Operador (matemáticas)

Sep 22, 2021

admin

GeometríaEditar

Artículos principales: grupo lineal general e isometría

En geometría, a veces se estudian estructuras adicionales sobre espacios vectoriales. Los operadores que mapean dichos espacios vectoriales a sí mismos de forma biyectiva son muy útiles en estos estudios, forman naturalmente grupos por composición.

Por ejemplo, los operadores biyectivos que preservan la estructura de un espacio vectorial son precisamente los operadores lineales invertibles. Forman el grupo lineal general bajo composición. No forman un espacio vectorial bajo la adición de operadores, por ejemplo, tanto id como -id son invertibles (biyectivos), pero su suma, 0, no lo es.

Los operadores que preservan la métrica euclidiana en dicho espacio forman el grupo de isometría, y los que fijan el origen forman un subgrupo conocido como grupo ortogonal. Los operadores del grupo ortogonal que también preservan la orientación de las tuplas vectoriales forman el grupo ortogonal especial, o grupo de rotaciones.

Teoría de la probabilidadEditar

Artículo principal: Teoría de la probabilidad

En la teoría de la probabilidad también intervienen operadores, como la expectativa, la varianza y la covarianza. En efecto, toda covarianza es básicamente un producto punto; toda varianza es un producto punto de un vector consigo mismo, y por tanto es una norma cuadrática; toda desviación estándar es una norma (raíz cuadrada de la norma cuadrática); el coseno correspondiente a este producto punto es el coeficiente de correlación de Pearson; el valor esperado es básicamente un operador integral (utilizado para medir formas ponderadas en el espacio).

CálculoEditar

Artículos principales: operador diferencial y operador integral

Desde el punto de vista del análisis funcional, el cálculo es el estudio de dos operadores lineales: el operador diferencial d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {{mathrm {d} t}}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, y el operador de Volterra ∫ 0 t {\displaystyle \frac _{0}^{t}}

$\int_0^t$

Series de Fourier y transformada de FourierEditar

Artículos principales: Serie de Fourier y transformada de Fourier

La transformada de Fourier es útil en matemáticas aplicadas, particularmente en física y en el procesamiento de señales. Es otro operador integral; es útil principalmente porque convierte una función en un dominio (temporal) en una función en otro dominio (de frecuencia), de una manera efectivamente invertible. No se pierde ninguna información, ya que existe un operador de transformación inversa. En el caso simple de las funciones periódicas, este resultado se basa en el teorema de que cualquier función periódica continua puede representarse como la suma de una serie de ondas sinusoidales y cosenoidales:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \{sobre 2}+suma _{n=1}^{infty }{a_{n}cos(\omega nt)+b_{n}sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \\\\Nsobre 2} + \\Nsuma_{n=1}^{{infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \\Nsin ( \omega n t ) }$

La tupla (a0, a1, b1, a2, b2, …) es de hecho un elemento de un espacio vectorial de dimensión infinita ℓ2, y por tanto la serie de Fourier es un operador lineal.

Cuando se trata de la función general R → C, la transformada adopta una forma integral:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \\\a}}más de {\a2\a}}int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\a,d\omega }.}

$f(t) = {1 \a2 \a2 \i} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \\N - d\omega }.$

Transformada de LaplaceEditar

Artículo principal: Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es otro operador integral y participa en la simplificación del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales.

Dado f = f(s), se define por:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={mathcal {L}{f\}(s)={int _{0}^{infty }e^{-st}f(t)\},dt.}

$F(s)={mathcal {L}{f\}(s)={int _{0}^{infty }e^{-st}f(t)\},dt.$

Operadores fundamentales en campos escalares y vectorialesEditar

Artículos principales: cálculo vectorial, campo vectorial, campo escalar, gradiente, divergencia y rizo

Tres operadores son clave en el cálculo vectorial:

Grad (gradiente), (con el símbolo de operador ∇ {{displaystyle \nabla }
$\nabla$

) asigna un vector en cada punto de un campo escalar que apunta en la dirección de mayor tasa de cambio de ese campo y cuya norma mide el valor absoluto de esa mayor tasa de cambio.
Div (divergencia), (con símbolo de operador ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) es un operador vectorial que mide la divergencia de un campo vectorial desde o la convergencia hacia un punto determinado.
Curl, (con símbolo de operador ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) es un operador vectorial que mide la tendencia de curvatura de un campo vectorial (enrollamiento, rotación) en torno a un punto determinado.

Como una extensión de los operadores del cálculo vectorial a la física, la ingeniería y los espacios tensoriales, los operadores Grad, Div y Curl también se asocian a menudo con el cálculo tensorial, así como con el cálculo vectorial.