Terminología

Los sistemas físicos se dividen en tipos según sus propiedades inmutables (o «independientes del estado»), y el estado de un sistema en un momento dado consiste en una especificación completa de aquellas de sus propiedades que cambian con el tiempo (sus propiedades «dependientes del estado»). Por lo tanto, para dar una descripción completa de un sistema, tenemos que decir qué tipo de sistema es y cuál es su estado en cada momento de su historia.

Una cantidad física es una familia de propiedades físicas mutuamente excluyente y conjuntamente exhaustiva (para los que conocen esta forma de hablar, es una familia de propiedades con la estructura de las celdas de una partición). Saber qué tipo de valores toma una cantidad puede decirnos mucho sobre las relaciones entre las propiedades que la componen. Los valores de una cantidad bivalente, por ejemplo, forman un conjunto con dos miembros; los valores de una cantidad de valor real forman un conjunto con la estructura de los números reales. Este es un caso especial de algo que veremos una y otra vez, a saberque saber qué tipo de objetos matemáticos representan los elementos de un conjunto (aquí, los valores de una cantidad física; más adelante, los estados que puede asumir un sistema, o las cantidades que le pertenecen) nos dice mucho (de hecho, podría decirse que es todo lo que hay que saber) sobre las relaciones entre ellos.

En contextos de mecánica cuántica, el término ‘observable’ se utiliza indistintamente con ‘cantidad física’, y debe tratarse como un término técnico con el mismo significado. No es casualidad que los primeros desarrolladores de la teoría eligieran este término, pero la elección se hizo por razones que, hoy en día, no son generalmente aceptadas. El espacio de estados de un sistema es el espacio formado por el conjunto de sus estados posibles, es decir, las formas físicamente posibles de combinar los valores de las cantidades que lo caracterizan internamente. En las teorías clásicas, un conjunto de magnitudes que constituye una base de superveniencia para el resto suele denominarse «básico» o «fundamental» y, dado que cualquier forma matemáticamente posible de combinar sus valores es una posibilidad física, el espacio de estados puede obtenerse simplemente tomando éstas como coordenadas. Así, por ejemplo, el espacio de estados de un sistema mecánico clásico compuesto por \ (n\) partículas, obtenido especificando los valores de \ (6n\) cantidades de valor real -tres componentes de posición, y tres de momento para cada partícula del sistema- es un espacio de coordenadas \ (6n\). Cada estado posible de dicho sistema corresponde a un punto del espacio, y cada punto del espacio corresponde a un estado posible de dicho sistema. La situación es un poco diferente en la mecánica cuántica, donde hay formas matemáticamente describibles de combinar los valores de las cantidades que no representan estados físicamente posibles. Como veremos, los espacios de estado de la mecánica cuántica son tipos especiales de espacios vectoriales, conocidos como espacios de Hilbert, y tienen más estructura interna que sus homólogos clásicos.

Una estructura es un conjunto de elementos sobre los que se definen ciertas operaciones y relaciones, una estructura matemática es sólo una estructura en la que los elementos son objetos matemáticos (números, conjuntos, vectores) y las operaciones son matemáticas, y un modelo es una estructura matemática utilizada para representar alguna estructura físicamente significativa en el mundo.

El corazón y el alma de la mecánica cuántica están contenidos en los espacios de Hilberts que representan los espacios de estado de los sistemas mecánicos cuánticos.Las relaciones internas entre los estados y las cantidades, y todo lo que esto implica sobre la forma en que se comportan los sistemas mecánicos cuánticos, están todos entretejidos en la estructura de estos espacios, encarnados en las relaciones entre los objetos matemáticos que los representan. Esto significa que entender cómo es un sistema según la mecánica cuántica es inseparable de la familiaridad con la estructura interna de estos espacios. Si conoces el espacio de Hilbert y te familiarizas con las leyes dinámicas que describen las trayectorias de los vectores a través de él, sabrás todo lo que hay que saber, en los términos proporcionados por la teoría, sobre los sistemas que describe.

