Diracin yhtälö Diracin alun perin ehdottamassa muodossa on:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}

missä ψ = ψ(x, t) on lepomassan m omaavan elektronin aaltofunktio avaruusaikakoordinaateissa x, t. P1, p2, p3 ovat impulssin komponentteja, jotka ymmärretään Schrödingerin yhtälön impulssioperaattoriksi. Lisäksi c on valon nopeus ja ħ on pelkistetty Planckin vakio. Nämä fysikaaliset perusvakiot heijastavat vastaavasti erityistä suhteellisuusteoriaa ja kvanttimekaniikkaa.

Diracin tarkoituksena oli tämän yhtälön heittämisellä selittää relativistisesti liikkuvan elektronin käyttäytyminen ja siten mahdollistaa atomin käsittely suhteellisuusteorian mukaisella tavalla. Hänen varsin vaatimaton toiveensa oli, että näin tehdyillä korjauksilla voisi olla merkitystä atomispektrien ongelman ratkaisemisessa.

Siihen asti yritykset saada vanha atomien kvanttiteoria yhteensopivaksi suhteellisuusteorian kanssa, yritykset, jotka perustuivat elektronin mahdollisesti ei-ympyränmuotoiselle kiertoradalle atomiytimen ympärille varastoituneen kulmavoiman diskretisoimiseen, olivat epäonnistuneet – eikä Heisenbergin, Paulin, Jordanin, Schrödingerin eikä Diracin oma uusi kvanttimekaniikka ollut vielä kehittynyt riittävästi käsittelemään tätä ongelmaa. Vaikka Diracin alkuperäiset aikomukset täyttyivät, hänen yhtälöllään oli paljon syvällisempiä vaikutuksia aineen rakenteeseen ja se esitteli uusia matemaattisia objektiluokkia, jotka ovat nykyään perusfysiikan olennaisia elementtejä.

Uudet elementit tässä yhtälössä ovat neljä 4 × 4 -matriisia α1, α2 , α3 ja β sekä neljän komponentin aaltofunktio ψ. Komponentteja ψ:ssä on neljä, koska sen evaluointi missä tahansa konfiguraatioavaruuden pisteessä on bispinori. Se tulkitaan spin-up-elektronin, spin-down-elektronin, spin-up-positronin ja spin-down-positronin superpositioina (ks. tarkempi keskustelu jäljempänä).

4 × 4 matriisit αk ja β ovat kaikki hermeettisiä ja involuuttisia:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}}

ja ne kaikki ovat toisiaan vastaan:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{j}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}

Näillä matriiseilla ja aaltofunktion muodolla on syvä matemaattinen merkitys. Gammamatriisien edustaman algebrallisen rakenteen oli luonut noin 50 vuotta aikaisemmin englantilainen matemaatikko W. K. Clifford. Cliffordin ideat olivat puolestaan peräisin saksalaisen matemaatikon Hermann Grassmannin 1800-luvun puolivälissä ilmestyneestä teoksesta Lineale Ausdehnungslehre (Lineaaristen laajennusten teoria). Jälkimmäistä teoriaa useimmat hänen aikalaisensa pitivät lähes käsittämättömänä. Jonkin näennäisen abstraktin asian ilmaantuminen näin myöhään ja näin suoraan fysikaalisella tavalla on yksi fysiikan historian merkittävimmistä luvuista.

Yksittäinen symbolinen yhtälö purkautuu näin neljäksi kytketyksi lineaariseksi ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöksi neljälle aaltofunktion muodostavalle suureelle. Yhtälö voidaan kirjoittaa eksplisiittisemmin Planckin yksiköissä seuraavasti:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\\\psi _{2}\\\\\psi _{3}\\\\\\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\\+\psi _{4}\\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\-\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}}}

mikä tekee selvemmäksi, että kyseessä on neljän osittaisdifferentiaaliyhtälön joukko, jossa on neljä tuntematonta funktiota.

