Tämä artikkeli on muokattu ja päivitetty versio artikkelista, jonka kirjoitin vuonna 2008 ja päivitin sen jälkeen vuodelle 2012. Ellei kolossaalista asteroiditörmäystä tai Trumpin presidenttikautta tapahdu, olen luultavasti paikalla tekemässä sitä myös vuonna 2020. Mutta en vuonna 2200. Vaikka kelluva pääni purkin sisällä olisikin vielä olemassa, sillä ei ole väliä, kuten huomaatte, jos luette eteenpäin.

Huomio: Tässä viestissä on matematiikkaa. Aika paljon. Mutta se on oikeastaan vain aritmetiikkaa – desimaaleja ja kertolaskua. Jos olet matematiikkakammoinen, hyppää loppuun, mutta sinun on luotettava minuun numeroiden suhteen.

Jos olet matematiikan ystävä ja pedantti, voit hermostua siitä, että jätän merkitsevät numerot huomiotta. Mutta tässä tapauksessa mantissa on se, mikä on tärkeää, koska teemme tässä moduulilaskennan muunnelmaa; jäljelle jäävä varsinainen päivän murto-osa on se, mikä lasketaan yhteen, eikä sillä ole väliä, kuinka monta kokonaista päivää on, kun karkauspäiväkorjaukset on sovellettu kalenteriin. Niinpä pidin kaikki luvut neljän desimaalin tarkkuudella (elleivät ne pääty 0:aan) ja jätin huomiotta sigfigit. Kyllä, tämä johtaa joihinkin pyöristysvirheisiin, mutta siinä ajassa, josta tässä on kyse, niillä ei ole suurta merkitystä.

OK, valmis? Tehdään matematiikkaa!

Kun olin lapsi, minulla oli ystävä, jonka syntymäpäivä oli 29. helmikuuta. Minulla oli tapana haukkua häntä siitä, että hän oli vasta 3-vuotias, ja hän hillitsi itsensä näkyvästi lyömästä minua. Ilmeisesti hän oli kuullut tuon vitsin usein.

Tietysti hän oli oikeasti 12-vuotias. Mutta koska 29.2. on karkauspäivä, se tulee vain kerran neljässä vuodessa.

Mutta miksi karkauspäivä on vain joka neljäs vuosi?

Miksi mikään on mitään mitään? Koska tähtitiede!

Okei, ehkä olen puolueellinen, mutta tässä tapauksessa se on totta. Meillä on kaksi ajan perusyksikköä: päivä ja vuosi. Kaikista päivittäin käyttämistämme mittayksiköistä nämä ovat ainoat kaksi, jotka perustuvat konkreettisiin fysikaalisiin tapahtumiin: aika, joka maapallolta kuluu siihen, että se pyörii kerran akselinsa ympäri, ja aika, joka maapallolta kuluu auringon kiertämiseen. Kaikki muut käyttämämme aikayksiköt (sekunti, tunti, viikko, kuukausi) ovat melko mielivaltaisia. Käteviä, mutta niitä eivät määrittele riippumattomat, ei-itsenäiset tapahtumat.*

Maapallolta kestää noin 365 päivää kiertää Aurinko kerran. Jos se olisi tasan 365 päivää, olisimme valmiita! Kalenterimme olisivat samat joka vuosi, eikä olisi mitään hätää.

Mutta niin asiat eivät ole. Päivän ja vuoden pituus eivät ole täsmällisiä kertalukuja; ne eivät jakaudu tasan. Vuodessa on itse asiassa noin 365,25 päivää. Tuo ylimääräinen murto-osa on kriittinen; se lasketaan yhteen. Joka vuosi kalenterimme on väärässä noin neljännespäivän verran, eli ylimääräiset 6 tuntia jää jäljelle.

Yhden vuoden kuluttua kalenteri on väärässä ¼ vuorokauden verran. Kahden vuoden jälkeen puoli päivää, sitten ¾, ja neljän vuoden jälkeen kalenteri on suunnilleen kokonaisen päivän pielessä:

4 vuotta 365 (kalenteri)päivällä/vuosi = 1460 päivää, mutta

4 vuotta 365,25 (fyysisellä) päivällä/vuosi = 1461 päivää

Neljän vuoden jälkeen kalenteri on siis päivän jäljessä. Maapallo on pyörähtänyt yhden ylimääräisen kerran noiden neljän vuoden aikana, ja meidän on kurottava se umpeen. Tasapainottaaksemme kalenteria lisäämme tuon päivän takaisin kerran neljässä vuodessa. Helmikuu on lyhin kuukausi (joidenkin keisarillisten sekoilujen vuoksi), joten laitamme päivän sinne, kutsumme sitä helmikuun 29. päiväksi – ja kaikki ovat tyytyväisiä.