Con «conocer el espacio de Hilbert» me refiero a algo más que a poseer una descripción o un mapa del mismo; cualquiera que tenga un libro de texto de mecánica cuántica en su estantería lo tiene. Me refiero a conocerlo de la misma manera que se conoce la ciudad en la que se vive. Se trata de un tipo de conocimiento práctico que viene en grados y se adquiere mejor aprendiendo a resolver problemas de la forma: ¿Cómo puedo ir de A a B? ¿Puedo llegar allí sin pasar por C? ¿Y cuál es el camino más corto? Los estudiantes de física pasan largos años familiarizándose con los recovecos del espacio de Hilbert, localizando puntos de referencia conocidos, recorriendo sus caminos trillados, aprendiendo dónde se encuentran los pasajes secretos y los callejones sin salida, y desarrollando un sentido de la disposición general del terreno. Aprenden a navegar por el espacio de Hilbert de la misma manera que un taxista aprende a navegar por su ciudad.

¿Cuánto de este tipo de conocimiento es necesario para abordar los problemas filosóficos asociados a la teoría? Al principio, no mucho: sólo los hechos más generales sobre la geometría del paisaje (que, en cualquier caso, a diferencia del de la mayoría de las ciudades, está bellamente organizado), y las trayectorias que (los vectores que representan los estados de) los sistemas recorren. Eso es lo que se va a presentar aquí: primero un poco de matemática fácil, y luego, en pocas palabras, la teoría.

Matemáticas

2.1 Vectores y espacios vectoriales

Un vector \(A\), escrito ‘\(\ket{A}\)’, es un objeto matemático caracterizado por una longitud, \(|A|\), y una dirección. Un vector normalizado es un vector de longitud 1; es decir, \(|A| = 1\). Los vectores pueden sumarse, multiplicarse por constantes (incluyendo números complejos) y multiplicarse entre sí. La adición de vectores mapea cualquier par de vectores en otro vector, en concreto, el que se obtiene moviendo el segundo vector de forma que su cola coincida con la punta del primero, sin alterar la longitud ni la dirección de ninguno de ellos, y uniendo después la cola del primero con la punta del segundo. Esta regla de adición se conoce como la ley del paralelogramo. Así, por ejemplo, si se suman los vectores \ket{A} y \ket{B} se obtiene el vector \ket{C} (= \ket{A} + \ket{B})\Ncomo en la Figura 1:

Al multiplicar un vector \(\ket{A}) por \(n\), donde \(n\) es una constante, se obtiene un vector que tiene la misma dirección que \(\ket{A}) pero cuya longitud es \(n\) veces la de \ket{A}.

En un espacio vectorial real, el producto (interno o punto) de un par de vectores \(ket{A}\) y \(ket{B}\), escrito’\N(\braket{A}{B})’ es un escalar igual al producto de sus longitudes (o ‘normas’) por el coseno del ángulo,\N(\Nlaeta), entre ellos:

\

Sea \(\ket{A_1}\) y \(\ket{A_2}\) vectores de longitud 1(«vectores unitarios») tales que \(\braket{A_1}{A_2} = 0\). (El ángulo entre estos dos vectores unitarios debe ser de 90 grados.) Entonces podemos representar cualquier vector bidimensional \(\ket{B}\) en términos de nuestros vectores unitarios como sigue:

\

Por ejemplo, aquí es un gráfico que muestra cómo \ (\ket{B}\) puede ser representado como la suma de los dos vectores unitarios \ (\ket{A_1}\) y \ (\ket{A_2}\):

Ahora la definición del producto interior \(\ket{A}{B}\ tiene que ser modificado para aplicar a los espacios complejos. Sea \ (c^*\) el complejo conjugado de \ (c\). (Cuando \(c\) es un número complejo de la forma \(a \pm bi\), entonces el complejo conjugado\(c^*\) de \(c\) se define de la siguiente manera:

\* = a-bi \\\* = a+bi\]

