AristotelesEdit

Varhaisin tunnettu muotoilu on Aristoteleen keskustelussa ristiriidattomuuden periaatteesta, jonka hän esitti ensimmäisen kerran teoksessa Tulkinnasta, jossa hän sanoo, että kahdesta keskenään ristiriitaisesta propositiosta (eli kun toinen propositio on toisen propositio on toisen negaatio) toisen täytyy olla tosi ja toisen epätosi. Hän esittää sen periaatteena myös Metafysiikan kirjassa 3, jossa hän sanoo, että kaikissa tapauksissa on välttämätöntä vahvistaa tai kieltää ja että on mahdotonta, että ristiriidan kahden osan välillä olisi jotain.

Aristoteles kirjoitti, että monitulkintaisuus voi syntyä monitulkintaisten nimien käytöstä, mutta sitä ei voi olla olemassa itse tosiasioissa:

Ei siis ole mahdollista, että ”olla ihminen” tarkoittaisi nimenomaan ”olla olematta ihminen”, jos ”ihminen” ei merkitse vain jotakin yhdestä asiasta, vaan sillä on myös yksi merkitys. … Eikä ole mahdollista olla ja olla olematta sama asia, paitsi moniselitteisyyden nojalla, aivan kuten jos joku, jota me kutsumme ”mieheksi”, ja toiset kutsuisivat ”ei-ihmiseksi”; mutta kyse ei ole siitä, voiko sama asia olla ja olla olematta yhtä aikaa nimensä puolesta ihminen, vaan siitä, voiko se tosiasiassa olla. (Metafysiikka 4.4, W.D. Ross (käännös), GBWW 8, 525-526).

Aristoteleksen väite, että ”ei ole mahdollista olla ja olla olematta sama asia”, joka kirjoitettaisiin propositionaalisessa logiikassa muotoon ¬(P ∧ ¬P), on väite, jota nykyajan logiikantutkijat voisivat kutsua poissuljetun keskiosan laiksi (P ∨ ¬P), koska Aristoteleen väitteen negaation jakaantuminen tekee niistä ekvivalentteja riippumatta siitä, että ensimmäinen väite väittää, ettei mikään lausuma ole sekä tosi että epätosi, kun taas jälkimmäinen edellyttää, että mikä tahansa lausuma on joko tosi tai epätosi.

Mutta Aristoteles kirjoittaa myös: ”Koska on mahdotonta, että ristiriitaisuudet olisivat samaan aikaan totta samasta asiasta, ilmeisesti myöskään vastakohdat eivät voi kuulua samaan aikaan samaan asiaan” (Kirja IV, CH 6, s. 531). Sitten hän ehdottaa, että ”ristiriitaisuuksien välillä ei voi olla välimuotoa, vaan yhdestä subjektista meidän on joko vahvistettava tai kiellettävä jokin predikaatti” (Book IV, CH 7, s. 531). Aristoteleen perinteisen logiikan kontekstissa tämä on huomattavan tarkka lausuma poissuljetun keskikohdan laista, P ∨ ¬P.

Tulkinnasta -teoksessa Aristoteles näyttää myös kieltävän poissuljetun keskikohdan lain tulevien kontingenttien tapauksessa meritaistelua käsittelevässä keskustelussaan.

LeibnizEdit

Tavanomaiseen muotoonsa: ”Jokainen tuomio on joko tosi tai epätosi” …” (Kolmogorovista teoksessa van Heijenoort, s. 421) alaviite 9: ”Tämä on Leibnizin hyvin yksinkertainen muotoilu (ks. Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid. s. 421)

Bertrand Russell ja Principia MathematicaEdit

Prinsiippi esitettiin Russellin ja Whiteheadin Principia Mathematica -teoksessa propositionaalisen logiikan teoreemana seuraavasti:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \ \ \vdash .\ p\ \ \vee \thicksim p}

.

