Operaattori (matematiikka)

syys 22, 2021

admin

GeometriaMuokkaa

Pääartikkelit: yleinen lineaariryhmä ja isometria

Geometriassa tutkitaan joskus vektoriavaruuksien lisärakenteita. Operaattorit, jotka kuvaavat tällaisia vektoriavaruuksia bijektiivisesti itseensä, ovat hyvin hyödyllisiä näissä tutkimuksissa, ne muodostavat luonnollisesti ryhmiä komposition avulla.

Esimerkiksi bijektiiviset operaattorit, jotka säilyttävät vektoriavaruuden rakenteen, ovat nimenomaan invertoituvia lineaarisia operaattoreita. Ne muodostavat yleisen lineaarisen ryhmän komposition alaisena. Ne eivät muodosta vektoriavaruutta operaattoreiden yhteenlaskun alaisena, esimerkiksi sekä id että -id ovat käänteismuunnettavissa (bijektiivisiä), mutta niiden summa, 0, ei ole.

Tällaisen avaruuden euklidista metriikkaa säilyttävät operaattorit muodostavat isometriaryhmän, ja origon fiksoivat operaattorit muodostavat alaryhmän, jota kutsutaan ortogonaaliryhmäksi. Ortogonaaliryhmän operaattorit, jotka säilyttävät myös vektorituplien orientaation, muodostavat erityisen ortogonaaliryhmän eli rotaatioryhmän.

Todennäköisyysteoria Muokkaa

Pääartikkeli: Todennäköisyysteoria

Todennäköisyysteoriaan liittyy myös operaattoreita, kuten odotus, varianssi ja kovarianssi. Itse asiassa jokainen kovarianssi on pohjimmiltaan pistetuotto; jokainen varianssi on vektorin pistetuotto itsensä kanssa ja siten kvadraattinen normi; jokainen keskihajonta on normi (neliöjuuri kvadraattisesta normista); tätä pistetuotosta vastaava kosinus on Pearsonin korrelaatiokerroin; odotusarvo on pohjimmiltaan integraalioperaattori (jota käytetään mittaamaan painotettuja muotoja avaruudessa).

CalculusEdit

Pääartikkelit: differentiaalioperaattori ja integraalioperaattori

Funktionaalianalyysin näkökulmasta laskenta on kahden lineaarisen operaattorin tutkimista: differentiaalioperaattori d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

ja Volterran operaattori ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}}

$\int_0^t$

Fourier-sarja ja Fourier-muunnos Muokkaa

Pääartikkelit: Fourier-sarja ja Fourier-muunnos

Fourier-muunnos on hyödyllinen sovelletussa matematiikassa, erityisesti fysiikassa ja signaalinkäsittelyssä. Se on toinen integraalioperaattori; se on hyödyllinen lähinnä siksi, että se muuntaa yhden (ajallisen) alueen funktion toisen (taajuus) alueen funktioksi tavalla, joka on tehokkaasti käännettävissä. Mitään informaatiota ei menetetä, koska on olemassa käänteismuunnosoperaattori. Yksinkertaisessa jaksollisten funktioiden tapauksessa tämä tulos perustuu lauseeseen, jonka mukaan mikä tahansa jatkuva jaksollinen funktio voidaan esittää sini- ja kosiniaaltosarjojen summana:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } }$

Tupoli (a0, a1, b1, a2, b2, …) on itse asiassa äärettömän moniulotteisen vektoriavaruuden ℓ2 alkio, ja siten Fourier-sarja on lineaarinen operaattori.

Kun kyseessä on yleinen funktio R → C, muunnos saa integraalimuodon:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Laplace-muunnosEdit

Pääartikkeli: Laplace-muunnos

Laplace-muunnos on toinen integraalioperaattori ja se osallistuu differentiaaliyhtälöiden ratkaisuprosessin yksinkertaistamiseen.

Edellyttäen f = f(s), se määritellään seuraavasti:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t)\,dt.$

Skalaari- ja vektorikenttien perusoperaattorit Muokkaa

Pääartikkelit: vektorilaskenta, vektorikenttä, skalaarikenttä, gradientti, divergenssi ja curl

Kolme operaattoria ovat vektorilaskennan kannalta keskeisiä:

Grad (gradientti), (operaattorisymbolilla ∇ {\displaystyle \nabla }
$\nabla$

) määrittää skalaarikentän jokaiseen pisteeseen vektorin, joka osoittaa tuon kentän suurimman muutosnopeuden suuntaan ja jonka normi mittaa tuon suurimman muutosnopeuden absoluuttista arvoa.
Div (divergenssi), (operaattorisymbolilla ∇ ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }).
$\nabla \cdot$

) on vektorioperaattori, joka mittaa vektorikentän divergenssiä tietystä pisteestä tai konvergenssia kohti tiettyä pistettä.
Curl, (operaattorisymbolilla ∇ × {\displaystyle \nabla \times }).
$\nabla \times$

) on vektorioperaattori, joka mittaa vektorikentän käyristymissuuntausta (kiertymistä, kiertymistä) tietyn pisteen ympärillä.

Vektorilaskennan operaattoreiden laajentamisena fysiikkaan, tekniikkaan ja tensoriavaruuksiin, Grad-, Div- ja Curl-operaattorit liitetään usein vektorilaskennan lisäksi myös tensorilaskentaan.