Así que, para todos los números complejos \(c\), \(^* = c\), pero \(c^* = c\) sólo en caso de que \(c\) sea real). Ahora bien, la definición del producto interior de \(ket{A}\) y \(ket{B}\) para espacios complejos puede darse en términos de los conjugados de los coeficientes complejos como sigue. Donde \(\ket{A_1}\️) y \(\ket{A_2}\️) son los vectores unitarios descritos anteriormente, \(\ket{A} = a_1 \ket{A_1} + a_2 \ket{A_2}\️) y \(\ket{B} = b_1 \ket{A_1} + b_2 \ket{A_2}\️), la noción más general y abstracta de un producto interior, del que hemos definido dos casos especiales, es la siguiente. \(\braket{A}{B}\) es un producto interior sobre un espacio vectorial \(V\) sólo en el caso de que

1. (\braket{A}{A} = |A|^2\) y \(\braket{A}{A}=0\) si y sólo si \(A=0\)
2. (\braket{B}{A} = \braket{A}{B}^*)
3. (\braket{B}{A+C}=\braket{B}{A} + \braket{B}{C}).

De aquí se deduce que

1. la longitud de \ket{A} es la raíz cuadrada del producto interior de \ket{A} con ella misma, es decir,\
   1. (\ket{A}\}) y \ket{B}\Nson mutuamente perpendiculares, u ortogonales, si, y sólo si, \(\ket{A}{B}\N.

   Un espacio vectorial es un conjunto de vectores cerrados por adición y multiplicación por constantes, un espacio de producto interno es un espacio vectorial en el que se ha definido la operación de multiplicación vectorial, y la dimensión de dicho espacio es el número máximo de vectores no nulos y mutuamente ortogonales que contiene.

   Cualquier colección de \ (N\) vectores mutuamente ortogonales de longitud 1 en un espacio vectorial de dimensión N\ (N\) constituye una base ortonormal para ese espacio. Sea \ (\ket{A_1}, \ldots, \ket{A_N}) tal colección de vectores unitarios. Entonces cada vector en el espacio puede ser expresado como una suma de la forma:

   \3958>donde \(b_i = \braket{B}{A_i}\). Los \(b_i) aquí se conocen como los coeficientes de expansión de \(B\) en la base \(A).

   Nota que:

   1. para todos los vectores \(A\), \(B\), y \(C\) en un espacio dado,\
   2. para cualquier vector \(M\) y \(Q\), expresados en términos de la base \(A\),\ hay otra forma de escribir los vectores, a saber, escribiendo los coeficientes de expansión (relativos a una base dada) en una columna, como por ejemplo \

      donde \(q_i = \braket{Q}{A_i}\) y los \(A_i\) son los vectores base elegidos.

      Cuando tratamos con espacios vectoriales de dimensión infinita, ya que no podemos escribir toda la columna de coeficientes de expansión necesaria para elegir un vector, ya que tendría que ser infinitamente larga, por lo que en su lugar escribimos la función (llamada «función de onda» para\ Q\), normalmente representada \(\psi(i))\Nque tiene esos coeficientes como valores. Es decir, escribimos la función:

      \

      Dado cualquier vector en, y cualquier base para, un espacio vectorial, podemos obtener la función de onda del vector en esa base; y dada una función de onda para un vector, en una base particular, podemos construir el vector cuya función de onda es. Como resulta que la mayoría de las operaciones importantes sobre los vectores corresponden a simples operaciones algebraicas sobre sus funciones de onda, ésta es la forma habitual de representar los vectores-estado.

      Cuando un par de sistemas físicos interactúan, forman un sistema compuesto y, tanto en la mecánica cuántica como en la clásica, existe una regla para construir el espacio de estados de un sistema compuesto a partir de los de sus componentes, una regla que nos dice cómo obtener, a partir de los espacios de estado, \(H_A\) y \(H_B\) para \(A\) y \(B\), respectivamente, el espacio de estado -llamado «producto tensorial» de \(H_A\) y \(H_B\), y escrito (H_A\times H_B\) – del par. Hay dos cosas importantes acerca de la regla; en primer lugar, mientras \ (H_A\) y \ (H_B\) sean espacios de Hilbert, \ (H_A \times H_B\) también lo serán, y en segundo lugar, hay algunos hechos sobre la forma en que \ (H_A \times H_B\) se relaciona con \ (H_A\) y \ (H_B\), que tienen consecuencias sorprendentes para las relaciones entre el sistema complejo y sus partes. En particular, resulta que el estado de un sistema compuesto no está definido únicamente por los de sus componentes. Lo que esto significa, o al menos lo que parece significar, es que hay, según la mecánica cuántica, hechos sobre los sistemas compuestos (y no sólo hechos sobre su configuración espacial) que no se superponen a los hechos sobre sus componentes; significa que hay hechos sobre los sistemas como conjuntos que no se superponen a los hechos sobre sus partes y la forma en que esas partes están dispuestas en su interior. La importancia de esta característica de la teoría no puede ser minimizada; está, de una manera u otra, implicada en la mayoría de sus problemas más difíciles.

