On olemassa kaksi peruskaavaa, jotka me jo tunnemme:
1) Yhteensä = n(Ei joukkoa) + n(Tasan yksi joukko) + n(Tasan kaksi joukkoa) + n(Tasan kolme joukkoa)

2) Yhteensä = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ja B) – n(B ja C) – n(C ja A) – n(C ja A) + n(A ja B ja C) + n(Ei joukkuetta)

Näistä kahdesta kaavasta pystymme päättelemään kaikki muutkin.

n(Täsmälleen yksi joukko) + n(Täsmälleen kaksi joukkoa) + n(Täsmälleen kolme joukkoa) antaa meille n(Vähintään yksi joukko). Saamme siis:

3) Yhteensä = n(Ei joukkoa) + n(Vähintään yksi joukko)

Laskemalla (3) saadaan n(Vähintään yksi joukko) = Yhteensä – n(Ei joukkoa)

Pistämällä tämä (2):een saadaan:

4) n(Vähintään yksi joukko) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ja B) – n(B ja C) – n(B ja C) – n(C ja A) + n(A ja B ja C)

Katsotaan nyt, miten voimme laskea täsmälleen kahdessa joukossa olevien henkilöiden määrän. Siihen on syy, miksi hyppäsimme n(täsmälleen kaksi joukkoa) sen sijaan, että olisimme seuranneet loogisempaa seuraavaa vaihetta n(vähintään kaksi joukkoa) laskemisesta – on intuitiivisempaa saada n(vähintään kaksi joukkoa) sen jälkeen, kun olemme löytäneet n(täsmälleen kaksi joukkoa).

n(A ja B) sisältää ihmiset, jotka ovat sekä A:ssa että B:ssä, ja se sisältää myös ihmiset, jotka ovat A:ssa, B:ssä ja C:ssä. Tämän vuoksi meidän pitäisi irrottaa n(A:sta ja B:stä) n(A:sta ja B:stä ja C:stä) saadaksemme tulokseksi n(A:sta ja B:stä vain). Vastaavasti saadaan n(vain B ja C) ja n(vain C ja A), joten laskemalla nämä kolme yhteen saamme täsmälleen kahdessa joukossa olevien henkilöiden lukumäärän.

n(täsmälleen kaksi joukkoa) = n(A ja B) – n(A ja B ja C) + n(B ja C) – n(A ja B ja C) + n(C ja A) – n(A ja B ja C). Siis:

5) n(Täsmälleen kaksi joukkoa) = n(A ja B) + n(B ja C) + n(C ja A) + n(C ja A) – 3*n(A ja B ja C)

Nyt saadaan helposti n(Vähintään kaksi joukkoa):

6) n(Vähintään kaksi joukkoa) = n(A ja B) + n(B ja C) + n(C ja A) + n(C ja A) – 2*n(A ja B ja C)

Tämä on vain n(A ja B ja C) enemmän kuin n(Tasan kaksi joukkoa). Eikö tuossa olekin järkeä? Tässä otetaan mukaan ihmiset, jotka ovat kerran kaikissa kolmessa joukossa, ja n(Tarkalleen kaksi joukkoa) muuttuu n(Vähintään kaksi joukkoa):ksi!!!

Nyt jatketaan etsimällä n(Tarkalleen yksi joukko). Vähennetään n(Vähintään yksi joukko):sta n(Vähintään kaksi joukkoa); ts. vähennetään (6) kohdasta (4)

n(Tarkalleen yksi joukko) = n(Vähintään yksi joukko) – n(Vähintään kaksi joukkoa), siis:

7) n(Täsmälleen yksi joukko) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A ja B) – 2*n(B ja C) – 2*n(C ja A) – 2*n(C ja A) + 3*n(A ja B ja C)

Et tarvitse opetella kaikkia näitä kaavoja. Keskity vain kahteen ensimmäiseen ja tiedä, miten pääset tarvittaessa muihin. Kokeillaan tätä esimerkkitehtävässä:

Haastatelluista 250 katsojasta, jotka katsovat vähintään yhtä kolmesta TV-kanavasta eli A, B &C. 116 katsoo A:ta, 127 katsoo C:tä, kun taas 107 katsoo B:tä. Jos 50 katsoo tasan kahta kanavaa. Kuinka moni katsoo tasan yhtä kanavaa?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

On annettu, että: + 50 + n(Täsmälleen 3 kanavaa)

Etsitään n(Täsmälleen 3 kanavaa) = x

Tiedämme myös, että n(Vähintään yksi kanava) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ja B) – n(B ja C) – n(B ja C) – n(C ja A) + n(A ja B ja C) = 250

Seuraavasti, n(Tarkalleen kaksi kanavaa) = n(A ja B) + n(B ja C) + n(C ja A) – 3*n(A ja B ja C)

Siten n(A ja B) + n(B ja C) + n(C ja A) = n(Tarkalleen kaksi kanavaa) + 3*n(A ja B ja C)

Pistetään tämä yllä olevaan yhtälöön:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Tasan kaksi kanavaa) – 3*x + x