Määrittelen N:n funktion s ja määrittelen sen kaikkien positiivisten kokonaislukujen positiivisten kokonaislukujen kokonaislukujen, mukaan lukien n mukaan lukien n mukaan lukien, summaksi summaksi. positiiviset kokonaisluvut, ja sen on oltava positiivinen kokonaisluku, joten voimme kokeilla sitä muutamilla asioilla. Voisimme ottaa s:n arvoksi 3, joka on yhtä suuri kuin 1 plus 2 plus 3, joka on yhtä suuri kuin 6. Voisimme ottaa s:n arvoksi 4, joka on yhtä suuri kuin 1 plus 2 plus 3 plus 4, joka on yhtä suuri kuin 10. Tämä on siis melko suoraviivaista. on todistaa teille, ja on itse asiassa useita tapoja todistaa tämä, että voin kirjoittaa tämän n:n funktiona, että kaikkien positiivisten kokonaislukujen summa n:ään asti on yhtä suuri kuin n kertaa n plus 1, kaikki yli 2, ja tapa, jolla aion todistaa sen teille, on induktiolla. induktiolla se on tavallaan mielenkiintoinen filosofinen tapa todistaa jotakin, koska induktiotodistus tehdään siten, että ensin todistetaan perustapaus, eli tässä tapauksessa tämä funktio, tämä lauseke tässä, eli tämä on se, mitä meidän täytyy todistaa, tässä tapauksessa todistamme ensin sen 4-1, joka on perustapauksemme, ja sitten teemme induktiovaiheen induktiovaiheen, joka tarkoittaa lähinnä sitä, että jos oletamme, että se toimii jollekin positiiviselle kokonaisluvulle K, että jos oletamme, että se toimii seuraavalle positiiviselle kokonaisluvulle, että se toimii seuraavalle positiiviselle kokonaisluvulle. K plus 1:lle, ja syy miksi tämä toimii, on se, että todistamme, että jos todistamme molemmat, niin perustapauksessa todistamme, että se toimii, tässä tapauksessa todistamme, että se toimii 1:lle, todistamme, että se toimii 1:lle, mutta sen ei aina tarvitse olla 1, koska se voi olla sinun, se voi olla sinun, se voi olla, että tämä pätee kaikkeen. yli 55 tai kaikki yli jonkin raja-arvon, mutta tässä tapauksessa sanomme, että se on totta kaikille positiivisille kokonaisluvuille, joten perustapauksemme on 4 1, ja sitten seuraavassa F:ssä yritämme todistaa, että jos oletetaan, että jos oletetaan, että 4, jos oletetaan, että tämä on totta osalle K:sta, jos oletetaan, että niin se on totta joillekin K plus 1:lle, ja syy siihen, miksi tämän todistamiseksi kaikille positiivisille kokonaisluvuille ei tarvitse tehdä muuta kuin kuvitella, että ajatellaan kaikkia positiivisia kokonaislukuja tässä 1 2 3 4 5 6. Tätä voisi jatkaa loputtomiin, joten todistamme sen 4-1 todistamme, että tämä kaava tässä, tämä lauseke pätee tapauksessa 1, kun n on 1, ja sitten todistamme, että jos tiedämme, että se on totta jollekin tietylle K:lle, se on totta myös seuraavalle K:lle, joten jos tiedämme, että se on totta perustapauksessamme 1, niin toinen vaihe, tämä induktiovaihe, sanoo, että sen täytyy olla totta myös 2:lle, koska olemme todistaneet, että jos se on totta K:lla, se on totta myös K plus K:lle. 1. Jos se on totta 2:lle, sen täytyy olla totta 3:lle, koska olemme todistaneet, että jos se on totta K:lle, se on totta K plus 1:lle, joten jos se on totta 2:lle, se on totta 3:lle, ja jos se on totta 3:lle, sen täytyy olla totta myös 4:lle, ja tätä voi jatkaa loputtomiin, mikä tarkoittaa, että se on totta kaikelle, nyt kun puhutaan yleisistä yleisistä lauseista, todistetaan tämä induktiolla. summa, tehdään tämä funktio 1:lle, ja se on vain kaikkien positiivisten kokonaislukujen summa, mukaan lukien 1. Se on kirjaimellisesti 1. Olemme juuri laskeneet ne kaikki yhteen, se on vain 1. Ei ole mitään muuta positiivista kokonaislukua 1:een asti, ja voimme todistaa, että tämä on sama asia kuin 1 kertaa 1 plus 1. Kaikki tämä on yli 2. 1 plus 1 on 2. 2 jaettuna 2:lla on 2. 1 jaettuna 2:lla on 1. 