      En un poco más de detalle: si \({v_{i}^A\}) es una base ortonormal para \(H_A\) y \({u_{j}^B\}) es una base ortonormal para \(H_B\), entonces el conjunto de pares \((v_{i}^A, u_{j}^B)\Nse toma para formar una base ortonormal para el espacio del producto tensorial \N(H_A \Na veces H_B\). Se utiliza la anotación \(v_i^A \times u_j^B) para el par \((v_{i}^A,u_{j}^B)\Ny el producto interior en \N(H_A \times H_B)se define como:

      \

      Es un resultado de esta construcción que, aunque todo vector en\N(H_A \a veces H_B\) es una suma lineal de vectores expresables en la forma\a veces(v^A \a veces u^B\), no todo vector en el espacio es a su vez expresable en esa forma, y resulta que

      1. cualquier estado compuesto define unívocamente los estados de suscomponentes.
      2. si los estados de \(A\) y \(B\) son puros (es decir, representables por los vectores \(v^A\) y \(u^B\), respectivamente), entonces el estado de \((A+B)\) es puro y está representado por\(v^A \a veces u^B\), y
      3. si el estado de \((A+B)\) es puro y expresable en la forma \N(v^A \a veces u^B\), entonces los estados de \N(A\) y \N(B\) son puros, pero
      4. si los estados de \N(A\) y \N(B\) no son puros, es decir.e., si son estados mixtos (éstos se definen más adelante), no definen unívocamente el estado de \((A+B)\N); en particular, puede ser un estado puro no expresable en la forma \N(v^A \Na veces u^B).

      2.2 Operadores

      Un operador \(O\) es un mapeo de un espacio vectorial sobre sí mismo; toma cualquier vector \(\ket{B}\) en un espacio sobre otrovector \(\ket{B’}\) también en el espacio; \(O \ket{B} = \ket{B’}\). Los operadores lineales son operadores que tienen las siguientes propiedades:

      1. (O(\ket{A} + \ket{B}) = O \ket{A} + O \ket{B}), y
      2. (O(c \ket{A}) = c(O \ket{A})\N).

      Así como cualquier vector en un espacio \(N)-dimensional puede ser representado por una columna de \(N\) números, en relación con una elección de base para el espacio, cualquier operador lineal en el espacio puede ser representado en una notación de columna por\(N^2) números:

      \

      donde \(O_{ij} = \braket{A_i}{O \mid A_j}\) y los \(A_N\) son los vectores base del espacio. El efecto del operador lineal \(O\) sobre el vector\(B\) viene dado, entonces, por

      \

      Dos definiciones más antes de poder decir qué son los espacios de Hilbert, y entonces podemos pasar a la mecánica cuántica. \(\ket{B}) es un eigenvector de \(O\) con valor propio \(a\) si, y sólo si, \(O \ket{B} = a \ket{B}\).Diferentes operadores pueden tener diferentes vectores propios, pero la relación vector propio/operador depende sólo del operador y de los vectores en cuestión, y no de la base particular en la que se expresan; la relación vector propio/operador es, es decir, invariante bajo cambio de base. Un operador Hermiteano es un operador que tiene la propiedad de que existe una base ortonormal formada por sus vectores propios y esos valores propios son todos reales.

      Un espacio de Hilbert, por último, es un espacio vectorial sobre el que se define un producto interior, y que es completo, es decir, que es tal que cualquier secuencia de vectores de Cauchy en el espacio converge a un vector en el espacio. Todos los espacios de producto interno de dimensión finita son completos, por lo que me limitaré a ellos. El caso infinitoinvolucra algunas complicaciones en las que no es fructífero entrar en esta etapa.