Schrödingerin yhtälön muuttaminen relativistiseksiEdit

Diracin yhtälö on pintapuolisesti samanlainen kuin Schrödingerin yhtälö massiiviselle vapaalle hiukkaselle:

– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

Vasemmanpuoleinen osa edustaa impulssioperaattorin neliötä jaettuna kaksinkertaisella massalla, joka on ei-relativistinen liike-energia. Koska suhteellisuusteoria käsittelee avaruutta ja aikaa kokonaisuutena, tämän yhtälön relativistinen yleistys edellyttää, että avaruuden ja ajan derivaatat tulevat symmetrisesti, kuten valon käyttäytymistä säätelevissä Maxwellin yhtälöissä – yhtälöiden on oltava differentiaalisesti samaa järjestystä avaruudessa ja ajassa. Suhteellisuusteoriassa momentti ja energiat ovat avaruusajan vektorin, nelimomentin, avaruus- ja aikaosat, ja ne liittyvät toisiinsa relativistisesti muuttumattomalla suhteella

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}

joka sanoo, että tämän nelivektorin pituus on verrannollinen lepomassaan m. Korvaamalla energian ja impulssin operaattoriekvivalentit Schrödingerin teoriasta saamme Klein-Gordonin yhtälön, joka kuvaa aaltojen etenemistä, joka on rakennettu relativistisesti muuttumattomista kappaleista,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partiaalinen ^{2}}{\partiaalinen t^{2}}{\partiaalinen t^{2}}}+ \nabla ^{2} \right)\phi ={\frac {m^{{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}}}\phi }

joilla aaltofunktio ϕ on relativistinen skalaari: kompleksiluku, jolla on sama lukuarvo kaikissa viitekehyksissä. Avaruus- ja aikaderivaatat tulevat molemmat toisen kertaluvun mukaan. Tällä on ratkaiseva seuraus yhtälön tulkinnan kannalta. Koska yhtälö on aikaderivaatan suhteen toisen kertaluvun yhtälö, on määriteltävä sekä itse aaltofunktion että sen ensimmäisen aikaderivaatan alkuarvot, jotta voidaan ratkaista määrättyjä ongelmia. Koska molemmat voidaan määrittää enemmän tai vähemmän mielivaltaisesti, aaltofunktio ei voi säilyttää aiempaa tehtäväänsä eli määrittää todennäköisyystiheyttä, jolla elektroni löydetään tietyssä liiketilassa. Schrödingerin teoriassa todennäköisyystiheys saadaan positiivisesti määrätyllä lausekkeella

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

ja tämä tiheys konvektoituu todennäköisyysvirtavektorin mukaan

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*}) }

todennäköisyysvirran ja -tiheyden säilyvyyden seuratessa jatkuvuusyhtälöstä:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}

Se, että tiheys on positiivisesti definiittinen ja konvektoituu tämän jatkuvuusyhtälön mukaisesti, merkitsee sitä, että voimme integroida tiheyden tietylle alueelle ja asettaa kokonaissumman 1:ksi, ja tämä ehto säilyy säilymislaissa. Kunnon relativistisessa teoriassa, jossa on todennäköisyystiheysvirta, on myös oltava tämä ominaisuus. Jos nyt haluamme säilyttää konvektoituneen tiheyden käsitteen, meidän on yleistettävä tiheyden ja virran Schrödingerin lauseketta niin, että avaruus- ja aikaderivaatat tulevat jälleen symmetrisesti skalaariaaltofunktioon nähden. Saamme pitää Schrödingerin lausekkeen virralle, mutta meidän on korvattava todennäköisyystiheys symmetrisesti muodostetulla lausekkeella

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*})~.}

josta tulee nyt avaruusajan vektorin 4. komponentti, ja koko todennäköisyyden 4-virtatiheys saa relativistisesti kovariantin lausekkeen

