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Chapitre 4 : Intégrales multiples

En calcul I, nous sommes passés au sujet des intégrales une fois que nous avions terminé la discussion sur les dérivées. Il en est de même dans ce cours. Maintenant que nous avons terminé notre discussion sur les dérivées des fonctions de plus d’une variable, nous devons passer aux intégrales des fonctions de deux ou trois variables.

La plupart des sujets sur les dérivées se sont étendus un peu naturellement à partir de leurs homologues de Calcul I et il en sera de même ici. Cependant, parce que nous impliquons maintenant des fonctions de deux ou trois variables, il y aura aussi quelques différences. Il y aura une nouvelle notation et quelques nouvelles questions qui ne se posent tout simplement pas lorsqu’on traite des fonctions d’une seule variable.

Voici une liste des sujets traités dans ce chapitre.

Intégrales doubles – Dans cette section, nous allons définir formellement l’intégrale double ainsi que donner une interprétation rapide de l’intégrale double.

Intégrales itérées – Dans cette section, nous montrerons comment le théorème de Fubini peut être utilisé pour évaluer des intégrales doubles où la région d’intégration est un rectangle.

Intégrales doubles sur des régions générales – Dans cette section, nous commencerons à évaluer des intégrales doubles sur des régions générales, c’est-à-dire des régions qui ne sont pas des rectangles. Nous illustrerons comment une intégrale double d’une fonction peut être interprétée comme le volume net du solide entre la surface donnée par la fonction et le plan \(xy\)-.

Intégrales doubles en coordonnées polaires – Dans cette section, nous examinerons la conversion des intégrales (y compris \(dA\)) en coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires. Les régions d’intégration dans ces cas seront tout ou partie de disques ou d’anneaux et nous aurons donc également besoin de convertir les limites cartésiennes originales de ces régions en coordonnées polaires.

Intégrales triples – Dans cette section, nous définirons l’intégrale triple. Nous illustrerons également pas mal d’exemples de mise en place des limites d’intégration à partir de la région tridimensionnelle d’intégration. Obtenir les limites d’intégration est souvent la partie difficile de ces problèmes.

Intégrales triples en coordonnées cylindriques – Dans cette section, nous examinerons la conversion des intégrales (y compris \(dV\)) en coordonnées cartésiennes en coordonnées cylindriques. Nous convertirons également les limites cartésiennes originales de ces régions en coordonnées cylindriques.

Intégrales triples en coordonnées sphériques – Dans cette section, nous examinerons la conversion des intégrales (y compris \(dV\)) en coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques. Nous allons également convertir les limites cartésiennes originales de ces régions en coordonnées sphériques.

Changement de variables – Dans les sections précédentes, nous avons converti les coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. Dans cette section, nous allons généraliser cette idée et discuter de la façon dont nous convertissons les intégrales en coordonnées cartésiennes dans d’autres systèmes de coordonnées. On inclura une dérivation de la formule de conversion \(dV\) lors de la conversion en coordonnées sphériques.

Aire de surface – Dans cette section, nous montrerons comment une intégrale double peut être utilisée pour déterminer l’aire de la partie d’une surface qui est sur une région dans un espace à deux dimensions.

Aire et volume revisités – Dans cette section, nous résumons les différentes formules d’aire et de volume de ce chapitre.