Näytä mobiili-ilmoitus Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot

Luku 4 : Moninkertaiset integraalit

Laskenta I:ssä siirryimme integraalien aiheeseen saatuamme päätökseen johdannaisten käsittelyn. Sama pätee myös tällä kurssilla. Nyt kun olemme saaneet päätökseen keskustelun useamman kuin yhden muuttujan funktioiden derivaattojen käsittelystä, meidän on siirryttävä kahden tai kolmen muuttujan funktioiden integraaleihin.

Useimmat derivaattojen aiheet laajenivat jokseenkin luontevasti Laskenta I:n vastaavista aiheista, ja näin on myös tässä. Koska nyt on kuitenkin kyse kahden tai kolmen muuttujan funktioista, on myös joitakin eroja. Tulee olemaan uutta merkintätapaa ja joitakin uusia kysymyksiä, joita ei yksinkertaisesti esiinny, kun käsitellään yhden muuttujan funktioita.

Tässä on luettelo tässä luvussa käsiteltävistä aiheista.

Kaksoisintegraalit – Tässä luvussa määrittelemme muodollisesti kaksoisintegraalin sekä annamme nopean tulkinnan kaksoisintegraalista.

Iteroidut integraalit – Tässä osiossa näytämme, miten Fubinin teoreemaa voidaan käyttää arvioimaan kaksoisintegraaleja, joissa integrointialue on suorakulmio.

Kaksoisintegraalit yleisten alueiden yli – Tässä osiossa aloitamme kaksoisintegraalien arvioinnin yleisten alueiden yli, eli alueiden, jotka eivät ole suorakulmioita. Havainnollistamme, miten funktion kaksoisintegraali voidaan tulkita funktion antaman pinnan ja \(xy\)-tason välisen avaruuden nettotilavuudeksi.

Kaksoisintegraalit polaarikoordinaatistossa – Tässä jaksossa tarkastelemme kartesiokoordinaatistossa olevien integraalien (mukaan lukien \(dA\)) muuntamista polaarikoordinaatistoon. Integrointialueet ovat näissä tapauksissa kokonaan tai osittain levyjä tai renkaita, joten meidän on myös muunnettava näiden alueiden alkuperäiset kartesiolaiset raja-arvot polaarikoordinaatistoon.

Kolminkertaiset integraalit – Tässä luvussa määritellään kolminkertainen integraali. Kuvaamme myös melko monta esimerkkiä integrointirajojen asettamisesta kolmiulotteiselta integrointialueelta. Integraatiorajojen saaminen on usein näiden ongelmien vaikein osa.

Kolmiointegraalit lieriökoordinaatistossa – Tässä jaksossa tarkastelemme integraalien (mukaan lukien \(dV\)) muuntamista kartesiankoordinaatistossa lieriökoordinaatistoon. Muunnamme myös näiden alueiden alkuperäiset kartesiolaiset rajat lieriökoordinaatistoon.

Kolmiointegraalit pallokoordinaatistossa – Tässä jaksossa tarkastelemme integraalien (mukaan lukien \(dV\)) muuntamista kartesiolaisissa koordinaateissa pallokoordinaatistoon. Muunnamme myös näiden alueiden alkuperäiset kartesiolaiset rajat pallokoordinaatteihin.

Muuttujien muuttaminen – Edellisissä jaksoissa olemme muuntaneet kartesiolaiset koordinaatit polaari-, lieriö- ja pallokoordinaatteihin. Tässä jaksossa yleistämme tätä ajatusta ja keskustelemme siitä, miten muunnamme kartesiankoordinaatistossa olevat integraalit vaihtoehtoisiksi koordinaattijärjestelmiksi. Mukana on myös \(dV\)-muunnoskaavan derivointi, kun muunnetaan pallokoordinaatistoon.

Pinta-ala – Tässä osiossa näytämme, miten kaksoisintegraalia voidaan käyttää sen pinta-alan osan pinta-alan määrittämiseen, joka on kaksiulotteisen avaruuden alueen yläpuolella.

Pinta-alan ja tilavuuden kertaaminen – Tässä osiossa teemme yhteenvedon eri pinta-alan ja tilavuuden kaavoista tämän luvun ajalta.