deux formes est facilement prouvée (p. 421)

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