Le problèmeEdit

La conjecture de Poincaré, proposée par le mathématicien français Henri Poincaré en 1904, était l’un des problèmes clés de la topologie. Toute boucle sur une sphère 3 – comme par exemple l’ensemble des points à une distance de 1 de l’origine dans l’espace euclidien à quatre dimensions – peut être contractée en un point. La conjecture de Poincaré affirme que tout collecteur tridimensionnel fermé, tel que toute boucle peut être contractée en un point, est topologiquement une sphère 3. On sait que le résultat analogue est vrai en dimensions supérieures ou égales à cinq depuis 1960, comme dans les travaux de Stephen Smale. Le cas à quatre dimensions a résisté plus longtemps, pour être finalement résolu en 1982 par Michael Freedman. Mais le cas des formes tridimensionnelles s’est avéré être le plus difficile de tous. En gros, cela s’explique par le fait qu’en manipulant topologiquement un pli tridimensionnel, il y a trop peu de dimensions pour déplacer les « régions problématiques » sans interférer avec autre chose. La contribution la plus fondamentale au cas tridimensionnel a été apportée par Richard S. Hamilton. Le rôle de Perelman était de compléter le programme de Hamilton.

Preuve de PerelmanEdit

En novembre 2002, Perelman a posté le premier de trois preprints sur l’arXiv, dans lequel il prétendait avoir esquissé une preuve de la conjecture de géométrisation, dont la conjecture de Poincaré est un cas particulier. Ceci a été suivi par les deux autres prépublications en 2003.

Perelman a modifié le programme de Richard S. Hamilton pour une preuve de la conjecture. L’idée centrale est la notion de flux de Ricci. L’idée fondamentale de Hamilton est de formuler un « processus dynamique » dans lequel un trois-manifold donné est géométriquement déformé, le processus de distorsion étant régi par une équation différentielle analogue à l’équation de la chaleur. L’équation de la chaleur (qui, bien plus tôt, a motivé Riemann à formuler son hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta) décrit le comportement de quantités scalaires telles que la température. Elle garantit que les concentrations de température élevée s’étendront jusqu’à ce qu’une température uniforme soit atteinte dans tout un objet. De même, le flux de Ricci décrit le comportement d’une quantité tensorielle, le tenseur de courbure de Ricci. Hamilton espérait que, dans le cadre du flux de Ricci, les concentrations de grande courbure s’étendraient jusqu’à ce qu’une courbure uniforme soit atteinte sur l’ensemble du triplet. Si tel est le cas, si l’on part de n’importe quel triplet et que l’on laisse se produire le flux de Ricci, on devrait, en principe, finir par obtenir une sorte de « forme normale ». Selon William Thurston, cette forme normale doit prendre l’une d’un petit nombre de possibilités, chacune ayant un type de géométrie différent, appelé géométries modèles de Thurston.

Cependant, on s’attendait largement à ce que le processus soit entravé par le développement de « singularités. » Dans les années 1990, Hamilton a progressé dans la compréhension des types possibles de singularités qui peuvent se produire, mais n’a pas été en mesure de fournir une description complète. Les articles de Perelman ont esquissé une solution. Selon Perelman, chaque singularité ressemble soit à un cylindre s’effondrant sur son axe, soit à une sphère s’effondrant en son centre. Grâce à cette compréhension, il a pu construire une modification du flux de Ricci standard, appelée flux de Ricci avec chirurgie, qui permet d’exciser systématiquement les régions singulières à mesure qu’elles se développent, de manière contrôlée. L’idée d’un flux de Ricci avec chirurgie était présente depuis un article de 1993 de Hamilton, qui l’avait réalisée avec succès en 1997 dans le cadre d’espaces de dimension supérieure soumis à certaines conditions géométriques restreintes. La procédure de chirurgie de Perelman était globalement similaire à celle de Hamilton mais était remarquablement différente dans ses aspects techniques.

Perelman a montré que toute singularité qui se développe en un temps fini est essentiellement un « pincement » le long de certaines sphères correspondant à la décomposition première du 3-manifold. De plus, toute singularité qui se développe en temps infini résulte de certains morceaux d’effondrement de la décomposition JSJ. Le travail de Perelman prouve cette affirmation et prouve ainsi la conjecture de géométrisation.

