Matematiikka
Inspiraatio, puhdas, soveltava matematiikka ja estetiikka Muokkaa
On hyvin mahdollista, että laskutaito kehitettiin jo kirjoitusta aikaisemminkin, ja se liittyi ensisijaisesti kirjanpitoon ja kiinteistöhallintoon, kaupankäyntiin, maanmittaukseen ja myöhemmin tähtitieteeseen.
Tänään kaikki luonnontieteet tuovat mukanaan ongelmia, joita matemaatikot tutkivat, ja samalla matematiikan piirissä ilmaantuu uusia ongelmia. Esimerkiksi fyysikko Richard Feynman ehdotti kvanttimekaniikan perustaksi polkuintegraalia, jossa yhdistyvät matemaattinen päättely ja fysiikan lähestymistapa, mutta täysin tyydyttävää matemaattista määritelmää ei ole vielä saavutettu. Samoin säieteoria, kehittyvä tieteellinen teoria, joka pyrkii yhdistämään fysiikan neljä perusvoimaa, inspiroi edelleen suurinta osaa nykyaikaisesta matematiikasta.
Jollain matematiikalla on merkitystä vain sillä alalla, jolla se on inspiroitunut, ja sitä sovelletaan kyseisen alan muihin ongelmiin. Usein tietyn alan innoittama matematiikka on kuitenkin hyödyllistä monilla aloilla, ja se sisältyy hyväksyttyihin yleisiin matemaattisiin käsitteisiin. Eugene Wigner on määritellyt ”matematiikan kohtuuttomaksi tehokkuudeksi luonnontieteissä” sen merkillisen tosiasian, että puhtaimmallakin matematiikalla on yleensä käytännön sovelluksia.
Kuten useimmilla tieteenaloilla, tiedon räjähdysmäinen lisääntyminen luonnontieteiden aikakaudella on johtanut matematiikan erikoistumiseen. Puhtaan matematiikan ja soveltavan matematiikan välillä on tärkeä ero. Useimmat tutkimusmatemaatikot keskittyvät vain yhteen näistä aloista, ja joskus valinta tehdään jo tutkintoa aloitettaessa. Useat soveltavan matematiikan alat ovat sulautuneet muiden perinteisesti matematiikan ulkopuolisten alojen kanssa, ja niistä on tullut itsenäisiä tieteenaloja, kuten tilastotiede, operaatiotutkimus tai tietojenkäsittelytiede.
Matematiikkaan mieltymyksensä omaavat havaitsevat, että suurimmassa osassa matematiikkaa vallitsee esteettinen aspekti, joka määrittelee sen. Monet matemaatikot puhuvat matematiikan eleganssista, sen luontaisesta estetiikasta ja sisäisestä kauneudesta. Yleisesti ottaen yksi sen arvostetuimmista ominaisuuksista on sen yksinkertaisuus. Kauneutta on yksinkertaisessa ja voimakkaassa todistuksessa, kuten Eukleideen todistuksessa äärettömän monen alkuluvun olemassaolosta, ja tyylikkäässä numeerisessa analyysissä, joka nopeuttaa laskentaa, sekä nopeassa Fourier-muunnoksessa. G. H. Hardy ilmaisi teoksessaan A Mathematician’s Apology (Mathematician’s Apology) olevansa vakuuttunut siitä, että nämä esteettiset näkökohdat riittävät itsessään oikeuttamaan puhtaan matematiikan opiskelun. Matemaatikot pyrkivät usein löytämään erityisen tyylikkäitä todistuksia teoreemoille, ja eksentrinen matemaatikko Paul Erdős viittasi tähän seikkaan niin, että etsitään todistuksia ”kirjasta”, johon Jumala on kirjoittanut suosikkitodistuksensa. Vapaa-ajan matematiikan suosio on toinen merkki matemaattisten kysymysten ratkaisemisen ilosta.
Merkintätapa, kieli ja tarkkuusMuokkaa
Suurin osa nykyisin käytössä olevista matemaattisista merkintätavoista keksittiin vasta 1700-luvulla. Sitä ennen matematiikka kirjoitettiin sanoin, mikä oli työläs prosessi, joka rajoitti matemaattista kehitystä. Euler oli 1700-luvulla vastuussa monista nykyisin käytetyistä merkinnöistä. Nykyaikainen merkintätapa tekee matematiikasta paljon helpompaa ammattilaisille, mutta monimutkaista aloittelijoille. Merkintätapa pelkistää matematiikan minimiin, jolloin jotkin symbolit sisältävät suuren määrän tietoa. Nykyaikaisella matemaattisella notaatiolla on musiikin notaation tavoin tiukka syntaksi, ja se koodaa tietoa, jota olisi muuten vaikea kirjoittaa.
Matematiikan kieli voi olla myös aloittelijoille vaikeaa. Sanoilla, kuten tai ja vain, on tarkemmat merkitykset kuin arkikielessä. Lisäksi sanoilla, kuten open ja body, on hyvin erityisiä matemaattisia merkityksiä. Matemaattiseen jargoniin eli matemaattiseen kieleen kuuluu teknisiä termejä, kuten homeomorfismi tai integroitavuus. Merkintätapojen ja jargonin käytön tarve johtuu siitä, että matemaattinen kieli vaatii enemmän tarkkuutta kuin arkikieli. Matemaatikot kutsuvat tätä kielen ja logiikan tarkkuutta ”tarkkuudeksi”.