Paitsi että siinä on vielä ongelma. Valehtelin teille (no, en oikeastaan, mutta olkaa mukana tässä). Vuosi ei ole tasan 365,25 päivää pitkä. Jos se olisi, neljän vuoden välein kalenteri saavuttaisi maapallon todellisen pyörimisnopeuden, ja kaikki olisi hyvin.

Mutta näin ei ole, ja tästä alkaa hauskuus.

Virallinen päivämme on 86 400 sekuntia pitkä. En mene yksityiskohtiin itse vuoden pituudesta (voit vääntää aivosi solmuun lukiessasi siitä, jos haluat), mutta nyt käyttämäämme vuotta kutsutaan trooppiseksi vuodeksi, ja se on 365,2422 päivää pitkä. Se ei ole tarkka, mutta pyöristetään neljään desimaaliin, jotta aivomme eivät sulaisi.

On selvää, että 365.2422 on hieman vähemmän kuin 365.25 (noin 11 minuuttia). Sillä tuskin on väliä, eikö niin?

Itse asiassa, kyllä sillä on. Ajan mittaan tuokin pikkuhiljaa summautuu. Esimerkiksi neljän vuoden jälkeen meillä ei ole enää 1461 fyysistä päivää, vaan:

4 vuotta 365,2422 (todellista) päivää/vuosi = 1460,9688 päivää

Se tarkoittaa, että kun lisäämme kokonaisen päivän neljän vuoden välein, lisäämme liikaa! Mutta en näe mitään helppoa tapaa lisätä kalenteriimme vain 0,9688 päivää, joten kokonaisen päivän lisääminen on ymmärrettävää.

Mihin tämä johtaa? Lisäämällä karkauspäivän joka neljäs vuosi kalenteri on paljon lähempänä tarkkuutta, mutta se ei silti ole täsmälleen oikeassa; se on edelleen vain hiukan sekaisin. Tällä kertaa se on edellä maapallon fyysistä pyörimistä, koska lisäsimme kokonaisen päivän, mikä on liikaa. Kuinka paljon edellä?

No, lisäsimme yhden kokonaisen päivän 0,9688 päivän sijaan, mikä on 0,0312 päivän ero. Se on 0,7488 tuntia, joka on hyvin lähellä 45 minuuttia.

Se ei ole iso juttu, mutta näet, että lopulta joudumme taas ongelmiin. Kalenteri voittaa 45 minuuttia joka neljäs vuosi. Kun meillä on ollut 32 karkausvuotta (eli 4 x 32 = 128 kalenterivuotta), olemme taas päivän verran erossa, koska 32 x 0,0312 päivää on hyvin lähellä kokonaista päivää! Eroa on vain muutama minuutti, mikä on aika hyvä.

Meidän on siis taas säädettävä kalenteriamme. Voisimme vain jättää karkauspäivän väliin yhden vuoden joka 128. vuosi, ja kalenteri olisi hyvin lähellä tarkkaa. Mutta se on hankalaa. Kuka muistaa 128 vuoden välein?

Sen sijaan päätettiin jättää karkauspäivä pois joka sadas vuosi, mikä on helpompi muistaa. Joka vuosisata voimme siis jättää karkauspäivän väliin, jotta kalenteri pysyy lähempänä sitä, mitä maapallolla tapahtuu, ja kaikki ovat tyytyväisiä.

Paitsi että ongelma on edelleen olemassa. Koska teemme tämän sadan vuoden välein, emme vieläkään tee oikeaa säätöä. Olemme lisänneet tuon 0,0312 päivää 25 kertaa, emme 32 kertaa, eikä se riitä.

Tarkalleen ottaen sadan vuoden kuluttua kalenteri on edellä:

25 x 0,0312 päivää = 0,7800 päivää

Se on lähes kokonainen päivä. Tietysti, kun näkee, mitä olemme jo kokeneet, voi aavistaa, että tämä ei tule toimimaan täydellisesti. Ja olisit oikeassa. Siihen päästään vielä.

