Il y a deux formules de base que nous connaissons déjà :
1) Total = n(Pas d’ensemble) + n(Un ensemble exactement) + n(Deux ensembles exactement) + n(Trois ensembles exactement)

2) Total = n(A) + n(B) + n(C) – n(A et B) – n(B et C) – n(C et A) + n(A et B et C) + n(Pas d’ensemble)

De ces deux formules, on peut déduire toutes les autres.

n(Un ensemble exactement) + n(Deux ensembles exactement) + n(Trois ensembles exactement) nous donne n(Au moins un ensemble). On obtient donc :

3) Total = n(Aucun ensemble) + n(Au moins un ensemble)

De (3), on obtient n(Au moins un ensemble) = Total – n(Aucun ensemble)

En branchant cela sur (2), on obtient alors :

4) n(Au moins un ensemble) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A et B) – n(B et C) – n(C et A) + n(A et B et C)

Voyons maintenant comment nous pouvons calculer le nombre de personnes dans exactement deux ensembles. Il y a une raison pour laquelle nous avons sauté à n(Exactement deux ensembles) au lieu de suivre l’étape suivante plus logique qui consiste à déterminer n(Au moins deux ensembles) – il sera plus intuitif d’obtenir n(Au moins deux ensembles) après avoir trouvé n(Exactement deux ensembles).

n(A et B) comprend les personnes qui sont à la fois dans A et B et il comprend également les personnes qui sont dans A, B et C. Pour cette raison, nous devrions retirer n(A et B et C) de n(A et B) pour obtenir n(A et B seulement). De même, on obtient n(B et C seulement) et n(C et A seulement), donc l’addition de ces trois-là nous donnera le nombre de personnes dans exactement 2 ensembles.

n(Exactement deux ensembles) = n(A et B) – n(A et B et C) + n(B et C) – n(A et B et C) + n(C et A) – n(A et B et C). Donc :

5) n(Exactement deux ensembles) = n(A et B) + n(B et C) + n(C et A) – 3*n(A et B et C)

Maintenant nous pouvons facilement obtenir n(Au moins deux ensembles) :

6) n(Au moins deux ensembles) = n(A et B) + n(B et C) + n(C et A) – 2*n(A et B et C)

C’est juste n(A et B et C) de plus que n(Exactement deux ensembles). C’est logique, n’est-ce pas ? Ici, on inclut les personnes qui sont dans les trois ensembles une fois et n(Exactement deux ensembles) se convertit en n(Au moins deux ensembles) !

Maintenant, on passe à la recherche de n(Exactement un ensemble). De n(Au moins un ensemble), soustrayons n(Au moins deux ensembles) ; c’est-à-dire que. nous soustrayons (6) de (4)

n(Exactement un ensemble) = n(Au moins un ensemble) – n(Au moins deux ensembles), donc :

7) n(Exactement un ensemble) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A et B) – 2*n(B et C) – 2*n(C et A) + 3*n(A et B et C)

Vous n’avez pas besoin d’apprendre toutes ces formules. Concentrez-vous simplement sur les deux premières et sachez comment vous pouvez arriver aux autres si nécessaire. Essayons ceci dans un exemple de problème :

Parmi les 250 téléspectateurs interrogés qui regardent au moins une des trois chaînes de télévision à savoir A, B &C. 116 regardent A, 127 regardent C, tandis que 107 regardent B. Si 50 regardent exactement deux chaînes. Combien regardent exactement une chaîne ?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

On vous donne que :

n(Au moins un canal) = 250

n(Exactement deux canaux) = 50

On sait donc que n(Au moins un canal) = n(Exactement 1 canal) + n(Exactement 2 canaux) + n(Exactement 3 canaux) = 250

250 = n(Exactement 1 canal) + 50 + n(Exactly 3 channels)

Trouvons la valeur de n(Exactly 3 channels) = x

Nous savons aussi que n(Au moins un canal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A et B) – n(B et C) – n(C et A) + n(A et B et C) = 250

Aussi, n(Exactement deux canaux) = n(A et B) + n(B et C) + n(C et A) – 3*n(A et B et C)

Donc n(A et B) + n(B et C) + n(C et A) = n(Exactement deux canaux) + 3*n(A et B et C)

En insérant ceci dans l’équation ci-dessus :

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Exactement deux canaux) – 3*x + x