Mitä on siis ”totuus” ja ”valhe”? Avauksessa PM ilmoittaa nopeasti muutamia määritelmiä:

Totuusarvot. Lauseen ”totuusarvo” on totuus, jos se on tosi, ja valheellisuus, jos se on epätosi* …lauseen ”p ∨ q” totuusarvo on totuus, jos joko p:n tai q:n totuusarvo on totuus, ja muutoin valheellisuus … lauseen ”~ p” totuusarvo on vastakohta lauseen ”p” totuusarvolle…”.” (s. 7-8)

Tästä ei ole paljon apua. Mutta myöhemmin, paljon syvällisemmässä keskustelussa (”Totuuden ja valheen määritelmä ja systemaattinen monitulkintaisuus” Luku II osa III, s. 41 ff) PM määrittelee totuuden ja valheen ”a:n” ja ”b:n” sekä ”havaitsijan” välisen suhteen avulla. Esimerkiksi ”Tämä ’a’ on ’b'” (esim. ”Tämä ’objekti a’ on ’punainen'”) tarkoittaa todellisuudessa ”’objekti a’ on aistimus-dataali” ja ”’punainen’ on aistimus-dataali”, ja ne ”seisovat suhteessa” toisiinsa ja suhteessa ”minuun”. Siten se, mitä todella tarkoitamme, on: ”Minä havaitsen, että ’tämä objekti a on punainen'”, ja tämä on kiistaton – kolmannen osapuolen ”totuus”.

PM määrittelee edelleen eron ”aistidatumin” ja ”aistimuksen” välillä:

Tämä tarkoittaa sitä, että kun arvioimme (sanomme) ”tämä on punainen”, tapahtuu kolmen termin, mielen, ja ”tämän” ja ”punaisen”, suhde. Toisaalta, kun havaitsemme ”tämän punaisuuden”, tapahtuu kahden termin, nimittäin mielen ja kompleksisen objektin ”tämän punaisuuden”, suhde (s. 43-44).

Russell toisti erottelunsa ”aistidatan” ja ”aistimuksen” välillä kirjassaan The Problems of Philosophy (1912), joka julkaistiin samaan aikaan PM:n (1910-1913) kanssa:

Nimitellään ”aistidataksi” niitä asioita, jotka tunnetaan välittömästi aistimuksessa: esimerkiksi värejä, ääniä, tuoksuja, kovuuksia, karheuksia ja niin edelleen. Annamme nimen ”aistimus” sille kokemukselle, että olemme välittömästi tietoisia näistä asioista… Väri itsessään on aistitieto, ei aistimus. (s. 12)

Russell kuvailee edelleen samassa kirjassa (luku XII, Totuus ja valhe) perustelujaan ”totuuden” ja ”valheellisuuden” määritelmiensä takana.

Poissuljetun keskikohdan lain seuraukset Principia MathematicassaEdit

Principia Mathematican poissuljetun keskikohdan laista, kaavasta ✸2.1, Whitehead ja Russell johdattavat joitakin logiikantutkijan argumentaatiovälineistön tehokkaimmista työkaluista. (Principia Mathematicassa kaavat ja propositiot merkitään johtavalla tähdellä ja kahdella numerolla, esimerkiksi ”✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p ”Tämä on poissuljetun keskikohdan laki” (PM, s. 101).”

Todistus lauseesta ✸2.1 on suurin piirtein seuraava: ”Alkeisidea” 1.08 määrittelee p → q = ~p ∨ q. Korvaamalla q:n p:llä tässä säännössä saadaan p → p = ~p ∨ p. Koska p → p on tosi (tämä on lause 2.08, joka todistetaan erikseen), niin ~p ∨ p:n täytyy olla tosi.

✸2.11 p ∨ ~p (väitteiden permutaatio sallitaan aksioomalla 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Kaksoisnegaatioperiaate, osa 1: jos ”tämä ruusu on punainen” on tosi, niin ei ole totta, että ”’tämä ruusu ei ole punainen’ on tosi”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemmaa yhdessä 2.12:n kanssa käytetään 2.14:n johtamiseen)
✸2.14 ~(~p) → p (Kaksoisnegaation periaate, osa 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Yksi neljästä ”transposition periaatteesta”. Samanlainen kuin 1.03, 1.16 ja 1.17. Tässä tarvittiin hyvin pitkä osoitus.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Jos on totta, että ”Jos tämä ruusu on punainen, niin tämä possu lentää”, niin on totta, että ”Jos tämä possu ei lennä, niin tämä ruusu ei ole punainen”.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Toinen ”Transpositioperiaatteista”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Kutsutaan ”Reduktio ad absurdumin komplementiksi. Se sanoo, että propositio, joka seuraa hypoteesista sen omasta valheellisuudesta, on tosi.” (PM, s. 103-104).)

Vähemmistö näistä teoreemoista – erityisesti ✸2.1, ✸2.11 ja ✸2.14 – hylätään intuitionismissa. Nämä työkalut muotoillaan uudelleen toiseen muotoon, jota Kolmogorov siteeraa ”Hilbertin neljänä implikaatioaksioomana” ja ”Hilbertin kahtena negaatioaksioomana” (Kolmogorov teoksessa van Heijenoort, s. 335).

