Article principal : Théorie des groupes Les mouvements possibles sur un Rubik’s cube forment un (très grand) groupe. La théorie des groupes est utile en tant que notion abstraite de symétrie, ce qui la rend applicable à un large éventail de domaines : la relation entre les racines d’un polynôme (comme dans la théorie de Galois) et les méthodes de résolution du Rubik’s cube en sont deux exemples marquants.

Informellement, un groupe est un ensemble équipé d’une opération binaire ∘\circ∘, de sorte que l’opération sur deux éléments quelconques du groupe produit également un élément du groupe. Par exemple, les entiers forment un groupe sous addition, et les nombres réels non nuls forment un groupe sous multiplication. L’opération ∘\circ∘ doit satisfaire un certain nombre de propriétés analogues à celles qu’elle satisfait pour ces systèmes numériques « normaux » : elle doit être associative (ce qui signifie essentiellement que l’ordre des opérations n’a pas d’importance), et il doit y avoir un élément d’identité (0 dans le premier exemple ci-dessus, et 1 dans le second). Plus formellement, un groupe est un ensemble équipé d’une opération ⋅\cdot⋅ telle que les axiomes suivants tiennent ; notez que ⋅\cdot⋅ ne fait pas nécessairement référence à la multiplication ; il faut plutôt le voir comme une fonction sur deux variables (en effet, ⋅\cdot⋅ peut même faire référence à l’addition) :

Axiomes des groupes

1) Associativité. Pour tout x,y,z∈Gx, y, z \in G x,y,z∈G, on a (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).
2) Identité. Il existe un e∈G e \in G e∈G, tel que e⋅x=x⋅e=x e \cdot x = x \cdot e = x e⋅x=x⋅e=x pour tout x∈Gx \in G x∈G. On dit que eee est un élément identité de GGG.
3) Inverse. Pour tout x∈Gx \in Gx∈G, il existe un y∈Gy \in Gy∈G tel que x⋅y=e=y⋅xx \cdot y = e = y \cdot x x⋅y=e=y⋅x. On dit que yyy est un inverse de xxx.

Il faut aussi noter l’axiome de fermeture pour insister, car il est important de vérifier la fermeture quand on travaille avec des sous-groupes (groupes contenus entièrement dans un autre):

4) Fermeture. Pour tout x,y∈Gx, y \in G x,y∈G, x∗yx*y x∗y est aussi dans GGG.

Des exemples supplémentaires de groupes incluent

• Zn\mathbb{Z}_nZn, l’ensemble des entiers {0,1,…,n-1}\{0, 1, \ldots, n-1\}{0,1,….,n-1} avec l’opération addition modulo nnn
• SnS_nSn, l’ensemble des permutations de {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}{1,2,…,n} avec l’opération de composition.

S3S_3S3 mérite une attention particulière en tant qu’exemple de groupe non commutatif, ce qui signifie que a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a n’est généralement pas valable. Formellement parlant, S3S_3S3 est non abélien (un groupe abélien est un groupe dans lequel l’opération est commutative). Lorsque l’opération n’est pas claire d’après le contexte, les groupes s’écrivent sous la forme (ensemble,op)(\text{set}, \text{op})(ensemble,op) ; par exemple, les réels non nuls équipés de la multiplication peuvent s’écrire sous la forme (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅).

Une grande partie de la théorie des groupes (et de l’algèbre abstraite en général) est centrée sur le concept d’homomorphisme de groupe, qui signifie essentiellement un mapping d’un groupe à un autre qui préserve la structure du groupe. En d’autres termes, le mappage du produit de deux éléments doit être le même que le produit des deux mappages ; intuitivement parlant, le produit de deux éléments ne doit pas changer sous le mappage. Formellement, un homomorphisme est une fonction ϕ:G→H\phi : G \rightarrow Hϕ :G→H telle que

ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),\phi(g_1) \cdot_H \phi(g_2) = \phi(g_1 \cdot_G g_2),ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),

où ⋅H\cdot_H⋅H est l’opération sur HHH et ⋅G\cdot_G⋅G est l’opération sur GGG. Par exemple, ϕ(g)=g(modn)\phi(g) = g \pmod nϕ(g)=g(modn) est un exemple d’homomorphisme de groupe de Z\mathbb{Z}Z à Zn\mathbb{Z}_nZn. Le concept d’opérations potentiellement différentes est nécessaire ; par exemple, ϕ(g)=eg\phi(g)=e^gϕ(g)=eg est un exemple d’homomorphisme de groupe de (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) à (R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅).