OngelmaEdit

Poincarén arvelu, jonka ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré esitti vuonna 1904, oli yksi topologian keskeisistä ongelmista. Mikä tahansa silmukka kolmiulotteisella pallolla – esimerkkinä pistejoukko, jonka etäisyys origosta on 1 neliulotteisessa euklidisessa avaruudessa – voidaan supistaa pisteeksi. Poincarén olettamus väittää, että mikä tahansa suljettu kolmiulotteinen moninaisuus, jossa mikä tahansa silmukka voidaan supistaa pisteeksi, on topologisesti 3-pallo. Vastaavan tuloksen on tiedetty pitävän paikkansa suuremmissa tai yhtä suurissa ulottuvuuksissa kuin viisi jo vuodesta 1960 lähtien, kuten Stephen Smalen teoksessa. Neliulotteinen tapaus kesti kauemmin, ja Michael Freedman ratkaisi sen lopulta vuonna 1982. Kolmiulotteisten monikulmioiden tapaus osoittautui kuitenkin kaikkein vaikeimmaksi. Karkeasti sanottuna tämä johtuu siitä, että topologisesti manipuloitaessa kolmiulotteista moninaisuutta on liian vähän ulottuvuuksia, jotta ”ongelmallisia alueita” voitaisiin siirtää pois tieltä häiritsemättä jotain muuta. Perusteellisimman panoksen kolmiulotteiseen tapaukseen oli antanut Richard S. Hamilton. Perelmanin tehtävänä oli täydentää Hamiltonin ohjelmaa.

Perelmanin todistus Muokkaa

Marraskuussa 2002 Perelman postitti arXiviin ensimmäisen kolmesta esiprintistä, joissa hän väitti hahmotelleensa todisteen geometrisointiepäilylle, jonka erityistapaus Poincaré-epäily on. Tätä seurasi kaksi muuta preprinttiä vuonna 2003.

Perelman muokkasi Richard S. Hamiltonin ohjelmaa konjektuurin todistamiseksi. Keskeinen idea on Ricci-virran käsite. Hamiltonin perusidea on muotoilla ”dynaaminen prosessi”, jossa tietty kolmiulotteinen moninaisuus vääristyy geometrisesti, ja vääristymisprosessia hallitsee lämpöyhtälöä analoginen differentiaaliyhtälö. Lämpöyhtälö (joka paljon aikaisemmin motivoi Riemannin esittämään Riemannin hypoteesin zeta-funktion nollakohdista) kuvaa skalaaristen suureiden, kuten lämpötilan, käyttäytymistä. Se varmistaa, että kohonneen lämpötilan pitoisuudet leviävät, kunnes koko kohteessa saavutetaan tasainen lämpötila. Vastaavasti Ricci-virtaus kuvaa tensoriaalisen suureen, Ricci-käyristystensorin, käyttäytymistä. Hamiltonin toiveena oli, että Ricci-virtauksessa suuren kaarevuuden keskittymät levittäytyisivät, kunnes koko kolmiulotteisessa kokonaisuudessa saavutetaan yhtenäinen kaarevuus. Jos näin on, jos lähdetään liikkeelle mistä tahansa kolmoismanifoldista ja annetaan Ricci-virtauksen tapahtua, pitäisi periaatteessa lopulta saada aikaan eräänlainen ”normaalimuoto”. William Thurstonin mukaan tämän normaalimuodon on oltava jokin pienestä määrästä mahdollisuuksia, joilla kullakin on erilainen geometria, joita kutsutaan Thurstonin malligeometrioiksi.

Liukuvasti kuitenkin odotettiin, että prosessin etenemistä haittaisi ”singulariteettien” kehittyminen. Hamilton edistyi 1990-luvulla ymmärtämään mahdollisia singulariteettityyppejä, joita voi esiintyä, mutta ei kyennyt antamaan kattavaa kuvausta. Perelmanin artikkeleissa hahmoteltiin ratkaisua. Perelmanin mukaan jokainen singulariteetti näyttää joko akselilleen luhistuvalta sylinteriltä tai keskipisteelleen luhistuvalta pallolta. Tämän ymmärryksen avulla hän pystyi rakentamaan tavanomaisen Ricci-virtauksen muunnoksen, jota kutsutaan Ricci-virtaukseksi leikkauksen kanssa ja jolla voidaan järjestelmällisesti ja hallitusti poistaa singulaarisia alueita niiden kehittyessä. Ajatus leikkaavasta Ricci-virtauksesta oli ollut olemassa Hamiltonin vuonna 1993 ilmestyneestä artikkelista lähtien, ja Hamilton oli toteuttanut sen onnistuneesti vuonna 1997 korkeampiulotteisissa tiloissa tietyin rajoitetuin geometrisin ehdoin. Perelmanin leikkausmenettely oli pääpiirteissään samankaltainen kuin Hamiltonin, mutta teknisesti silmiinpistävän erilainen.