Mutta ensin, tässä on toinen tapa ajatella tätä kaikkea, jonka heitän mukaan vain matematiikan tarkistamiseksi. 100 vuoden kuluttua meillä on ollut 25 karkausvuotta ja 75 ei-karkausvuotta. Se tekee yhteensä:

(25 karkausvuotta x 366 päivää/karkausvuosi) + (75 vuotta x 365 päivää/vuosi) = 36 525 kalenteripäivää

Mutta todellisuudessa meillä on ollut 100 vuotta 365,2422 päivää eli 36 524,22 päivää. Nyt olemme siis erehtyneet:

36,525 – 36524.22 = 0,78 päivää

, joka pyöristysvirheitä lukuun ottamatta on sama luku, jonka sain edellä. Woohoo. Matematiikka toimii.

Mihin jäinkään? Ai niin. Sadan vuoden jälkeen kalenteri on siis saanut yli ¾ päivää lisää vuoden fyysiseen päivien lukumäärään, kun siihen lisätään kokonainen päivä joka neljäs vuosi. Se tarkoittaa, että meidän on pysäytettävä kalenteri ja annettava maapallon pyörimisliikkeen kuroa umpeen. Tätä varten kerran vuosisadassa ei lisätä karkauspäivää.

Yksinkertaistaaksemme asiaa (koska meidän on pakko), teemme tämän vain vuosina, jotka jaetaan sadalla. Vuodet 1700, 1800 ja 1900 eivät siis olleet karkausvuosia. Emme lisänneet ylimääräistä päivää, ja kalenteri tuli paljon lähemmäksi todellisuutta.

Mutta huomaa, hän sanoo ilkeästi naureskellen, etten maininnut vuotta 2000. Miksei?

Koska kuten sanoin hetki sitten, edes tämä viimeisin askel ei ole aivan riittävä. Muistakaa, että sadan vuoden jälkeen kalenteri ei ole vieläkään kokonaista numeroa pielessä. Se on 0,7800 päivää edellä. Kun siis vähennämme päivän, kun karkausvuosi ei ole joka vuosisata, kompensoimme liikaa; vähennämme liikaa. Olemme nyt jäljessä:

1 – 0.7800 päivää = 0.2200 päivää

Arg! Kalenteri on siis 100 vuoden välein jäljessä 0,22 päivää. Jos olet minua edellä tässä (ja oikeasti, pystyn tuskin pysymään perässä tässä vaiheessa), saatat sanoa: ”Hei! Tuo luku, jos se kerrotaan viidellä, on hyvin lähellä kokonaista päivää! Meidän pitäisi siis laittaa karkauspäivä takaisin 500 vuoden välein, ja silloin kalenteri on taas hyvin lähellä oikeaa!”.”

Mitä voin sanoa? Olet selvästi erittäin fiksu ja loogisesti ajatteleva. Valitettavasti kalentereista vastaavat ihmiset eivät ole sinua. He menivät eri reittiä.

Miten? Sen sijaan, että he olisivat lisänneet karkauspäivän takaisin 500 vuoden välein, he päättivät lisätä sen 400 vuoden välein! Miksi? No, yleensä jos on vaikeampi tapa tehdä jotain, niin se tehdään niin.

400 vuoden jälkeen olemme siis sotkeneet kalenteria 0,22 päivällä neljä kertaa (kerran sadan vuoden välein 400 vuoden ajan), ja neljän vuosisadan jälkeen kalenteri on jäljessä

4 x 0,22 päivää = 0,88 päivää

Se on melkein kokonainen vuorokausi, joten mennäänpä sillä. Tämä tarkoittaa, että 400 vuoden välein voimme lisätä helmikuun 29. päivän maagisesti takaisin kalenteriin, ja jälleen kerran kalenteri on marginaalisesti lähempänä tarkkuutta.

Tarkistukseksi tehdään matematiikka eri tavalla. Aina 400 vuoden syklin viimeisen vuoden helmikuuhun asti meillä on ollut 303 ei-karkausvuotta ja 96 karkausvuotta (muistakaa, että emme laske 400:tta vuotta vielä).

(96 karkausvuotta x 366 päivää/karkausvuosi) + (303 vuotta x 365 päivää/vuosi) = 145,731 kalenteripäivää

Jos emme tee 400. vuodesta karkausvuotta, lisäämme 365 päivää lisää, jolloin saamme yhteensä 146,096 päivää.

