Es gibt zwei grundlegende Formeln, die wir bereits kennen:
1) Gesamt = n(Keine Menge) + n(Genau eine Menge) + n(Genau zwei Mengen) + n(Genau drei Mengen)

2) Gesamt = n(A) + n(B) + n(C) – n(A und B) – n(B und C) – n(C und A) + n(A und B und C) + n(Keine Menge)

Aus diesen beiden Formeln können wir alle anderen ableiten.

n(Genau eine Menge) + n(Genau zwei Mengen) + n(Genau drei Mengen) gibt uns n(Mindestens eine Menge). Wir erhalten also:

3) Gesamt = n(Keine Menge) + n(Mindestens eine Menge)

Aus (3) erhalten wir n(Mindestens eine Menge) = Gesamt – n(Keine Menge)

Wenn wir dies in (2) einsetzen, erhalten wir:

4) n(Mindestens eine Menge) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A und B) – n(B und C) – n(C und A) + n(A und B und C)

Nun wollen wir sehen, wie wir die Anzahl der Personen in genau zwei Mengen berechnen können. Es gibt einen Grund, warum wir zu n(Genau zwei Mengen) gesprungen sind, anstatt den logischeren nächsten Schritt zu machen und n(Mindestens zwei Mengen) zu berechnen – es ist intuitiver, n(Mindestens zwei Mengen) zu erhalten, nachdem wir n(Genau zwei Mengen) gefunden haben.

n(A und B) enthält Personen, die sowohl in A als auch in B sind, und es enthält auch Personen, die in A, B und C sind. Daher sollten wir n(A und B und C) von n(A und B) entfernen, um n(Nur A und B) zu erhalten. In ähnlicher Weise erhält man n(nur B und C) und n(nur C und A), so dass die Addition all dieser drei die Anzahl der Personen in genau 2 Gruppen ergibt.

n(Genau zwei Gruppen) = n(A und B) – n(A und B und C) + n(B und C) – n(A und B und C) + n(C und A) – n(A und B und C). Daher:

5) n(Genau zwei Mengen) = n(A und B) + n(B und C) + n(C und A) – 3*n(A und B und C)

Nun können wir leicht n(Mindestens zwei Mengen) erhalten:

6) n(Mindestens zwei Mengen) = n(A und B) + n(B und C) + n(C und A) – 2*n(A und B und C)

Das ist einfach n(A und B und C) mehr als n(Genau zwei Mengen). Das macht doch Sinn, oder? Hier schließt man die Personen, die in allen drei Mengen sind, einmal ein und n(Genau zwei Mengen) wird zu n(Mindestens zwei Mengen)!

Nun gehen wir weiter, um n(Genau eine Menge) zu finden. Von n(Mindestens eine Menge) subtrahieren wir n(Mindestens zwei Mengen), d.h. wir subtrahieren (6) von (4)

n(Genau eine Menge) = n(Mindestens eine Menge) – n(Mindestens zwei Mengen), also:

7) n(Genau eine Menge) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A und B) – 2*n(B und C) – 2*n(C und A) + 3*n(A und B und C)

Du brauchst nicht alle diese Formeln zu lernen. Konzentrieren Sie sich nur auf die ersten beiden und wissen Sie, wie Sie bei Bedarf auf die anderen kommen können. Versuchen wir dies an einem Beispielproblem:

Unter 250 befragten Zuschauern, die mindestens einen der drei Fernsehsender A, B &C sehen. 116 sehen A, 127 sehen C und 107 sehen B. Wenn 50 genau zwei Sender sehen. Wie viele sehen genau einen Sender?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Das ist gegeben:

n(Mindestens ein Kanal) = 250

n(Genau zwei Kanäle) = 50

So wissen wir, dass n(Mindestens ein Kanal) = n(Genau 1 Kanal) + n(Genau 2 Kanäle) + n(Genau 3 Kanäle) = 250

250 = n(Genau 1 Kanal) + 50 + n(Genau 3 Kanäle)

Suchen wir den Wert von n(Genau 3 Kanäle) = x

Wir wissen auch, dass n(Mindestens ein Kanal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A und B) – n(B und C) – n(C und A) + n(A und B und C) = 250

Also, n(Genau zwei Kanäle) = n(A und B) + n(B und C) + n(C und A) – 3*n(A und B und C)

So n(A und B) + n(B und C) + n(C und A) = n(Genau zwei Kanäle) + 3*n(A und B und C)

In die obige Gleichung eingesetzt:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Genau zwei Kanäle) – 3*x + x