Perelman osoitti, että mikä tahansa singulariteetti, joka kehittyy äärellisessä ajassa, on pohjimmiltaan ”nipistämistä” tiettyjä palloja pitkin, jotka vastaavat 3-mannofoldin primaarista dekompositiota. Lisäksi kaikki ”äärettömässä ajassa” esiintyvät singulariteetit johtuvat tietyistä JSJ-dekomposition kokoonpuristuvista kappaleista. Perelmanin työ todistaa tämän väitteen ja näin ollen todistaa geometrisointiehdotuksen.

Kolmen paperin sisältö on tiivistetty alla:

• Ensimmäinen preprintti, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, tarjoaa monia uusia tekniikoita Ricci-virran tutkimukseen, jonka päätulos on teoreema, joka antaa kvantitatiivisen luonnehdinnan virran korkeakurvatuurisilla alueilla.
• Toisessa esipainoksessa, Ricci flow with surgery on three-manifolds, korjataan joitakin virheellisiä väitteitä ensimmäisestä paperista ja täydennetään joitakin yksityiskohtia, ja käytetään ensimmäisen paperin päätulosta kirurgiamenettelyn määräämiseen. Paperin toinen puolisko on omistettu sellaisten Ricci-virtojen analyysille, jotka ovat olemassa äärettömän kauan.
• Kolmas esipainos, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, tarjoaa oikotien Poincaré-evankeliumin todistukseen, joka välttää toisen esipainoksen toisen puoliskon väitteet. Se osoittaa, että missä tahansa Poincaré-evidenssin oletukset täyttävässä avaruudessa Ricci-virtaus leikkauksineen on olemassa vain äärellisen ajan, joten Ricci-virtauksen äärettömän ajan analyysi on merkityksetön.

Tobias Colding ja William Minicozzi II ovat esittäneet täysin vaihtoehtoisen argumentin Perelmanin kolmannelle preprintille. Heidän argumenttinsa on erityisen yksinkertainen, kun otetaan huomioon joidenkin 1980-luvulla kehitettyjen hienostuneiden geometristen mittateoreettisten argumenttien edellytys.

VerificationEdit

Perelmanin preprintit saivat nopeasti matemaattisen yhteisön huomion, vaikka niitä pidettiin yleisesti vaikeasti ymmärrettävinä, koska ne oli kirjoitettu jokseenkin suppeasti. Akateemisissa matemaattisissa julkaisuissa tavanomaisen tyylin vastaisesti monet tekniset yksityiskohdat oli jätetty pois. Pian kävi ilmi, että Perelman oli antanut merkittävän panoksen Ricci-virtauksen perusteisiin, vaikka matemaattiselle yhteisölle ei ollutkaan heti selvää, että nämä panokset riittäisivät geometrisoitumiskonjektuurin tai Poincaré-konjektuurin todistamiseen.

Huhtikuussa 2003 Perelman vieraili Massachusetts Institute of Technologyssä, Princetonin yliopistossa, Stony Brookin yliopistossa, Columbian yliopistossa ja New Yorkin yliopistossa pitääkseen lyhyen luentosarjan työstään ja selventääkseen joitakin yksityiskohtia asianomaisten alojen asiantuntijoille.

Kesäkuussa 2003 Bruce Kleiner ja John Lott, jotka molemmat olivat tuolloin Michiganin yliopistossa, julkaisivat Lottin verkkosivulla muistiinpanoja, joissa osio kerrallaan täydennettiin monia yksityiskohtia, jotka sisältyivät Perelmanin ensimmäiseen ennakkopainokseen. Syyskuussa 2004 heidän muistiinpanojaan päivitettiin niin, että ne sisälsivät Perelmanin toisen esipainoksen. Lisätarkistusten ja -korjausten jälkeen he julkaisivat 25. toukokuuta 2006 arXiviin version, jonka muokattu versio julkaistiin akateemisessa Geometry & Topology -lehdessä vuonna 2008. Vuoden 2006 kansainvälisessä matemaatikkojen kongressissa Lott sanoi: ”Perelmanin työn tutkiminen on vienyt meiltä aikaa. Tämä johtuu osittain Perelmanin työn omaperäisyydestä ja osittain hänen argumenttiensa teknisestä hienostuneisuudesta. Kaikki viittaa siihen, että hänen väitteensä ovat oikeita.” Artikkelinsa johdannossa Kleiner ja Lott selittivät