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})~.}

Jatkuvuussuhdeyhtälö on kuten ennenkin. Kaikki on nyt yhteensopivaa suhteellisuusteorian kanssa, mutta huomaamme heti, että tiheyden lauseke ei ole enää positiivisesti määräinen – sekä ψ:n että ∂tψ:n alkuarvot voidaan valita vapaasti, ja tiheys voi siten muuttua negatiiviseksi, mikä on mahdotonta lailliselle todennäköisyystiheydelle. Näin ollen emme voi saada yksinkertaista yleistystä Schrödingerin yhtälölle sillä naiivilla oletuksella, että aaltofunktio on relativistinen skalaari ja yhtälö, jota se tyydyttää, toisen kertaluvun ajassa.

Vaikka se ei olekaan onnistunut relativistinen yleistys Schrödingerin yhtälölle, tämä yhtälö herätetään henkiin kvanttikenttäteorian yhteydessä, jossa se tunnetaan nimellä Klein-Gordonin yhtälö, ja se kuvaa spinittömien hiukkasten kenttää (esim. pii-mesoni tai Higgsin bosoni). Historiallisesti Schrödinger itse päätyi tähän yhtälöön ennen hänen nimeään kantavaa yhtälöä, mutta hylkäsi sen pian. Kvanttikenttäteorian yhteydessä epämääräinen tiheys ymmärretään vastaamaan varaustiheyttä, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen, eikä todennäköisyystiheyttä.

Diracin vallankaappausMuutos

Dirac ajatteli siis kokeilla yhtälöä, joka olisi ensimmäisen kertaluvun yhtälö sekä avaruudessa että ajassa. Voitaisiin esimerkiksi muodollisesti (ts. notaation väärinkäytöllä) ottaa relativistisen energian lausekkeen

E = c p 2 + m 2 c 2, {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}

korvaa p sen operaattoriekvivalentilla, laajenna neliöjuuri äärettömällä sarjalla derivaattaoperaattoreita, aseta ominaisarvo-ongelma ja ratkaise yhtälö sitten muodollisesti iteraatioilla. Useimmat fyysikot eivät juurikaan luottaneet tällaiseen prosessiin, vaikka se olisikin teknisesti mahdollista.

Tarinan mukaan Dirac tuijotti Cambridgessa takkahuoneessa tätä ongelmaa pohtiessaan, kun hän keksi ottaa aalto-operaattorin neliöjuuren näin:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}

Kerrottuamme oikean puolen näemme, että saadaksemme kaikki ristikkäistermit, kuten ∂x∂y, katoamaan, meidän on oletettava

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

mit

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, joka oli juuri tuolloin paneutunut intensiivisesti Heisenbergin matriisimekaniikan perusteiden työstämiseen, ymmärsi heti, että nämä ehdot voivat täyttyä, jos A, B, C ja D ovat matriiseja, mistä seuraa, että aaltofunktiolla on useita komponentteja. Tämä selitti välittömästi kaksikomponenttisten aaltofunktioiden esiintymisen Paulin fenomenologisessa spin-teoriassa, jota siihen asti oli pidetty salaperäisenä, jopa Pauli itse. Tarvitaan kuitenkin vähintään 4 × 4 matriisia, jotta voidaan muodostaa järjestelmä, jolla on vaaditut ominaisuudet – joten aaltofunktiolla oli neljä komponenttia, ei kahta, kuten Pauli-teoriassa, tai yhtä, kuten pelkkä Schrödingerin teoria. Nelikomponenttinen aaltofunktio edustaa fysikaalisissa teorioissa uutta matemaattista objektiluokkaa, joka esiintyy tässä ensimmäistä kertaa.

