Qu’est-ce que la théorie de la poutre d’ingénierie ?

Un élément structurel ou un membre soumis à des forces et des couples le long de l’axe longitudinal des membres. L’élément s’étend généralement entre un ou plusieurs supports et sa conception est généralement régie par les moments de flexion.

Théorie de la poutre d’Euler-Bernoulli

L’équation d’Euler-Bernoulli décrit la relation entre la charge appliquée et la déflexion résultante de la poutre et est représentée mathématiquement par :

Où w est la charge répartie ou la force par unité de longueur agissant dans la même direction que y et la déflexion de la poutre Δ(x) à une certaine position x. E est le module d’élasticité du matériau considéré et I est le second moment de l’aire calculé par rapport à l’axe qui passe par le centroïde de la section transversale et qui est perpendiculaire à la charge appliquée. Si EI ou la rigidité en flexion ne varie pas le long de la poutre, alors l’équation se simplifie comme suit :

Une fois que la déviation due à une charge donnée a été déterminée, les contraintes dans la poutre peuvent être calculées à l’aide des expressions suivantes :

Le moment de flexion dans la poutre:

La force de cisaillement dans la poutre :

Connexions d’appui et réactions

Il existe quatre types de connexion différents que l’on rencontre couramment lorsqu’on traite des poutres et chacun détermine le type de charge auquel l’appui peut résister ainsi que la capacité de charge globale non seulement de l’élément considéré mais aussi du système dont l’élément fait partie.

Les supports de rouleaux : sont libres de tourner et de se translater le long de la surface sur laquelle repose le rouleau et, par conséquent, sont incapables de résister aux forces latérales. De tels supports sont soumis à une force de réaction singulière agissant perpendiculairement à la surface et s’éloignant de celle-ci.

Supports goupillés : permettent à l’élément ou à la poutre de tourner (parfois dans une seule direction), mais pas de se translater dans une direction quelconque, c’est-à-dire qu’ils peuvent résister aux forces verticales et horizontales, mais pas aux moments de flexion.

Supports fixes : limitent à la fois la rotation et la translation et résistent aux forces verticales et horizontales ainsi qu’aux moments de flexion.

Supports simples : sont libres de tourner et de translater le long de la surface sur laquelle ils reposent dans toutes les directions, mais perpendiculairement à la surface et en s’éloignant de celle-ci. Les appuis simples sont différents des appuis à rouleaux en ce qu’ils ne peuvent pas résister à des charges latérales de n’importe quelle magnitude.

Types de poutres

Poutre à appui simple : librement soutenue à chaque extrémité l’élément est libre de tourner aux points d’appui d’extrémité et n’a aucune résistance aux moments de flexion. Les supports d’extrémité de la poutre sont capables d’exercer des forces sur la poutre mais ils tourneront lorsque l’élément fléchira sous toute charge.

Poutre fixe : retenue à chaque extrémité de l’élément les points d’extrémité sont restreints de la rotation et du mouvement dans les deux directions verticale et horizontale.

Poutre en porte-à-faux : un élément fixé à une extrémité seulement avec l’autre extrémité libre de tourner et de se déplacer librement dans les deux directions verticale et horizontale.

Poutre en porte-à-faux : une poutre simple qui s’étend au-delà de ses supports à l’une ou aux deux extrémités.

Continue : une poutre s’étendant sur plus de deux supports.

Exactitude de la théorie des poutres de l’ingénieur

En raison des hypothèses, une règle générale est que, pour la plupart des configurations, les équations de la contrainte de flexion et de la contrainte de cisaillement transversal sont exactes à environ 3% pour les poutres dont le rapport longueur/hauteur est supérieur à 4. La nature conservatrice de la conception structurelle (facteurs de charge) compense dans la plupart des cas ces imprécisions.Il est également important de comprendre et de prendre en considération le type de matériau/s qui compose la poutre, la façon dont la poutre se déforme, la géométrie de la poutre, y compris la section transversale et l’équilibre interne présent.

Assomptions et limitations

• La section transversale de la poutre est considérée comme petite par rapport à sa longueur, ce qui signifie que la poutre est longue et mince.
• Les charges agissent transversalement à l’axe longitudinal et passent par le centre de cisaillement éliminant toute torsion ou torsion.
• Le poids propre de la poutre a été ignoré et doit être pris en compte dans la pratique.
• Le matériau de la poutre est homogène et isotrope et a un module de Young constant dans toutes les directions en compression et en traction.
• Le plan centroïde ou surface neutre est soumis à une contrainte axiale nulle et ne subit aucun changement de longueur.
• La réponse à la déformation est une contrainte unidimensionnelle dans la direction de la flexion.
• Les déflexions sont supposées être très faibles par rapport à la longueur totale de la poutre.
• La section transversale reste plane et perpendiculaire à l’axe longitudinal pendant la flexion.
• La poutre est initialement droite et toute déviation de la poutre suit un arc de cercle dont le rayon de courbure est considéré comme restant grand par rapport à la dimension de la section transversale.

Poutres courbes et arcs

Si la conception des poutres courbes est identique à celle des poutres droites lorsque les dimensions de la section transversale sont faibles par rapport au rayon de courbure, la principale différence entre les poutres courbes et les arcs est que la courbure a été augmentée au point que les forces axiales deviennent significatives dans les arcs.

Une note sur les moments de flexion

En ingénierie structurale, le moment positif est dessiné du côté de la tension de l’élément permettant aux poutres et aux cadres d’être traités plus facilement. Parce que les moments sont dessinés dans la même direction que l’élément se plierait théoriquement lorsqu’il est chargé, il est plus facile de visualiser ce qui se passe. StructX a adopté cette façon de dessiner les moments de flexion partout.

Une sélection d’équations de poutres ainsi que des calculatrices d’ingénierie pertinentes peuvent être trouvées ici.