      Mecánica cuántica

      Cuatro principios básicos de la mecánica cuántica son:

      (3.1)

      Estados físicos.Todo sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert, cada vector unitario en el espacio corresponde a un posible estado puro del sistema, y cada posible estado puro, a algún vector en el espacio.

      (3.2)

      Cantidades físicas.Los operadores hermitianos en el espacio de Hilbert asociado a un sistema representan cantidades físicas, y sus valores propios representan los posibles resultados de las mediciones de esas cantidades.

      Hay un operador, llamado hamiltoniano, que desempeña un papel especial en la teoría cuántica porque la dinámica de un sistema puede formularse convenientemente siguiendo su evolución. El hamiltoniano -escrito \(H\), o \(\hat{H}\) – representa la energía total del sistema. Sus valores propios son los posibles resultados que se pueden obtener en las mediciones de la energía total. Se obtiene sumando las energías cinética y potencial de los componentes del sistema.

      (3.3)

      Composición.El espacio de Hilbert asociado a un sistema complejo es el tensorproducto de los asociados a los sistemas simples (en la teoría estándar, no relativista: las partículas individuales) que lo componen.

      (3.4) Dinámica. a.

      Contextos de tipo 1: Dado el estado de un sistema en (t) y las fuerzas y restricciones a las que está sometido, existe una ecuación, la ‘secuenciación de Schrödinger’, que da el estado en cualquier otro momento \(U\ket{v_t} \rightarrow \ket{v_{t’}}). Las propiedades importantes de \ U\) para nuestros propósitos son que es determinista, lo que significa que toma el estado de un sistema en un momento en un estado único en cualquier otro, es unitario, lo que significa que es un automorfismo del espacio de Hilbert en el que actúa (es decir, un mapeo de ese espacio sobre sí mismo que preserva la estructura espacial lineal y el producto interno), y es lineal, es decir, que si toma un estado \(\ket{A}\) sobre el estado\(\ket{A’}\), y toma el estado \ket{B} en el estado \ket{B’}, entonces toma cualquier estado de la forma \ket{A} + \beta \ket{B}) en el estado \ket{A’} + \beta{B’}).

      b.

      Contextos de tipo 2 («Contextos de Medición»): La realización de una «medición» de un observable \(B\) en un sistema en un estado \(\ket{A}) tiene el efecto de colapsar el sistema en un estado propio \(B\) correspondiente al valor propio observado. Esto se conoce como el postulado del colapso. En qué estado propio \(B\)-colapsa es una cuestión de probabilidad, y las probabilidades vienen dadas por una regla conocida como Regla de Born:

      Hay dos puntos importantes a tener en cuenta sobre estos dos tipos de contextos:

      • La distinción entre contextos de tipo 1 y 2 queda por hacer en términos de mecánica cuántica; nadie ha conseguido decir de forma completamente satisfactoria, en los términos que proporciona la teoría, qué contextos son contextos de medida, y
      • Incluso si se hace la distinción, es una cuestión interpretativa abierta si hay contextos de tipo 2; es decire., es una cuestión interpretativa abierta si hay contextos en los que los sistemas se rigen por una regla dinámica distinta de la ecuación de Schrödinger.

      Estructuras en el espacio de Hilbert

      Ya he comentado que, del mismo modo que toda la información que tenemos sobre las relaciones entre los lugares de una ciudad se plasma en las relaciones espaciales entre los puntos de un mapa que los representan, toda la información que tenemos sobre las relaciones internas entre los estados y las cantidades de la mecánica cuántica se plasma en las relaciones matemáticas entre los vectores y los operadores que los representan. Desde un punto de vista matemático, lo que realmente distingue a la mecánica cuántica de sus predecesores clásicos es que los estados y las cantidades tienen una estructura más rica; forman familias con una red más interesante de relaciones entre sus miembros.