Voidaan faktoroida näiden matriisien avulla, voidaan nyt kirjoittaa välittömästi yhtälö

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

with κ {\displaystyle \kappa }

määritetään. Soveltamalla jälleen matriisioperaattoria molemmin puolin saadaan ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Ottaen κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={{\tfrac {mc}{{{hbar }}}

havaitsemme, että kaikki aaltofunktion komponentit yksitellen täyttävät relativistisen energia-momenttisuhteen. Näin ollen etsitty yhtälö, joka on ensimmäisen kertaluvun yhtälö sekä avaruudessa että ajassa, on ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}

asetus

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}

ja koska D 2 = β 2 = I 4, {\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}

saamme edellä kirjoitetun Diracin yhtälön.

Kovariantti muoto ja relativistinen invarianssiEdit

Yhtälön relativistisen invarianssin osoittamiseksi on edullista valaa se muotoon, jossa avaruus- ja aikaderivaatat esiintyvät tasavertaisina. Uudet matriisit otetaan käyttöön seuraavasti:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

ja yhtälö saa muodon (muistaen 4 -gamma-kovarianttien komponenttien määritelmän)gradientti ja erityisesti, että ∂0 = 1/c∂t )

joissa on implisiittinen summaus kahdesti toistuvan indeksin μ = 0, 1, 2, 3 arvojen yli ja ∂μ on 4-gradientti. Käytännössä gammamatriisit kirjoitetaan usein Pauli-matriiseista otettujen 2 × 2 -alamatriisien ja 2 × 2 -identiteettimatriisin avulla. Eksplisiittisesti standardiesitys on

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

Kokonaisjärjestelmä tiivistetään käyttäen Minkowskin metriikkaa avaruusajalle muodossa

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}}

jossa suluissa oleva lauseke

{ a , b } = a b + b a {\displaystyle \{{a,b\}=ab+ba}}

merkitsee antikommutaattoria. Nämä ovat Clifford-algebran määritteleviä relaatioita pseudo-ortogonaalisessa 4-ulotteisessa avaruudessa, jolla on metrinen allekirjoitus (+ – – -). Diracin yhtälössä käytetty Clifford-algebra tunnetaan nykyään Diracin algebrana. Vaikka Dirac ei tunnistanut sitä yhtälön muotoilun aikaan, jälkikäteen tarkasteltuna tämän geometrisen algebran käyttöönotto edustaa valtavaa edistysaskelta kvanttiteorian kehityksessä.

Diracin yhtälö voidaan nyt tulkita ominaissuureyhtälöksi, jossa lepomassa on verrannollinen 4-momenttioperaattorin ominaissuureeseen, ja suhteellisuusvakio on valonnopeus:

P o p ψ = m c ψ . {\displaystyle P_{\mathrm {op} \psi =mc\psi ~.}

Käyttö ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {\displaystyle {\partial \!\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} {{=}}\ \ \gamma ^{\mu }\partial _{\mu}}

( ∂ / {\displaystyle {\partial \!\!\!\!\!\!{\big /}}}}

lausutaan ”d-viiva”), Feynmanin viiva-notaation mukaan Diracin yhtälöstä tulee: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0.}

Käytännössä fyysikot käyttävät usein sellaisia mittayksiköitä, että ħ = c = 1, joita kutsutaan luonnollisiksi yksiköiksi. Yhtälö saa tällöin yksinkertaisen muodon

Fundamentaalinen lause sanoo, että jos on annettu kaksi erillistä matriisijoukkoa, jotka molemmat tyydyttävät Clifford-relaatioita, ne liittyvät toisiinsa samankaltaisuustransformaatiolla:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Jos lisäksi matriisit ovat kaikki unitaarisia, kuten Dirac-joukko, niin S itse on unitaarinen;

