$ \def\P{\mathcal P} % potenssijoukko \def\iff{\Vasemmanpuoleinenoikea nuoli}$

Kartoitus eli lyhenne map on yksi monista funktiosta käytetyistä synonyymeistä.Erityisesti termiä map(ping) käytetään yleisissä yhteyksissä, kuten joukko-opissa, mutta käyttö ei rajoitu näihin tapauksiin.

Kartta-käsite joukko-opissa

Joukko-opissa kartoitukset ovat erityisiä binäärisiä suhteita.

Kartoitus $f$ joukosta $A$ joukkoon $B$ on(järjestetty) kolmikko $ f = (A,B,G_f) $ jossa $ G_f \joukko A \ kertaa B $sellainen, että

• (a) jos $ (x,y) $ ja $ (x,y’) \in G_f $ niin $ y=y’ $, ja
• (b) projektio $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

Ehto (a) ilmaisee, että $f$ on yksiarvoinen. jaehto (b), että se on määritelty $A$:lle.

$A$ on domain, $B$ on codomain ja $G_f$ on kuvaajan kuvaaja. Näin ollen tässä asetelmassa kartoitukset ovat yhtäläisiä, jos ja vain jos kaikki kolme vastaavaa komponenttia (domain, codomain ja graafi) ovat yhtäläisiä.
Kartoitusta merkitään tavallisesti $ f : A \to B $, ja $ a \mapsto f(a) $ jossa $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ on $f$:n arvo $a$:ssa.

Jos kaksi kuvausta $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ ja $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ täyttävät

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \ osajoukko B_2 $ ja $ G_1 \ osajoukko G_2 $

tällöin $f_2$ kutsutaan $ f_1 $:n laajennukseksi ja $ f_1 $:n rajoitukseksi $f_2$:lle.Tällöin $ f_1 $ merkitään usein $ f_2 \vert A_1 $ ja selvästi $ f_1 (a) = f_2 (a) $ pätee kaikille $ a \in A_1 $.

Merkintä:
Joskus funktion esittämiseen käytetään vain kuvaajaa $G_f$.Tällöin kaksi kuvaajaa ovat samanarvoisia, jos niillä on sama kuvaaja,ja voidaan sallia kuvaajat, jotka eivät ole joukkoja vaan luokkia.
Vaikka funktion toimialue saadaan ensimmäisen komponentin projisointina $ \pi_1 (G_f) $, toisen komponentin projisointi $ \pi_2 (G_f) $ ei tuota koodialuetta vaan ainoastaan toimialueen kuvan.Näin ollen surjektiivisuuden käsitettä ei voida soveltaa.

Kompositio

Kaksi kuvausta voidaan komposioida, jos toisen kuvauksen codomain on toisen kuvauksen domainin osajoukko:

Jos $ f=(A,B,G_f) $ ja $ g=(C,D,G_g) $, jossa $ B \ osajoukko C $, kompositio $ g \circ f $ on kartoitus $ (A,D,G) $, jossa

$ G := \{ (a,g(f(a)))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Huomautuksia:
(a) Ehto $ B \joukko C $ voidaan lieventää muotoon $ f(A) \joukko C $.
(b) Jos käytetään vain graafeja, niin koostumuksen graafi määritellään (kuten edellä) seuraavasti

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

mutta voi osoittautua tyhjäksi.

Indusoidut kuvaajat

Jokainen kuvaaja $ f : A \to B $ indusoi kaksi kuvaajaa potenssijoukkojen $\P(A)$ ja $\P(B)$ välillä.

$ f_\ast : \P(A) \to \P(B) $ määritellään seuraavasti: $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ for $ S \subset A $

ja

$ f^\ast : \P(B) \to \P(A) $ määritellään seuraavasti: $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \ in T \}$ for $ T \ osajoukko B $

$ f_\ast (S) $ kutsutaan $S$:n kuvaksi $f$:n alaisuudessa, ja sitä merkitään tavallisesti $f(S)$:llä, ja $ f^\ast (T) $ kutsutaan $T$:n käänteiskuvaksi $f$:n alaisuudessa, ja sitä merkitään tavallisesti $f^{-1}(T)$:llä, mutta on tiedostettava, että nämä yleiset merkinnät voivat olla epäselviä tietyissä tilanteissa.