Introduction

La dynamique à grande échelle de l’univers est régie par l’expansion cosmique générale et le champ gravitationnel des objets massifs. On pense que les champs magnétiques ne jouent pas de rôle majeur dans la première . On pense que les champs magnétiques n’ont pas été présents, ou du moins pas à une force appréciable, lors du Big Bang et pendant la période inflationniste qui a suivi. S’ils étaient présents, c’était sous la forme de monopoles magnétiques parasites. Ils deviennent importants à des échelles plus petites. Aux échelles des objets magnétisés compacts, ils commencent à devenir non négligeables et, pour un certain nombre de processus , deviennent même la force dominante.

Les champs magnétiques sont liés au flux de courant électrique et donc, contrairement aux champs électriques dont les sources sont des charges élémentaires et des différences de charge, être générés par des processus qui provoquent des courants électriques. Les courants impliquent un transport non ambipolaire des charges. La question de la puissance des champs magnétiques se réduit donc à la question de la puissance des courants. En électrodynamique classique, cela implique à partir de la loi d’Ampère pour les champs magnétiques stationnaires que

si l’on se restreint au seul transport de charges et si l’on suppose des milieux non magnétiques de densités d’ions et d’électrons (pour simplifier, chargés de façon unique) et de vitesses apparentes Ni,e, Vi,e respectivement. Sinon, il faudrait ajouter un terme de magnétisation M qui dépend des propriétés de la matière. La détermination de M nécessite un traitement mécanique quantique dans le cadre de la physique du solide.

En supposant, sans restriction, la quasineutralité Ne ≈ Ni = N, seules les différences de vitesse contribuent. Les électrons étant sensiblement plus mobiles que les ions, le courant peut raisonnablement être approximé par le courant électronique J ≈ – eNVe, une condition tenant strictement dans le référentiel ionique. Comme les vitesses sont limitées par la vitesse de la lumière c, le champ magnétique est classiquement limité par

suggérant que le champ magnétique croît avec L et la densité N. Ici, Ncc est en unités d’électrons par cm-3, et Lkm est l’échelle de longueur à travers un filament de courant en unités de km. Dans la croûte d’une étoile à neutrons, par exemple, nous avons Lkm ~ 1. Si à peu près tous les électrons de la croûte participent au flux de courant, nous avons Ncc × ~ 1030. Par conséquent, l’intensité du champ magnétique pourrait aller jusqu’à B ~ 1028 Gauss, un chiffre énorme comparé au maximum de B ~ 1015 – 1016 Gauss observé dans les magnétars.

Cette estimation grossière doit être commentée afin d’éviter tout malentendu. On pense que les champs magnétiques sont générés préférentiellement par des actions de dynamo. Ces actions ne sont vraisemblablement pas à l’œuvre dans les naines blanches, les étoiles à neutrons, les magnétars ou tout autre objet compact. Les champs sont produits dans leurs progéniteurs à rotation différentielle. Prenons l’exemple du Soleil avec une action dynamo dans la zone de convection d’une épaisseur L☉ ~ 2 × 105 km et une densité moyenne N☉cc ~ 8 × 1023. L’utilisation de la largeur totale de la zone de convection surestime grossièrement la largeur actuelle du filament. Une limite supérieure absolue serait L☉km ≲ 2 × 104. Il est clair que les vitesses sont également bien inférieures à c. Ainsi, l’utilisation de c donne une limite supérieure absolue extrême pour le champ magnétique B < 1021 T. Les champs comparativement forts dans les étoiles à neutrons sont ensuite produits lors de l’effondrement rapide de l’étoile progénitrice lourde magnétisée qui n’a pas eu le temps, au cours de son effondrement, de dissiper l’énergie magnétique qui est comprimée dans le minuscule volume de l’étoile à neutrons. Le facteur de compression étant de l’ordre de ~ 1012 donnant des champs limites de B ≲ 1035 Gauss. L’estimation électrodynamique classique échoue clairement à fournir une limite supérieure de l’intensité du champ magnétique qui correspondrait aux preuves observationnelles.