γ μ ′ = U † γ μ U . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

Muunnos U on yksikäsitteinen absoluuttiarvoltaan absoluuttisen 1:n suuruiseen multiplikatiiviseen tekijään asti. Kuvitellaan nyt, että avaruus- ja aikakoordinaateille sekä derivaattaoperaattoreille on tehty Lorentz-transformaatio, joka muodostaa kovarianssivektorin. Jotta operaattori γμ∂μ pysyisi muuttumattomana, gammojen on muunnuttava keskenään kontravariantiksi vektoriksi avaruusajan indeksinsä suhteen. Nämä uudet gammat täyttävät itse Cliffordin relaatiot Lorentz-muunnoksen ortogonaalisuuden vuoksi. Perusteoremin mukaan voimme korvata uuden joukon vanhalla joukolla, jolle on tehty unitaarinen muunnos. Uudessa kehyksessä, kun muistetaan, että lepomassa on relativistinen skalaari, Diracin yhtälö saa tällöin muodon

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}}

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Jos nyt määritellään muunnettu spinori

ψ ′ = U ψ {\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }

tällöin saamme muunnetun Diracin yhtälön tavalla, joka osoittaa ilmeisen relativistisen invarianssin:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi ^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Jos siis päädymme johonkin gammojen unitääriseen esitykseen, se on lopullinen edellyttäen, että muunnamme spinorin annettua Lorentz-muunnosta vastaavan unitäärisen muunnoksen mukaisesti.

Käytettävien Dirac-matriisien eri esitystavat tuovat esiin tiettyjä näkökohtia Diracin aaltofunktion fysikaalisesta sisällöstä (ks. jäljempänä). Tässä esitetty esitys tunnetaan standardiesityksenä – siinä aaltofunktion kaksi ylempää komponenttia siirtyvät Pauli 2 -spinori-aaltofunktioon pienten energioiden ja valoon nähden pienten nopeuksien rajoissa.

Yllä olevat pohdinnat paljastavat gammojen alkuperän geometriassa, mikä muistuttaa Grassmannin alkuperäistä motivaatiota – ne edustavat yksikkövektoreiden kiinteää perustaa avaruusajassa. Vastaavasti gammojen tuotteet, kuten γμγν, edustavat suunnattuja pintaelementtejä ja niin edelleen. Näin ollen voimme löytää avaruusajan yksikkötilavuuselementin muodon gammojen avulla seuraavasti. Määritelmän mukaan se on

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β β γ μ γ ν γ α γ β . {\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^\mu ^\gamma ^\nu ^\gamma ^\alpha \gamma ^\beta.}

Jotta tämä olisi invariantti, epsilon-symbolin on oltava tensori, joten sen on sisällettävä tekijä √g, jossa g on metrisen tensorin determinantti. Koska tämä on negatiivinen, tuo tekijä on imaginaarinen. Näin ollen

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Tälle matriisille annetaan erikoismerkki γ5, johtuen sen merkityksestä, kun tarkastellaan epäsuotuisia muunnoksia avaruus-ajassa eli sellaisia, jotka muuttavat perusvektoreiden suuntausta. Vakioesityksessä se on

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Tämän matriisin havaitaan myös olevan antikommutoiva neljän muun Dirac-matriisin kanssa:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}

Se on johtavassa roolissa, kun esiin nousee pariteettikysymyksiä, koska tilavuusalkio suunnattuna suureena vaihtaa merkkiä aika-avaruusheijastuksessa. Positiivisen neliöjuuren ottaminen edellä on siis yhtä kuin avaruusajan kätisyyskonvention valitseminen.

Todennäköisyysvirran säilyminenMuutos

Määrittelemällä liitännäispinori

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}

jossa ψ† on ψ:n konjugaattitranspositio, ja huomataan, että

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

saamme, ottamalla Diracin yhtälön hermeettisen konjugaatin ja kertomalla oikealta päin γ0:lla, adjunktioyhtälön:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}

jossa ∂μ ymmärretään vaikuttavan vasemmalle. Kertomalla Diracin yhtälö vasemmalta päin ψ:llä ja adjunktioyhtälö oikealta päin ψ:llä ja laskemalla yhteen saadaan Diracin virran säilymislaki:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }\gamma ^{\mu }\psi \right)=0~.}