Le contenu des trois articles est résumé ci-dessous :

• Le premier préprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, fournit de nombreuses techniques nouvelles dans l’étude du flux de Ricci, dont le résultat principal est un théorème donnant une caractérisation quantitative des régions à haute courbure du flux.
• La deuxième préimpression, Ricci flow with surgery on three-manifolds, corrige certaines déclarations incorrectes du premier article et complète certains détails, et utilise le résultat principal du premier article pour prescrire la procédure de chirurgie. La seconde moitié du papier est consacrée à une analyse des flux de Ricci qui existent pour un temps infini.
• Le troisième préprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, fournit un raccourci à la preuve de la conjecture de Poincaré qui évite les arguments de la seconde moitié du second préprint. Il montre que sur tout espace satisfaisant les hypothèses de la conjecture de Poincaré, le flux de Ricci avec chirurgie n’existe que pour un temps fini, de sorte que l’analyse en temps infini du flux de Ricci n’est pas pertinente.

Tobias Colding et William Minicozzi II ont fourni un argument complètement alternatif au troisième préprint de Perelman. Leur argument, étant donné le prérequis de certains arguments sophistiqués de la théorie géométrique de la mesure tels qu’ils ont été développés dans les années 1980, est particulièrement simple.

VérificationEdit

Les préprints de Perelman ont rapidement attiré l’attention de la communauté mathématique, bien qu’ils aient été largement considérés comme difficiles à comprendre car ils avaient été écrits de manière quelque peu laconique. Contrairement au style habituel des publications mathématiques universitaires, de nombreux détails techniques avaient été omis. Il est rapidement apparu que Perelman avait apporté des contributions majeures aux fondements du flux de Ricci, bien qu’il n’ait pas été immédiatement clair pour la communauté mathématique que ces contributions étaient suffisantes pour prouver la conjecture de géométrisation ou la conjecture de Poincaré.

En avril 2003, Perelman s’est rendu au Massachusetts Institute of Technology, à l’Université de Princeton, à l’Université de Stony Brook, à l’Université de Columbia et à l’Université de New York pour donner de courtes séries de conférences sur ses travaux, et pour clarifier certains détails pour les experts des domaines concernés.

En juin 2003, Bruce Kleiner et John Lott, tous deux alors de l’Université du Michigan, ont publié sur le site web de Lott des notes qui, section par section, remplissaient de nombreux détails dans la première préimpression de Perelman. En septembre 2004, leurs notes ont été mises à jour pour inclure la deuxième préimpression de Perelman. Après d’autres révisions et corrections, ils ont publié une version sur arXiv le 25 mai 2006, dont une version modifiée a été publiée dans la revue universitaire Geometry & Topology en 2008. Lors du Congrès international des mathématiciens de 2006, Lott a déclaré : « Il nous a fallu un certain temps pour examiner le travail de Perelman. Cela est dû en partie à l’originalité du travail de Perelman et en partie à la sophistication technique de ses arguments. Tout porte à croire que ses arguments sont corrects. » Dans l’introduction de leur article, Kleiner et Lott expliquent

Les preuves de Perelman sont concises et, parfois, sommaires. Le but de ces notes est de fournir les détails qui manquent dans …. Concernant les preuves, contiennent quelques déclarations incorrectes et des arguments incomplets, que nous avons tenté de signaler au lecteur. (Certaines des erreurs dans ont été corrigées dans .) Nous n’avons pas trouvé de problèmes sérieux, c’est-à-dire des problèmes qui ne peuvent pas être corrigés en utilisant les méthodes introduites par Perelman.

En juin 2006, l’Asian Journal of Mathematics a publié un article de Zhu Xiping de l’Université Sun Yat-sen en Chine et Huai-Dong Cao de l’Université Lehigh en Pennsylvanie, donnant une description complète de la preuve de Perelman des conjectures de Poincaré et de géométrisation. Contrairement à l’article de Kleiner et Lott, qui était structuré comme une collection d’annotations aux articles de Perelman, l’article de Cao et Zhu visait directement à expliquer les preuves de la conjecture de Poincaré et de la conjecture de géométrisation. Dans leur introduction, ils expliquent

Dans cet article, nous présenterons la théorie de Hamilton-Perelman du flux de Ricci. Sur cette base, nous donnerons le premier compte rendu écrit d’une preuve complète de la conjecture de Poincaré et de la conjecture de géométrisation de Thurston. Bien que le travail complet soit le fruit des efforts accumulés de nombreux analystes géométriques, les principaux contributeurs sont sans conteste Hamilton et Perelman. Dans cet article, nous donnerons des preuves complètes et détaillées, en particulier du travail de Perelman dans son deuxième article, dans lequel de nombreuses idées clés des preuves sont esquissées ou soulignées, mais les détails complets des preuves sont souvent absents. Comme nous l’avons souligné auparavant, nous devons substituer plusieurs arguments clés de Perelman par de nouvelles approches basées sur notre étude, car nous n’avons pas pu comprendre ces arguments originaux de Perelman qui sont essentiels à l’achèvement du programme de géométrisation.