Tarkkuus on välttämätön edellytys, joka matemaattisella todistuksella on oltava. Matemaatikot haluavat, että heidän aksioomista johdetut lauseensa noudattavat systemaattista päättelyä. Näin vältetään virheellisiin intuitioihin perustuvat virheelliset teoreemat, joita on esiintynyt useaan otteeseen tämän tieteen historiassa. Matematiikalta odotettu tiukkuus on vaihdellut aikojen kuluessa: kreikkalaiset pyrkivät yksityiskohtaisiin perusteluihin, mutta Isaac Newtonin aikana käytetyt menetelmät olivat vähemmän tiukkoja. Newtonin käyttämiin määritelmiin liittyvät ongelmat johtivat 1800-luvulla huolellisen analyysin ja virallisten demonstraatioiden elvyttämiseen. Nyt matemaatikot jatkavat toistensa tukemista tietokoneavusteisten demonstraatioiden avulla.
Aksiooma on perinteisesti tulkittu ”itsestään selväksi totuudeksi”, mutta tämä käsitys on ongelmallinen. Muodollisella tasolla aksiooma ei ole muuta kuin merkkijono, jolla on oma merkityksensä vain kaikkien aksiomaattisesta järjestelmästä johdettujen kaavojen yhteydessä.
Matematiikka tieteenäEdit
Carl Friedrich Gauss viittasi matematiikkaan ”tieteiden kuningattarena”. Sekä alkuperäisessä latinankielisessä sanassa Scientiārum Regīna että saksankielisessä sanassa Königin der Wissenschaften sana tiede on tulkittava tietämyksen (alan) sanaksi. Jos tiedettä pidetään fysikaalisen maailman tutkimisena, matematiikka tai ainakaan puhdas matematiikka ei ole tiedettä.
Monien filosofien mielestä matematiikka ei ole kokeellisesti falsifioitavissa eikä siten Karl Popperin määritelmän mukainen tiede. Matemaattisen logiikan alalla 1930-luvulla tehdyt merkittävät työt osoittivat kuitenkin, että matematiikkaa ei voida pelkistää logiikkaan, ja Karl Popper päätteli, että ”useimmat matemaattiset teoriat ovat fysiikan ja biologian teorioiden tapaan hypoteettis-deduktiivisia”. Näin puhdas matematiikka on tullut lähemmäksi luonnontieteitä, joiden hypoteesit ovat olettamuksia, kuten tähänkin asti.” Toiset ajattelijat, erityisesti Imre Lakatos, ovat vaatineet matematiikan falsifikationismin versiota.
Vaihtoehtoinen näkemys on, että tietyt tieteenalat (kuten teoreettinen fysiikka) ovat matematiikkaa, jonka aksioomien väitetään vastaavan todellisuutta. Itse asiassa teoreettinen fyysikko J. M. Ziman ehdottaa, että tiede on ”julkista tietoa” ja että siihen kuuluu näin ollen myös matematiikka. Joka tapauksessa matematiikalla on paljon yhteistä monien luonnontieteiden alojen kanssa, erityisesti hypoteesien loogisten seurausten tutkiminen. Intuitiolla ja kokeiluilla on myös tärkeä rooli matemaattisten ja muiden luonnontieteiden olettamusten muotoilussa. Kokeellinen matematiikka saa yhä enemmän edustusta matematiikassa. Laskennalla ja simuloinnilla on yhä tärkeämpi asema sekä luonnontieteissä että matematiikassa, mikä lieventää väitettä, jonka mukaan matematiikassa ei käytetä tieteellistä menetelmää. Vuonna 2002 Stephen Wolfram väittää kirjassaan A New Kind of Science, että laskennallista matematiikkaa on tutkittava empiirisesti tieteenalana.
Matemaatikkojen näkemykset tästä asiasta ovat hyvin erilaisia. Monet matemaatikot katsovat, että heidän alansa kutsuminen tieteeksi merkitsee sen esteettisen profiilin merkityksen vähättelyä ja sen historian kieltämistä osana seitsemää vapaata taidetta. Toisten mielestä matematiikan ja luonnontieteiden välisen yhteyden huomiotta jättäminen on yhtä kuin matematiikan ja sen tieteellisten ja teknisten sovellusten välisen ilmeisen yhteyden huomiotta jättäminen, mikä on edistänyt huomattavasti matematiikan kehitystä. Toinen keskustelunaihe, joka liittyy hieman edelliseen, on se, onko matematiikka luotu (taiteena) vai löydetty (tieteenä). Tämä on yksi monista matematiikan filosofiaa askarruttavista kysymyksistä.
Matemaattiset palkinnot pidetään yleensä erillään luonnontieteiden vastaavista. Matematiikan arvostetuin palkinto, Fieldsin mitali, perustettiin vuonna 1936, ja se jaetaan joka neljäs vuosi. Sitä pidetään usein tieteen Nobel-palkintoa vastaavana palkintona. Muita palkintoja ovat vuonna 1978 perustettu matematiikan Wolf-palkinto, jolla palkitaan matemaatikkojen elämäntyöstä, ja Abel-palkinto, toinen merkittävä kansainvälinen palkinto, joka otettiin käyttöön vuonna 2003. Kaksi jälkimmäistä myönnetään erinomaisesta työstä, joka voi olla uraauurtavaa tutkimusta tai tietyn alan merkittävän ongelman ratkaisua. Saksalainen matemaatikko David Hilbert laati vuonna 1900 kuuluisan luettelon näistä 23 ratkaisemattomasta ongelmasta, joita kutsutaan ”Hilbertin ongelmiksi”. Luettelosta on tullut hyvin suosittu matemaatikkojen keskuudessa, ja ainakin yhdeksän ongelmaa on jo ratkaistu. Vuonna 2000 julkaistiin uusi seitsemän perusongelmaa sisältävä luettelo ”vuosituhannen ongelmista”. Kunkin ongelman ratkaisu palkitaan miljoonalla dollarilla. Mielenkiintoista on, että vain yksi (Riemannin hypoteesi) esiintyy molemmissa luetteloissa.