Nyt näemme ensimmäisen kertaluvun yhtälön suuren edun Schrödingerin kokeilemaan yhtälöön nähden – tämä on relativistisen invarianssin vaatima säilynyt virrantiheys, vain nyt sen neljäs komponentti on positiivisesti definiittinen ja siten sopiva todennäköisyystiheyden rooliin:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }\gamma ^{0}\psi =\psi ^{dagger }\psi ~.}

Koska todennäköisyystiheys esiintyy nyt relativistisen vektorin neljäntenä komponenttina eikä pelkkänä skalaarina kuten Schrödingerin yhtälössä, siihen kohdistuu Lorentz-muunnosten tavanomaisia vaikutuksia, kuten aikadilataatio. Siten esimerkiksi atomiprosessit, jotka havaitaan nopeuksina, mukautetaan väistämättä suhteellisuusteorian mukaisella tavalla, kun taas prosessit, joissa mitataan energiaa ja impulssia, jotka itsessään muodostavat relativistisen vektorin, mukautetaan samansuuntaisesti siten, että havaittujen arvojen relativistinen kovarianssi säilyy. Itse Diracin virta on tällöin avaruusaikakovariantti nelivektori:

J μ = ψ ¯ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }\gamma ^{\mu }\psi .}

SolutionsEdit

Katso Diracin spinori Diracin yhtälön ratkaisuista. Huomaa, että koska Dirac-operaattori vaikuttaa neliöintegroituvien funktioiden 4-pareihin, sen ratkaisujen pitäisi olla saman Hilbert-avaruuden jäseniä. Se, että ratkaisujen energioilla ei ole alarajoja, on odottamatonta – katso lisätietoja alla olevasta reikäteoria-osiosta.

Vertailu Pauli-teoriaanEdit

Tarpeellisuus ottaa käyttöön puolen kokonaisluvun spin juontaa kokeellisesti juurensa Stern-Gerlachin kokeen tuloksiin. Atomisäde ajetaan voimakkaan epähomogeenisen magneettikentän läpi, jolloin se jakautuu N osaan riippuen atomien omasta kulmamomentista. Hopea-atomien kohdalla havaittiin, että säde jakautui kahtia – perustila ei siis voinut olla kokonaisluku, koska vaikka atomien ominaissuuntainen momentti olisi mahdollisimman pieni, 1, säde jakautuisi kolmeen osaan, jotka vastaisivat atomeja, joiden Lz = -1, 0, +1. Johtopäätöksenä voidaan todeta, että hopea-atomeilla on nettomääräinen ominaissuuntainen momentti 1⁄2. Pauli laati teorian, joka selitti tämän jakautumisen ottamalla käyttöön kaksikomponenttisen aaltofunktion ja vastaavan korjaustermin Hamiltonianissa, joka edustaa tämän aaltofunktion puoliklassista kytkentää sovellettuun magneettikenttään, kuten SI-yksiköissä: (Huomaa, että lihavoidut merkit tarkoittavat euklidisia vektoreita kolmiulotteisesti, kun taas Minkowskin nelivektori Aμ voidaan määritellä seuraavasti: A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}

.). H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Tässä A ja ϕ {\displaystyle \phi }

edustavat sähkömagneettisen nelipotentiaalin komponentteja niiden SI-standardiyksiköissä, ja kolme sigmaa ovat Pauli-matriiseja. Kun ensimmäinen termi neliöityy, löydetään jäännösvuorovaikutus magneettikentän kanssa sekä tavallinen klassisen Hamiltonian varattu hiukkanen vuorovaikutuksessa sovelletun kentän kanssa SI-yksiköissä: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }\cdot \mathbf {B} ~.}

Tämä Hamiltonian on nyt 2 × 2 -matriisi, joten siihen perustuvassa Schrödingerin yhtälössä on käytettävä kahden komponentin aaltofunktiota. Kun ulkoinen sähkömagneettinen 4-vektoripotentiaali tuodaan Diracin yhtälöön vastaavalla tavalla, jota kutsutaan minimikytkennäksi, se saa muodon:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

