Gaussin eliminoinnin tapauksessa algoritmi edellyttää, että pivot-elementit eivät saa olla nolla.Rivien tai sarakkeiden vaihtaminen on välttämätöntä, jos pivot-elementti on nolla. Alla oleva järjestelmä vaatii rivien 2 ja 3 vaihtamista eliminoinnin suorittamiseksi.

{\displaystyle \left}

Systeemi, joka syntyy pivotoinnin tuloksena, on seuraava, ja sen avulla eliminointialgoritmi ja taaksepäin substituutio tuottavat systeemin ratkaisun.

{\displaystyle \left}

Lisäksi Gaussin eliminoinnissa on yleensä suotavaa valita pivot-elementti, jolla on suuri absoluuttinen arvo. Tämä parantaa numeerista stabiilisuutta. Seuraavaan järjestelmään vaikuttaa dramaattisesti pyöristysvirhe, kun Gaussin eliminointi ja taaksepäin korvaaminen suoritetaan.

{\displaystyle \left}

Tässä systeemissä on tarkka ratkaisu x1 = 10,00 ja x2 = 1,000, mutta kun eliminointialgoritmi ja taaksepäin korvaaminen suoritetaan käyttämällä nelinumeroista aritmeettista laskutoimitusta, a11:n pieni arvo aiheuttaa pienten pyöristysvirheiden leviämistä. Algoritmilla, jossa ei käytetä pivotointia, saadaan approksimaatio x1 ≈ 9873,3 ja x2 ≈ 4. Tässä tapauksessa on toivottavaa, että vaihdamme kaksi riviä niin, että a21 on pivot-asemassa

. \displaystyle \left.