D’autres divergences non moins graves sont obtenues en mettant l’énergie du champ magnétique de l’étoile à neutrons égale à l’énergie rotationnelle totale disponible à la fois dans le progéniteur ou dans l’étoile à neutrons en supposant l’équipartition de l’énergie rotationnelle et magnétique – clairement une hypothèse à peine justifiée dans les deux cas. L’énergie magnétique ne peut pas devenir plus grande que l’énergie dynamique initialement disponible de sa cause, dont elle n’est qu’une fraction. Il est vraisemblablement douteux que des champs magnétiques aient jamais pu être produits par un mécanisme classique substantiellement plus puissant que celui observé dans les étoiles à neutrons (à l’exception d’une brève phase de dynamo-amplification post-collision d’environ 10 secondes, qui donnerait au mieux un autre facteur d’environ 10-100) et, par une concentration supplémentaire de l’énergie magnétique dans des volumes plus petits, un regroupement des tubes de flux magnétique, comme on pense que cela se produit dans les magnétars. Si des champs beaucoup plus puissants ont été générés, cela a dû se produire à des époques et dans des objets où des champs magnétiques ont pu être produits par des processus autres que les dynamos classiques. Il faut donc entrer dans l’électrodynamique quantique ou dans la théorie quantique des champs pour en déduire les principales limitations physiques à la production de champs magnétiques. L’investigation suivante est motivée moins par les observations que par cette question théorique fondamentale.

Éléments de flux

La mécanique quantique fournit un moyen d’obtenir une première limite sur le champ magnétique à partir de la solution de l’équation de Schrödinger, initialement trouvée par Landau en 1930, d’un électron orbitant dans un champ magnétique homogène. L’interprétation physique de cette solution a été donnée beaucoup plus tard dans la théorie d’Aharonov-Bohm. De l’exigence que le flux magnétique Φ d’un champ B confiné dans une orbite de gyration d’un électron doit être à valeur unique, Aharonov et Bohm ont déduit que Φ = ν Φ0 est quantifié avec l’élément de flux Φ0 = 2πħ/e, e la charge élémentaire, et ν = 1, 2, ….. Comme ν = Φ/Φ0 est le nombre de flux élémentaires portés par le champ, et B = Φ/πl2, mettre ν = 1 définit une plus petite longueur magnétique

Cette longueur, qui est le gyroradius d’un électron dans le niveau d’énergie de Landau le plus bas, peut être interprétée comme le rayon d’une ligne de champ magnétique dans le champ magnétique B. Les lignes de champ sont d’autant plus étroites que le champ magnétique est fort. D’autre part, la réécriture de l’équation (3) donne une expression pour le champ magnétique

à partir de laquelle, pour une longueur « critique » la plus courte donnée lB ≡ lc, le champ magnétique maximal Bc correspondant à lc peut, en principe, être estimé. En mettant, par exemple, lc = 2πħ/mc égal à la longueur de Compton de l’électron λ0 = 2πħ/mc, on obtient le champ magnétique critique du pulsar (étoile à neutrons) Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss. Il est d’un intérêt considérable qu’approximativement cette force de champ a effectivement été déduite de l’observation de la ligne de rayons X harmonique cyclotron électronique fondamentale (ν = 1) détectée à partir du pulsar HerX1 , environ deux décennies après celle d’Aharonov et Bohm, et un demi-siècle après la théorie de Landau.

Généralisation

L’utilisation de la longueur d’onde de Compton relie la force de champ limite dans les étoiles à neutrons à l’électrodynamique quantique. Elle soulève la question d’une détermination théorique plus précise de l’intensité de champ limite électrodynamique quantique tenant compte des effets relativistes. Il soulève également la question de savoir si la référence à d’autres échelles de longueur fondamentales peut fournir d’autres limites principales sur les champs magnétiques si seulement de tels champs peuvent être générés par certains moyens, c’est-à-dire si des courants électriques de forces suffisantes pourraient circuler dans différentes conditions comme par exemple dans la chromodynamique quantique.