Dirac-operaattorin toinen sovellus toistaa nyt Pauli-termin täsmälleen samoin kuin aiemmin, koska i:llä kerrottuilla avaruudellisilla Dirac-matriiseilla on samat neliö- ja kommutaatio-ominaisuudet kuin Pauli-matriiseilla. Lisäksi Paulin uuden termin edessä seisovan elektronin gyromagneettisen suhteen arvo selittyy ensimmäisistä periaatteista. Tämä oli Diracin yhtälön suuri saavutus ja antoi fyysikoille suuren uskon sen yleiseen oikeellisuuteen. On kuitenkin vielä muutakin. Paulin teoriaa voidaan pitää Diracin teorian matalan energian rajana seuraavalla tavalla. Ensin yhtälö kirjoitetaan 2-spinoreiden kytkettyjen yhtälöiden muodossa, jolloin SI-yksiköt palautetaan:

( ( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} – -e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

so

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}

Emme oleta, että kenttä on heikko ja elektronin liike ei-relativistinen, elektronin kokonaisenergia on suunnilleen yhtä suuri kuin sen lepoenergia, ja impulssi siirtyy klassiseen arvoon,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \approx m\mathbf} }

ja siten toinen yhtälö voidaan kirjoittaa

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-{\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

joka on suuruusluokkaa v/c – siis tyypillisissä energioissa ja nopeuksissa, Dirac-spinorin alemmat komponentit ovat vakioesityksessä paljon vaimeampia verrattuna ylempiin komponentteihin. Kun tämä lauseke korvataan ensimmäiseen yhtälöön, saadaan pienen uudelleenjärjestelyn jälkeen

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

Vasemmanpuoleinen operaattori edustaa hiukkasen energiaa vähennettynä sen lepoenergialla, joka on vain klassinen energia, joten saamme takaisin Paulin teorian, jos samaistamme hänen 2-spinorinsa Diracin spinorin yläkomponentteihin ei-relativistisessa approksimaatiossa. Toinen approksimaatio antaa Schrödingerin yhtälön Pauli-teorian raja-arvona. Schrödingerin yhtälöä voidaan siis pitää Diracin yhtälön kaukaisena ei-relativistisena approksimaationa, kun spin voidaan jättää huomiotta ja työskennellä vain pienillä energioilla ja nopeuksilla. Tämäkin oli suuri voitto uudelle yhtälölle, sillä se jäljitti siinä esiintyvän salaperäisen i:n ja kompleksisen aaltofunktion välttämättömyyden Diracin algebran kautta takaisin avaruusajan geometriaan. Se korostaa myös sitä, miksi Schrödingerin yhtälö, vaikka se on pinnallisesti diffuusioyhtälön muodossa, itse asiassa esittää aaltojen etenemistä.

On voimakkaasti korostettava, että tämä Diracin spinorin jakaminen suuriin ja pieniin komponentteihin riippuu nimenomaisesti matalaenergisestä approksimaatiosta. Koko Diracin spinori edustaa redusoitumatonta kokonaisuutta, ja ne komponentit, jotka olemme juuri laiminlyöneet päästääksemme Pauli-teoriaan, tuovat mukanaan uusia ilmiöitä relativistisessa regiimissä – antiainetta ja ajatuksen hiukkasten luomisesta ja annihilaatiosta.

Vertailu Weylin teoriaanMuutos

Rajaarvossa m → 0 Diracin yhtälö redusoituu Weylin yhtälöksi, joka kuvaa suhteellisuusperiaatteella toimivaa massatonta spin-1⁄2-hiukkasta.

Diracin LagrangianEdit

Kumpaakin Diracin yhtälöä ja Adjoint Diracin yhtälöä voidaan saada (varioimalla) toimintaa tietyllä Lagrangian tiheydellä, joka saadaan seuraavasti:

L = i ℏ c ψ ¯ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }\psi }\psi }