En juillet 2006, John Morgan de l’Université Columbia et Gang Tian du Massachusetts Institute of Technology ont publié un article sur l’arXiv dans lequel ils ont fourni une présentation détaillée de la preuve de Perelman de la conjecture de Poincaré. Contrairement aux exposés de Kleiner-Lott et Cao-Zhu, celui de Morgan et Tian traite également du troisième article de Perelman. Le 24 août 2006, Morgan a donné une conférence à l’ICM de Madrid sur la conjecture de Poincaré, dans laquelle il a déclaré que le travail de Perelman avait été « soigneusement vérifié ». En 2008, Morgan et Tian ont publié un article qui couvrait les détails de la preuve de la conjecture de géométrisation. Les deux articles de Morgan et Tian ont été publiés sous forme de livre par le Clay Mathematics Institute.

Révisions des vérificationsModification

Les trois expositions ci-dessus ont été révisées après leur publication. Les expositions de Kleiner-Lott et Morgan-Tian se sont avérées comporter des erreurs (qui n’ont pas affecté la grande portée), tandis que l’exposition de Cao-Zhu a attiré des critiques pour leur formulation et pour une erreur d’attribution.

Depuis la publication, l’article de Kleiner et Lott a ensuite été révisé deux fois pour des corrections, comme pour une déclaration incorrecte de l’important « théorème de compacité » de Hamilton pour le flux de Ricci. La dernière révision de leur article date de 2013. En 2015, Abbas Bahri a signalé une erreur dans l’exposition de Morgan et Tian, qui a été corrigée par la suite par Morgan et Tian et a sourcé à une erreur de calcul de base.

L’article de Cao et Zhu a fait l’objet de critiques de la part de certaines parties de la communauté mathématique pour leurs choix de mots, que certains observateurs ont interprété comme revendiquant trop de crédit pour eux-mêmes. L’utilisation du mot « application » dans leur titre « A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow » et la phrase « This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow » dans le résumé ont été particulièrement critiqués. Interrogé à ce sujet, Perelman a déclaré que Cao et Zhu n’avaient rien apporté d’original et qu’ils avaient simplement retravaillé sa preuve parce qu’ils « ne comprenaient pas bien l’argument ». En outre, l’une des pages de l’article de Cao et Zhu était essentiellement identique à une page de l’article de Kleiner et Lott de 2003. Dans un erratum publié, Cao et Zhu ont attribué ce fait à un oubli, expliquant qu’en 2003, ils avaient pris des notes à partir de la version initiale des notes de Kleiner et Lott, et que dans leur article de 2006, ils n’avaient pas réalisé la source correcte des notes. Ils ont posté une version révisée sur l’arXiv avec des révisions dans leur formulation et dans la page pertinente de la preuve.

Points de vue actuelsEdit

A partir de 2020, il reste certains mathématiciens qui, bien qu’il soit universellement reconnu que Perelman a fait d’énormes progrès dans la théorie du flux de Ricci, n’acceptent pas que les conjectures de Poincaré et de géométrisation aient été prouvées. Pour ces observateurs, les parties gênantes de la preuve se trouvent dans la seconde moitié du deuxième préprint de Perelman. Par exemple, le médaillé Fields Shing-Tung Yau a déclaré en 2019 que

Bien que ce soit une hérésie pour moi de dire cela, je ne suis pas certain que la preuve soit totalement clouée. Je suis convaincu, comme je l’ai déjà dit à plusieurs reprises, que Perelman a fait un travail brillant concernant la formation et la structure des singularités dans les espaces tridimensionnels – un travail qui était effectivement digne de la médaille Fields qui lui a été décernée. Je n’ai aucun doute à ce sujet. Le fait est qu’il y a très peu d’experts dans le domaine du flux de Ricci, et je n’ai encore rencontré personne qui prétende avoir une compréhension complète de la dernière partie, la plus difficile, de la preuve de Perelman. Pour autant que je sache, personne n’a pris certaines des techniques introduites par Perelman vers la fin de son article et ne les a utilisées avec succès pour résoudre un autre problème important. Cela me suggère que d’autres mathématiciens ne maîtrisent pas encore totalement ce travail et ses méthodologies non plus.

En revanche, lorsque le prix du Millénaire a été attribué à Perelman pour la « résolution de la conjecture de Poincaré » en 2010, le médaillé Fields Simon Donaldson, dans l’un des éloges du prix, a déclaré

Depuis le moment où sont apparus les pré-prints concernant les conjectures de Poincaré et de géométrisation, les mathématiciens du monde entier ont été unis pour exprimer leur appréciation, leur crainte et leur émerveillement devant son extraordinaire réalisation, et je crois que je parle ici en tant que représentant de toute notre communauté intellectuelle. Il résout un problème exceptionnel, vieux d’un siècle.