Très formellement, sauf en ce qui concerne l’inclusion des effets relativistes, l’équation (4) fournit une équation modèle pour un champ limite en fonction de toute échelle de longueur fondamentale donnée lc. Dans cette hypothèse simplificatrice, le champ magnétique critique Bc évolue simplement avec l’inverse du carré de la longueur fondamentale correspondante. Formellement, ceci est représenté graphiquement dans la figure 1 sous l’hypothèse de la validité de l’échelle d’Aharonov-Bohm aux énergies supérieures.

La limite Compton des champs magnétiques était connue à partir de considérations d’énergie droite qui prédisent la décroissance du vide vers la formation de paires à des champs magnétiques plus forts que Bns. Pour cette raison, la détection de champs magnétiques dépassant la limite quantique jusqu’à trois ordres dans les magnétars a été une surprise initiale. Cependant, des calculs électrodynamiques relativistes plus précis, y compris des graphiques de Feynman d’ordre supérieur, ont montré que la limite de Compton pouvait être dépassée. En première approximation dans le moment magnétique anormal des électrons, le niveau de Landau le plus bas se déplace selon

avec α = α/2π la constante de structure fine réduite. Cette formule est valable pour B < Bq. Elle suggère une diminution du niveau d’énergie de Landau le plus bas pour des champs croissants, avec évidemment de violentes conséquences non-physiques pour les objets astrophysiques . Ainsi, les diagrammes de Feynman incluant une auto-attraction d’ordre supérieur des électrons doivent être pris en compte, en particulier pour les grands champs. Dans des champs B ≫ Bq dépassant sensiblement Bq, les électrons deviennent massifs de façon relativiste, et le niveau de Landau le plus bas, après être passé par un minimum, augmente comme

De là, il résulte que l’énergie du niveau de Landau le plus bas ne double que pour des champs magnétiques de l’ordre de B ~ 1028 T (~ 1032 Gauss), bien au-dessus de tout champ magnétique de surface d’étoile à neutrons ou de magnétar. Les corrections relativistes d’auto-énergie provoquant la désintégration du champ magnétique n’entreront donc en jeu qu’à ces énergies qui pourraient constituer la limite ultime des intensités de champ magnétique.

Il est notable que cette limite coïncide approximativement avec les meilleures déterminations expérimentales récentes d’une limite supérieure du rayon de l’électron. En dessous de cette échelle, des effets supplémentaires devraient entrer en jeu, inhibant principalement toute augmentation supplémentaire des intensités de champ magnétique ou même l’existence de champs magnétiques. Il semble donc que jusqu’à cette échelle, l’échelle d’Aharonov-Bohm sur laquelle est basée la figure 1 n’est pas complètement injustifiée. Ceci est très intéressant également du point de vue que les échelles de l’interaction faible et forte sont dans le domaine autorisé, simplement parce que les électrons conservent leur nature tout au long de ces échelles. C’est seulement la gamme désertique des énergies respectivement des échelles qui est exclue. Cela inclut en particulier la gamme GUT de la grande unification ainsi que la gravité quantique, domaines qui n’ont joué un rôle que dans l’univers très primitif. Tout champ magnétique rudimentaire de cette époque a été dilué par l’inflation et l’expansion cosmologique jusqu’à de faibles valeurs situées uniquement au bas de la figure 1.

Discussion et conclusions

Sans que des monopôles magnétiques aient jamais existé et survécu dans l’univers, les champs magnétiques ont dû être produits à tout moment via la génération de courants électriques. Les champs générés dans l’univers primitif ont ensuite été dilués jusqu’aux faibles valeurs actuelles à grande échelle, comme cela a été discuté ailleurs. Il se peut qu’ils aient été forts au départ, auquel cas leur intensité est également sujette à limitation. Cependant, toutes les forces raisonnables estimées à partir de la dynamo et d’autres modèles dans les théories classiques et chromodynamiques n’atteignent très probablement aucune des limites électrodynamiques quantiques susmentionnées. On peut supposer qu’il n’est pas nécessaire de demander des limites chromodynamiques supplémentaires. Cette affirmation peut être fondée sur le rôle que jouent les électrons dans la génération de courant, qui est à la base de toute production de champ magnétique à grande échelle. Les électrons et leurs spins sont également responsables du magnétisme dans la matière à l’état solide. On croit encore que les électrons n’ont pas de structure. En tout état de cause, aux échelles « intérieures » d’un électron, c’est-à-dire en dessous du rayon fictif de l’électron re, les courants devraient soit perdre toute signification, soit ne pas exister du tout et, par conséquent, la notion de champ magnétique n’aura probablement plus beaucoup de sens. On peut donc penser que la limite électrodynamique quantique supérieure fixe une limite absolue à toute intensité de champ magnétique réaliste.