Perelmanin todistukset ovat ytimekkäitä ja toisinaan summittaisia. Näiden muistiinpanojen tarkoituksena on tarjota yksityiskohtia, jotka puuttuvat …. Todistusten osalta, sisältävät joitakin virheellisiä väitteitä ja epätäydellisiä argumentteja, jotka olemme pyrkineet osoittamaan lukijalle. (Osa virheistä teoksessa korjattiin teoksessa .) Emme löytäneet yhtään vakavaa ongelmaa eli ongelmaa, jota ei voisi korjata Perelmanin esittelemillä menetelmillä.

Kesäkuussa 2006 Asian Journal of Mathematics -lehdessä julkaistiin Kiinan Sun Yat-sen -yliopistossa toimivan Zhu Xipingin ja Pennsylvanian Lehigh-yliopistossa toimivan Huai-Dong Caon artikkeli, jossa esitettiin kattava kuvaus Perelmanin todisteista Poincaré- ja geometrioitumiskonjektuureista. Toisin kuin Kleinerin ja Lottin artikkeli, joka oli rakennettu kokoelmaksi huomautuksia Perelmanin kirjoituksiin, Caon ja Zhun artikkeli oli suunnattu suoraan Poincaré- ja geometrisointiepäilyjen todistusten selittämiseen. Johdannossaan he selittävät

Tässä artikkelissa esitellään Hamilton-Perelmanin teoria Ricci-virtauksesta. Sen perusteella esitämme ensimmäisen kirjallisen selostuksen Poincaré-epäilyn ja Thurstonin geometriaväittämän täydellisestä todistuksesta. Vaikka koko teos on monien geometristen analyytikkojen yhteenlaskettu ponnistus, tärkeimmät tekijät ovat kiistatta Hamilton ja Perelman. Tässä artikkelissa esitämme täydelliset ja yksityiskohtaiset todistukset erityisesti Perelmanin toisessa artikkelissa esitetystä työstä, jossa monet todistusten keskeiset ideat on hahmoteltu tai hahmoteltu, mutta todistusten täydelliset yksityiskohdat puuttuvat usein. Kuten aiemmin totesimme, joudumme korvaamaan useita Perelmanin keskeisiä väitteitä uusilla, tutkimukseemme perustuvilla lähestymistavoilla, koska emme kyenneet ymmärtämään näitä Perelmanin alkuperäisiä väitteitä, jotka ovat välttämättömiä geometrisen ohjelman loppuunsaattamisen kannalta.

Heinäkuussa 2006 John Morgan Columbian yliopistosta ja Gang Tian Massachusettsin teknologiainstituutista lähettivät arXiviin artikkelin, jossa he esittivät yksityiskohtaisesti Perelmanin todistuksen Poincaré-epäilylle. Toisin kuin Kleiner-Lottin ja Cao-Zhun esityksissä, Morganin ja Tianin esityksessä käsitellään myös Perelmanin kolmatta paperia. Morgan piti 24. elokuuta 2006 Madridin ICM:ssä luennon Poincaré-epäilystä, jossa hän ilmoitti, että Perelmanin työ oli ”tarkistettu perusteellisesti”. Vuonna 2008 Morgan ja Tian julkaisivat paperin, jossa käsiteltiin geometrisointiepäilyn todistuksen yksityiskohtia. Morganin ja Tianin kaksi artikkelia on julkaistu kirjana Clay Mathematics Instituten toimesta.

Todistusten tarkistuksetMuutos

Kaikki kolme edellä esitettyä paljastusta on tarkistettu julkaisun jälkeen. Kleiner-Lottin ja Morgan-Tianin ekspositioissa havaittiin virheitä (jotka eivät vaikuttaneet suureen laajuuteen), kun taas Cao-Zhun ekspositio herätti kritiikkiä muotoilusta ja attribuutiovirheestä.