Propositiot ✸2.12 ja ✸2.14, ”kaksinkertainen negaatio”: The intuitionist writings of L. E. J. Brouwer viittaavat siihen, mitä hän kutsuu ”monilajisuuden vastavuoroisuuden periaatteeksi eli periaatteeksi, jonka mukaan jokaiselle systeemille jonkin ominaisuuden oikeellisuus seuraa tämän ominaisuuden mahdottomuudesta” (Brouwer, ibid, s. 335).

Tätä periaatetta kutsutaan yleisesti ”kaksoisnegaation periaatteeksi” (PM, s. 101-102). Poissuljetun keskikohdan laista (✸2.1 ja ✸2.11) PM johtaa välittömästi periaatteen ✸2.12. Korvaamme 2.11:n p:n ~p:llä, jolloin saadaan ~p ∨ ~(~p), ja implikaation määritelmän mukaan (ts. 1.01 p → q = ~p ∨ q) silloin ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (2.14:n derivointi on hieman monimutkaisempi.)

ReichenbachEdit

On oikein, ainakin kaksiarvoiselle logiikalle – eli se voidaan nähdä Karnaughin kartan avulla – että tämä laki poistaa ”keskikohdan” Inklusiivisesta-tai:sta, jota käytetään hänen laissaan (3). Ja tämä on Reichenbachin osoitus siitä, että joidenkin mielestä eksklusiivisen-or:n pitäisi ottaa inklusiivisen-or:n paikka.

Tästä asiasta (tosin hyvin teknisin termein) Reichenbach huomauttaa:

The tertium non datur 29. (x) ei ole päätermeiltään tyhjentävä ja on siksi paisutettu kaava. Tämä seikka saattaa ehkä selittää sen, miksi jotkut pitävät kohtuuttomana kirjoittaa (29) inklusiivisella tai-merkillä ja haluavat, että se kirjoitetaan eksklusiivisen tai-merkin 30 kanssa. (x), jossa symboli ”⊕” merkitsee eksklusiivista-tai:ta, missä muodossa se olisi täysin tyhjentävä ja siten nomologinen suppeammassa merkityksessä. (Reichenbach, s. 376)

Rivillä (30) ”(x)” tarkoittaa ”kaikille” tai ”jokaiselle”, Russellin ja Reichenbachin käyttämää muotoa; nykyään symboliikka on yleensä ∀ \displaystyle \forall}.

x. Esimerkki lausekkeesta näyttäisi siis seuraavalta:

• (sika): (Kärpäset(sika) ⊕ ~Kärpäset(sika))
• (Kaikkien ”sika” -esimerkin nähtyjen ja näkymättömien esiintymien osalta): (”Sika lentää” tai ”Sika ei lennä”, mutta ei molempia samanaikaisesti)

Logiikot vastaan intuitionistitEdit

1800-luvun lopusta 1930-luvulle asti käytiin katkeraa ja sitkeää väittelyä Hilbertin ja hänen seuraajiensa välillä Hermann Weylia ja L. E. J. Brouweria vastaan. Brouwerin filosofia, jota kutsutaan intuitionismiksi, alkoi toden teolla Leopold Kroneckerin myötä 1800-luvun lopulla.

Hilbert inhosi voimakkaasti Kroneckerin ajatuksia:

Kronecker vaati, että ei voi olla olemassaoloa ilman rakentamista. Hänelle, kuten Paul Gordanille , Hilbertin todistus invariantin systeemin perustan äärellisyydestä ei yksinkertaisesti ollut matematiikkaa. Hilbert sen sijaan piti koko elämänsä ajan kiinni siitä, että jos voidaan todistaa, että käsitteelle annetut attribuutit eivät koskaan johda ristiriitaan, käsitteen matemaattinen olemassaolo on siten vahvistettu (Reid s. 34)

Hän väitti, että millään ei voitu sanoa olevan matemaattista olemassaoloa, ellei sitä voitu tosiasiassa konstruoida äärellisellä määrällä positiivisia kokonaislukuja (Reid s. 26)

Keskustelulla oli syvällinen vaikutus Hilbertiin. Reid osoittaa, että Hilbertin toinen ongelma (yksi Hilbertin ongelmista Pariisissa vuonna 1900 pidetyssä toisessa kansainvälisessä konferenssissa) kehittyi tästä keskustelusta (kursivointi alkuperäisessä):

