Dans le cas de l’élimination gaussienne, l’algorithme exige que les éléments pivots ne soient pas nuls.Il est nécessaire d’interchanger les lignes ou les colonnes dans le cas d’un élément pivot nul. Le système ci-dessous nécessite l’échange des rangées 2 et 3 pour effectuer l’élimination.

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Le système qui résulte du pivotement est le suivant et permettra à l’algorithme d’élimination et à la substitution à rebours de sortir la solution du système.

{\displaystyle \left}

De plus, dans l’élimination gaussienne, il est généralement souhaitable de choisir un élément pivot avec une grande valeur absolue. Cela permet d’améliorer la stabilité numérique. Le système suivant est dramatiquement affecté par l’erreur d’arrondi lorsque l’élimination gaussienne et la substitution à rebours sont effectuées.

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Ce système possède la solution exacte de x1 = 10,00 et x2 = 1,000, mais lorsque l’algorithme d’élimination et la substitution à rebours sont effectués en utilisant l’arithmétique à quatre chiffres, la petite valeur de a11 entraîne la propagation de petites erreurs d’arrondi. L’algorithme sans pivotement donne l’approximation de x1 ≈ 9873,3 et x2 ≈ 4. Dans ce cas, il est souhaitable que nous intervertissions les deux lignes pour que a21 soit en position de pivot

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