Julkaisemisen jälkeen Kleinerin ja Lottin artikkelia on jälkikäteen tarkistettu kahteen kertaan oikaisujen vuoksi, kuten virheellisen lausuman vuoksi Hamiltonin tärkeästä ”kompaktiuslauseen teoreemasta” Ricci-virtaukselle. Viimeisin tarkistus heidän artikkeliinsa tehtiin vuonna 2013. Vuonna 2015 Abbas Bahri huomautti Morganin ja Tianin ekspositiossa olevasta virheestä, jonka Morgan ja Tian myöhemmin korjasivat ja joka johtui perustavanlaatuisesta laskennallisesta virheestä.

Caon ja Zhun artikkeli sai osakseen kritiikkiä joiltakin osin matemaattista yhteisöä heidän sanavalinnoistaan, joiden jotkut tarkkailijat tulkitsivat vaativan liikaa kunniaa itselleen. Kritiikin kohteeksi nostettiin erityisesti sanan ”application” käyttö otsikossa ”A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” ja abstraktissa oleva lause ”This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow”. Kun Perelmanilta kysyttiin asiasta, hän sanoi, että Cao ja Zhu eivät olleet antaneet mitään omaperäistä ja että he olivat vain muokanneet hänen todistustaan, koska he ”eivät oikein ymmärtäneet väitettä”. Lisäksi yksi Caon ja Zhun artikkelin sivuista oli olennaisesti identtinen Kleinerin ja Lottin vuoden 2003 kirjoituksen sivun kanssa. Julkaisemassaan oikaisussa Cao ja Zhu selittivät tämän huolimattomuudella ja sanoivat, että vuonna 2003 he olivat ottaneet muistiin muistiinpanoja Kleinerin ja Lottin muistiinpanojen alkuperäisestä versiosta, eivätkä vuoden 2006 kirjoituksessaan olleet huomanneet muistiinpanojen oikeaa lähdettä. He lähettivät tarkistetun version arXiviin, jossa on tarkistuksia heidän muotoiluunsa ja todistuksen asianomaiseen sivuun.

Nykyiset näkemyksetMuutos

Vuonna 2020 on edelleen joitakin matemaatikkoja, jotka eivät hyväksy, että Poincaré- ja geometrisointiehdotukset on todistettu, vaikka yleisesti tunnustetaan, että Perelman teki valtavia edistysaskeleita Ricci-virtauksen teoriassa. Näiden tarkkailijoiden kannalta hankalat todistuksen osat ovat Perelmanin toisen esipainoksen jälkipuoliskolla. Esimerkiksi Fields-mitalisti Shing-Tung Yau sanoi vuonna 2019, että

Vaikka tämän sanominen saattaa olla harhaoppisuutta, en ole varma, että todistus on täysin lyöty lukkoon. Olen vakuuttunut, kuten olen sanonut monta kertaa aiemminkin, että Perelman teki loistavaa työtä koskien singulariteettien muodostumista ja rakennetta kolmiulotteisissa tiloissa – työtä, joka todellakin oli hänelle myönnetyn Fields-mitalin arvoinen. Tästä minulla ei ole epäilystäkään Asia on niin, että Ricci-virtauksen asiantuntijoita on hyvin vähän, enkä ole vielä tavannut ketään, joka väittäisi ymmärtävänsä täydellisesti Perelmanin todistuksen viimeisen, vaikeimman osan Tietääkseni kukaan ei ole ottanut käyttöön joitakin Perelmanin paperinsa lopussa esittelemiä tekniikoita ja käyttänyt niitä menestyksekkäästi minkään muun merkittävän ongelman ratkaisemiseen. Tämä viittaa minusta siihen, että muutkaan matemaatikot eivät vielä täysin hallitse tätä työtä ja sen menetelmiä.

Kun taas Millennium-palkinto myönnettiin Perelmanille ”Poincaré-epäilyn ratkaisusta” vuonna 2010, Fields-mitalisti Simon Donaldson sanoi eräässä palkinnon kiitospuheessa

Sitä lähtien, kun Poincaré- ja Geometrisaatio-epäilyjä koskevat esiprintit ilmestyivät, matemaatikot ympäri maailmaa ovat yksimielisesti ilmaisseet arvostuksensa, kunnioituksensa ja ihmetyksensä hänen poikkeuksellista saavutustaan kohtaan, ja uskon, että puhun tässä koko älymystöyhteisömme edustajana. Se ratkaisee erinomaisen, vuosisatoja vanhan ongelman.