Toisessa ongelmassaan hän oli pyytänyt matemaattista todistusta reaalilukujen aritmetiikan aksioomien johdonmukaisuudesta. Osoittaakseen tämän ongelman merkityksen hän lisäsi seuraavan huomautuksen: ”Jos käsitteelle annetaan ristiriitaisia attribuutteja, sanon, että matemaattisesti käsitettä ei ole olemassa.” (Reid s. 71)

Näin Hilbert sanoi: ”

Ja lopulta konstruktivistit … rajoittivat matematiikan tutkimaan konkreettisia operaatioita äärellisillä tai potentiaalisesti (mutta ei todellisuudessa) äärettömillä rakenteilla; valmiit äärettömät kokonaisuudet … hylättiin, samoin kuin epäsuorat todistukset, jotka perustuivat poissuljetun keskiarvon lakiin. Radikaaleimpia konstruktivisteista olivat intuitionistit, joita johti entinen topologi L. E. J. Brouwer (Dawson s. 49)

Vihamielinen keskustelu jatkui 1900-luvun alkupuolella 1920-luvulle asti; vuonna 1927 Brouwer valitti, että ”sitä vastaan polemisoidaan pilkallisin äänenpainoin” (Brouwer teoksessa van Heijenoort, s. 492). Mutta keskustelu oli hedelmällistä: sen tuloksena syntyi Principia Mathematica (1910-1913), ja tämä teos antoi tarkan määritelmän poissuljetun keskikohdan laille, ja kaikki tämä tarjosi älylliset puitteet ja tarvittavat välineet 1900-luvun alun matemaatikoille:

Tästä vihanpidosta, ja osittain sen synnyttämänä, syntyi useita tärkeitä loogisia kehityskulkuja…Zermelon joukko-opin aksiomatisointi (1908a) …jota seurasi kaksi vuotta myöhemmin Principia Mathematican ensimmäinen nide….jossa Russell ja Whitehead osoittivat, miten tyyppiteorian avulla suuri osa aritmetiikasta voitiin kehittää logiikan keinoin (Dawson s. 49)

Brouwer pelkisti keskustelun ”negatiivisesta” tai ”ei-olemassaolosta” suunniteltujen todisteiden käyttöön vs. ”konstruktiiviseen” todistukseen:

Brouwerin mukaan väite siitä, että objekti, jolla on tietty ominaisuus, on olemassa, tarkoittaa, että se on olemassa, ja se on todistettu vasta sitten, kun tiedetään menetelmä, joka ainakin periaatteessa mahdollistaa tällaisen objektin löytämisen tai rakentamisen … Hilbert oli luonnollisesti eri mieltä. ”Puhtaat olemassaolon todistukset ovat olleet tärkeimpiä merkkipaaluja tieteemme historiallisessa kehityksessä”, hän väitti. (Reid s. 155) Brouwer … kieltäytyi hyväksymästä poissuljetun keskikohdan loogista periaatetta… Hänen argumenttinsa oli seuraava: ”Oletetaan, että A on väite ”Joukossa S on olemassa jäsen, jolla on ominaisuus P”.”. Jos joukko on äärellinen, on periaatteessa mahdollista tutkia jokaista S:n jäsentä ja määrittää, onko olemassa S:n jäsen, jolla on ominaisuus P, vai puuttuuko jokaiselta S:n jäseneltä ominaisuus P. Äärellisille joukoille Brouwer siis hyväksyi poissuljetun keskikohdan periaatteen päteväksi. Hän kieltäytyi hyväksymästä sitä äärettömille joukoille, koska jos joukko S on ääretön, emme voi – edes periaatteessa – tutkia jokaista joukon jäsentä. Jos tutkimuksemme aikana löydämme joukosta jäsenen, jolla on ominaisuus P, ensimmäinen vaihtoehto on perusteltu, mutta jos emme koskaan löydä sellaista jäsentä, toinen vaihtoehto ei edelleenkään ole perusteltu. Koska matemaattiset lauseet todistetaan usein toteamalla, että niiden kieltäminen johtaisi ristiriitaan, tämä Brouwerin ehdottama kolmas mahdollisuus kyseenalaistaisi monet nykyisin hyväksytyt matemaattiset lausumat. ”Poissuljetun keskipisteen periaatteen ottaminen matemaatikolta”, Hilbert sanoi, ”on sama kuin … kieltää nyrkkeilijältä nyrkkien käyttö”. ”Mahdollinen tappio ei näyttänyt häiritsevän Weylia… Brouwerin ohjelma oli tulossa, hän vakuutti ystävilleen Zürichissä.” (Reid, s. 149)}}