Mutta meillä on todella ollut:

400 x 365,2422 päivää = 146 096,88 päivää

Olin siis oikeassa! 400 vuoden jälkeen olemme jäljessä 0,88 päivää, joten rikomme ”100 vuoden välein” -sääntöä ja lisäämme kokonaisen päivän 400 vuoden välein, ja kalenteri on paljon lähempänä aikataulua.

Näemme, että jäljelle jää 0,88 päivää, mikä täsmää edellisen laskelman kanssa, joten olen varma, että olen tehnyt tämän oikein. (Puh!)

Mutta en voi antaa tämän mennä. Minun on huomautettava, että kaiken tämän jälkeenkään kalenteri ei ole vielä tässä vaiheessa täysin tarkka, koska nyt olemme taas edellä. Olemme lisänneet kokonaisen päivän 400 vuoden välein, vaikka meidän olisi pitänyt lisätä vain 0,88 päivää, joten olemme nyt edellä:

Hassua on, ettei kukaan ole huolissaan tästä. Mitään virallista sääntöä ei ole karkauspäiville, joiden syklit ovat suurempia kuin 400 vuotta. Minusta tämä on äärimmäisen ironista, koska jos ottaisimme yhden askeleen lisää, voisimme tehdä kalenterista äärimmäisen tarkan. Miten?

Se määrä, jonka poikkeamme 400 vuoden välein, on lähes täsmälleen 1/8 päivä! Eli 3200 vuoden jälkeen meillä on ollut 8 tuollaista 400 vuoden sykliä, joten olemme edellä:

8 x 0,12 päivää = 0,96 päivää

Jos sitten jättäisimme karkauspäivän pois kalentereista taas 3 200 vuoden välein, olisimme jäljessä vain 0,04 päivää! Se on paljon parempi kuin mikään muu tähän mennessä tekemämme oikaisu. En voi uskoa, että lopetimme korjaukset 400 vuoden syklissä.

Mutta silti, jee, olemme valmiita! Voimme nyt vihdoin nähdä, miten karkausvuosisääntö toimii:

Mitä pitää tehdä, jotta saadaan selville, onko kyseessä karkausvuosi vai ei:

Lisäämme karkauspäivän joka neljäs vuosi, paitsi joka 100. vuosi, paitsi joka 400. vuosi.

Toisin sanoen …

Jos vuosi on jaollinen neljällä, niin se on karkausvuosi, VAIKKA

se on myös jaollinen 100:lla, niin se ei ole karkausvuosi, VAIKKA

vuosi on jaollinen 400:lla, niin se on karkausvuosi.

Vuosi 1996 oli siis karkausvuosi, mutta 1997, 1998 ja 1999 eivät olleet. Vuosi 2000 oli karkausvuosi, koska vaikka se on jaollinen 100:lla, se on myös jaollinen 400:lla.

Vuodet 1700, 1800 ja 1900 eivät olleet karkausvuosia, mutta vuosi 2000 oli. Vuosi 2100 ei ole, eikä 2200 eikä 2300. Mutta 2400 tulee olemaan.

Koko tämä 400 vuoden juttu sai alkunsa vuonna 1582 paavi Gregorius XIII:n toimesta. Se on tarpeeksi lähellä vuotta 1600 (joka oli karkausvuosi!), joten minun käsitykseni mukaan vuoden 4800 ei pitäisi olla karkausvuosi, ja silloin kalenteri on maapallon pyörimisnopeuteen nähden alle minuutin pielessä. Se on vaikuttavaa.

Mutta kuka minua kuuntelee? Jos olet selvinnyt näin pitkälle räjäyttämättä aivojasi, niin sitten kai kuuntelet minua. Tämä kaikki on mielestäni hauskaa, ja jos olet vielä mukana tässä, tiedät karkausvuosista yhtä paljon kuin minä.

Mikä on luultavasti liikaa. Teidän tarvitsee oikeastaan vain tietää, että tämä vuosi 2016 on karkausvuosi, ja sitä tulee olemaan vielä paljon jonkin aikaa. Voit käydä läpi matematiikkani ja tarkistaa minut, jos haluat …

Tai voit vain uskoa minua. Kutsu sitä uskon hypyksi.

Bonus: Teimme sunnuntaina videon, jossa tämä koko juttu yksinkertaistetaan siihen, että huudan sinulle numeroita kolmen minuutin ajan. Nauttikaa:

*Kuukausi perustuu kuun kiertokulkuun, mutta ”kuukaudelle” ei ole olemassa varsinaista määritelmää, minkä vuoksi ne ovat pituudeltaan hyvin erilaisia.