L’application de l’échelle d’Aharonov-Bohm de la figure 1 aux champs magnétiques dans l’univers semble donner une idée raisonnable des limites absolues attendues des intensités de champ magnétique aux échelles électrodynamiques quantiques. Il est clair que le vide change de caractère à des échelles courtes et à des énergies élevées, puisque les photons deviennent lourds en passant à des bosons électrofaibles, et que les quarks entrent en jeu dans la matière. Les électrons restent les mêmes jusqu’à au moins re ~ 10-22 m, la limite supérieure actuelle du rayon de l’électron . Cela suggère d’écrire l’équation du champ magnétique critique (4) comme

où lc ≥ l0, et l0 ≳ re est la longueur minimale pertinente au-dessus de laquelle les champs magnétiques ont un sens. Dans la figure 1, ce comportement est indiqué par la courbe noire en pointillés qui s’écarte de la diagonale. Pourtant, la stabilité du vide n’est pas aussi claire qu’elle l’est dans le domaine de l’électrodynamique quantique en présence des champs magnétiques super-forts dans les domaines électrofaible et chromodynamique. Le problème reste que les champs magnétiques doivent être générés soit à ces petites échelles, soit à des échelles électrodynamiques beaucoup plus grandes d’où ils s’effondrent jusqu’à ces petites échelles.

En ce qui concerne la génération de champs magnétiques avant l’effondrement par les effets de dynamo ou de batterie généralement acceptés, les forces de champ magnétique sont strictement limitées par les énergies dynamiques disponibles, qui sont bien en dessous de toute limite électrodynamique quantique. On peut soutenir que, tant que l’échelle du rayon de l’électron n’est pas atteinte pendant l’effondrement, l’échelle électrodynamique quantique fournit une limite absolue raisonnable à toute force de champ magnétique possible. Les étoiles à neutrons et les magnétars ont des échelles excessivement plus grandes que l’échelle de l’électron. Les objets plus lourds, en diminuant leur échelle, pourraient posséder des champs nettement plus puissants, mais la plage autorisée est limitée par la condition que de tels objets se transforment rapidement en trous noirs lors de leur effondrement, lesquels, en vertu du célèbre théorème de l’absence de cheveux, n’hébergent aucun champ magnétique. On ne sait pas ce qu’il adviendrait du champ en traversant l’horizon, car l’observateur extérieur ne disposerait d’aucune information sur le champ. Le théorème de l’absence de poils suggère que le champ est simplement aspiré dans le trou et disparaît avec la masse qui s’effondre. Un raisonnement ordinaire supposant le maintien de l’état figé suggère alors que le champ à l’intérieur de l’horizon devrait encore augmenter dans l’effondrement gravitationnel vraisemblablement continu.

Les champs forts disponibles qui se rapprochent des limites électrodynamiques quantiques se trouvent dans les étoiles à neutrons et les magnétars. Jusqu’à présent, aucun champ magnétique d’étoile étrange n’a été détecté positivement. Il a même été démontré que de tels champs, éventuellement présents dans des étoiles étranges supraconductrices, se désintègreraient par rotation en des temps inférieurs à ~ 20 myrs. Dans les magnétars, la présence de champs plus forts que Bns = Bq est maintenant bien comprise comme la conséquence d’effets crustaux provoquant une concentration locale des champs magnétiques et des boucles magnétiques étendues présentant une certaine similitude avec les taches solaires bien connues. Les effets sur la matière dans les champs superstrongs ont été étudiés d’abord dans Ruderman et ont été examinés dans et d’autres.

Déclaration de conflit d’intérêts

Les auteurs déclarent que la recherche a été menée en l’absence de toute relation commerciale ou financière qui pourrait être interprétée comme un conflit d’intérêts potentiel.