Vuonna 1941 Yalessa pitämässään luennossa ja sitä seuranneessa paperissa Gödel ehdotti ratkaisua: ”että universaalin lauseen negaatio oli ymmärrettävä niin, että se vakuutti … vastaesimerkin olemassaolon” (Dawson, s. 157))

Gödelin lähestymistapa poissuljetun keskikohdan lakiin oli väittää, että vastaväitteillä, jotka kohdistuvat ”’impredikatiivisten määritelmien’ käyttöön”, ”oli enemmän painoarvoa” kuin ”poissuljetun keskikohdan lailla ja siihen liittyvillä propositiolaskennan teoreemoilla” (Dawson s. 156). Hän ehdotti ”järjestelmäänsä Σ … ja lopuksi hän mainitsi useita tulkintansa sovelluksia. Niiden joukossa oli mm. todistus periaatteen ~ (∀A: (A ∨ ~A)) johdonmukaisuudesta intuitionistisen logiikan kanssa (huolimatta oletuksen ∃ A: ~ (A ∨ ~A) epäjohdonmukaisuudesta)” (Dawson, s. 157)

Keskustelu näytti heikentyvän: matemaatikot, loogikot ja insinöörit käyttävät edelleen poissuljetun keskikohdan lakia (ja kaksoisnegaatiota) päivittäisessä työssään.

Intuitionistiset määritelmät poissuljetun keskikohdan laista (periaatteesta) Muokkaa

Seuraavassa tuodaan esiin syvä matemaattinen ja filosofinen ongelma sen takana, mitä tarkoittaa ”tietäminen”, ja autetaan myös selvittämään, mitä ”laki” implikoi (eli mitä laki oikeasti tarkoittaa). Heidän vaikeutensa lain kanssa nousevat esiin: he eivät halua hyväksyä todeksi implikaatioita, jotka on johdettu siitä, mikä on tarkistamatonta (testaamatonta, tuntematonta) tai mahdottomasta tai väärästä. (Kaikki lainaukset ovat van Heijenoortilta, kursivointi lisätty).

Brouwer tarjoaa määritelmänsä ”suljetun keskipisteen periaatteelle”; näemme tässä myös kysymyksen ”testattavuudesta”:

Äsken mainitun testattavuuden perusteella pätevät tietyn äärellisen pääsysteemin sisällä ajateltujen ominaisuuksien osalta ”poissuljetun keskikohdan periaate” eli periaate, jonka mukaan jokaisessa systeemissä jokainen ominaisuus on joko oikea tai mahdoton, ja erityisesti täydentävien lajien vastavuoroisuuden periaate eli periaate, jonka mukaan jokaisessa systeemissä jonkin ominaisuuden oikeellisuus seuraa tämän ominaisuuden mahdottomuudesta. (335)

Kolmogorovin määritelmässä siteerataan Hilbertin kahta negaatioaksioomaa

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → {(~A → B) → B}

Hilbertin ensimmäinen negaatioaksiooma ”mikä tahansa seuraa väärästä” tuli esiin vasta symbolisen logiikan yleistyttyä, kuten myös ensimmäinen implikaatioaksiooma…. kun taas… tarkasteltava aksiooma väittää jotakin jonkin mahdottomuuden seurauksista: meidän on hyväksyttävä B, jos tosi tuomio A katsotaan vääräksi… Hilbertin toinen negaatioaksiooma ilmaisee suljetun keskipisteen periaatteen. Periaate ilmaistaan tässä muodossa, jossa sitä käytetään derivaatioissa: jos B seuraa sekä A:sta että ~A:sta, niin B on tosi. Sen tavanomainen muoto, ”jokainen tuomio on joko tosi tai epätosi”, vastaa edellä esitettyä””. Negaation ensimmäisestä tulkinnasta, eli kiellosta pitää tuomiota totena, on mahdotonta saada varmuutta siitä, että suljetun keskipisteen periaate on tosi… Brouwer osoitti, että tällaisten transfiniittisten tuomioiden tapauksessa suljetun keskikohdan periaatetta ei voida pitää ilmeisenä alaviite 9: ”Tämä on Leibnizin hyvin yksinkertainen muotoilu (ks. Nouveaux Essais, IV,2). Muotoilulla ”A on joko B tai ei-B” ei ole mitään tekemistä tuomioiden logiikan kanssa. alaviite 10: ”Symbolisesti toinen muoto ilmaistaan näin: A ∨ ~A

missä ∨ tarkoittaa ”tai”. Näiden kahden muodon vastaavuus on helppo todistaa (s. 421)

.