1 kertaa 1 on 1. Joten tämä kaava tässä, tämä lauseke, se toimi… se toimi 1:lle, joten olemme todistaneet, että olemme todistaneet perustapauksemme, olemme todistaneet sen 1:lle, nyt haluan olettaa, että se toimii jollekin luvulle jollekin luvulle K, joten oletan, että se on totta jollekin luvulle K, joten oletan, että jollekin luvulle K tämä funktio K:n kohdalla on yhtä suuri kuin K kertaa k plus 1 yli 2, joten oletan, että tämä on totta sille. haluan miettiä, mitä tapahtuu, kun yritän löytää, kun yritän löytää tämän funktion funktiolle k plus 1, joten oletan, että tiedän tämän, joten yritetään nyt tehdä se funktiolle k plus 1. Mikä on siis kaikkien kokonaislukujen summa k plus 1 mukaan lukien ja k plus 1 mukaan lukien ja k plus 1 mukaan lukien, ja tämä on siis 1 plus 2 plus 3 plus aina k plus k plus k plus 1:een asti. mukaan lukien k plus 1. Oletamme, että tiedämme jo, mikä tämä on, oletamme, että meillä on jo kaava tälle, oletamme, että tämä yksinkertaistuu muotoon k kertaa k plus 1 yli 2 tai oletamme, että tiedämme sen, joten otamme tämän osan ja lisäämme sen k plus 1:een, joten lisäämme sen k plus 1:een, tuohon k plus 1:een, lisäämme sen k plus 1:een, ja jos löydämme yhteisen nimittäjän, jos löydämme kommentin kommentti yhteinen nimittäjä on 2, joten tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on yhtä suuri kuin tämä on sama kuin tämä on sama kuin tämä on sama kuin tämä on sama kuin tämä on sama kuin tämä. kirjoitan tämän eri värillä tänne, joten meillä on K kertaa k plus 1 plus 2 kertaa k plus 1. Nyt tässä vaiheessa voitte laskea kertoimen k plus 1. Molemmat termit ovat jaollisia K plus 1:llä, joten laske tämä kertoimella, jos laske k plus 1, saatte k plus 1, k plus 1 kertaa. värikoodaan ne, jotta tiedätte mitä teen, joten tämä 2 on tämä 2 tuolla ja tämä K tämä K tämä K on tämä K on tämä K tuolla, me faktoroimme nämä k plus kerran, me faktoroimme sen noin 2 tämä k plus 1 tuolla, ja se tulee olemaan kaikki tämä kaikki tämä kaikki tämä yli 2 nyt voimme kirjoittaa tämän uudelleen tämä on sama asia tämä on sama asia tämä on sama asia kuin tämä on sama asia kuin tämä on sama asia kuin k plus 1 se on tämä osa tuolla oikealla kertaa k plus 1 k plus 1 plus 1 oikein tämä on selvästi sama asia kuin k plus 2 kaikki tämä yli kaikki tämä yli kaikki tämä yli 2 Miksi tämä kiinnostaa meitä? Olemme juuri todistaneet sen, jos oletamme, että tämä on totta, jos oletamme, että tämä on totta, ja jos käytämme tuota oletusta, saamme, että kaikkien positiivisten kokonaislukujen summa k plus 1:een asti ja se mukaan lukien on on yhtä suuri kuin k plus 1 kertaa k plus 1 kertaa k plus 1 plus 1 yli 2. Näytämme, että alkuperäinen kaava pätee myös k plus 1:lle, jos otamme k plus 1:n ja laitamme sen n:lle, saamme täsmälleen saman tuloksen. todistimme, että olemme todistaneet perustapauksemme tämä tämä tämä tämä lauseke toimi kaikkien positiivisten kokonaislukujen summalle 1:een asti, ja se toimii myös, jos oletamme, että se toimii kaikelle k:hon asti tai jos oletamme, että se toimii kokonaisluvulle k, se toimii myös luvulle kokonaislukuun k plus 1 ja olemme valmiit, siinä on todisteemme ystävä induktiolla, joka todistaa meille, että se toimii kaikille positiivisille kokonaisluvuille, miksi se on niin, että olemme todistaneet sen luvulle 1 ja olemme todistaneet sen, että jos se toimii jollekin kokonaisluvulle, se toimii myös seuraavalle kokonaisluvulle, jos voimme olettaa sen toimivan. jollekin kokonaisluvulle, se toimii seuraavalle kokonaisluvulle, joten jos oletetaan, että se toimii yhdelle, se voi toimia kahdelle. Olemme jo todistaneet, että se toimii yhdelle, joten voimme olettaa, että se toimii yhdelle, joten se toimii varmasti kahdelle, joten saamme kaksi tarkistettua, mutta koska voimme olettaa, että se toimi että se toimii kahdelle, voimme nyt olettaa sen toimivan kolmelle. Jos se toimii kolmelle, olemme todistaneet, että se toimii neljälle. Huomaattehan, että tämä induktiovaihe on kuin domino, ja se on kuin kaskadi, ja voimme jatkaa sitä loputtomiin, joten se todella toimii kaikille positiivisille kokonaisluvuille.