      Todas las características físicamente consecuentes de los comportamientos de los sistemas mecánicos cuánticos son consecuencias de las propiedades matemáticas de esas relaciones, y las más importantes se resumen fácilmente:

      (P1)

      Cualquier forma de sumar vectores en un espacio de Hilbert o de multiplicarlos por escalares dará lugar a un vector que también está en el espacio. En el caso de que el vector esté normalizado, representará, a partir de (3.1), un posible estado del sistema, y en el caso de que sea la suma de un par de vectores propios de un observable \(B\) con valores propios distintos, no será en sí mismo un vector propio de \(B\), sino que estará asociado, a partir de (3.4b), a un conjunto de probabilidades de mostrar uno u otro resultado en las mediciones de \(B\).

      (P2)

      Para cualquier operador hermitiano sobre un espacio de Hilbert, hay otros, sobre el mismo espacio, con los que no comparte un conjunto completo de vectores propios; de hecho, es fácil demostrar que hay otros operadores de este tipo con los que no tiene vectores propios en común.

      Si hacemos un par de suposiciones interpretativas adicionales, podemos decir más. Supongamos, por ejemplo, que

      (4.1)

      Cada operador hermitiano en el espacio de Hilbert asociado a un sistema representa un observable distinto, y (por tanto) cada vector normalizado, un estado distinto, y

      (4.2)

      Un sistema tiene un valor para el observable \(A\) si, y sólo si, el vector que representa su estado es un estado propio del operador \(A\). El valor que tiene, en tal caso, es simplemente el valor propio asociado a ese estado propio.

      De (P2) se deduce, por (3.1), que ningún estado mecánico cuántico es un estado propio de todos los observables (y, de hecho, que hay observables que no tienen estados propios en común) y, por tanto, por (3.2), que ningún sistema mecánico cuántico tiene nunca valores simultáneos para todas las magnitudes que le pertenecen (y, de hecho, que hay pares de magnitudes a los que ningún estado asigna valores simultáneos).

      Existen operadores hermitianos en el tensor producto(H_1 \otimes H_2\) de un par de espacios de Hilbert(H_1\) y \otimes(H_2\) … En el caso de que \(H_1\) y \(H_2\) sean los espacios de estado de los sistemas \(S1\) y \(S2\), \(H_1 \times H_2\) es el espacio de estado del sistema complejo \((S1+S2)\). De esto se deduce (4.1) que hay observables pertenecientes a \((S1+S2)\Ncuyos valores no están determinados por los valores de los observables pertenecientes a los dos individualmente.

      Todo esto son consecuencias directas de tomar vectores y operadores en el espacio de Hilbert para representar, respectivamente, estados y observables, y aplicar la Regla de Born (y posteriormente (4.1) y (4.2)), para dar significado empírico a las asignaciones de estado. Esto se entiende perfectamente; la verdadera dificultad para entender la mecánica cuántica estriba en comprender sus implicaciones -físicas, metafísicas y epistemológicas.

      Cualquier persona que intente comprender lo que dice la mecánica cuántica sobre el mundo tiene que lidiar con un hecho pendiente. Este problema no tiene que ver con los espacios de Hilbert, sino con la dinámica: las reglas que describen las trayectorias que siguen los sistemas a través del espacio. Desde el punto de vista físico, es mucho más preocupante que todo lo que se ha discutido hasta ahora. No sólo presenta dificultades para alguien que trata de proporcionar una interpretación de la teoría, sino que también parece apuntar a una inconsistencia lógica en los fundamentos de la teoría.

      Supongamos que tenemos un sistema \(S\) y un dispositivo \(S^*\) que mide un observable \(A\) en \(S\) con valores \({a_1,a_2, a_3, …\}\). Entonces hay algún estado de \(S^*\) (el ‘estado básico’), y algún observable \(B\)con valores \({b_1, b_2,b_3, …\) pertenecientes a \(S^*\) (su ‘observable de puntero’, llamado así porque es lo que juega el papel del puntero de un dial en el frente de un instrumento de medición esquemático al registrar el resultado del experimento), que son tales que, si se inicia (S^*\) en su estado básico e interactúa de forma adecuada con \ (S\), y si el valor de \ (A\) inmediatamente antes de la interacción es \ (a_1\), entonces el valor de \ (B\) inmediatamente después es \ (b_1\). Si, por el contrario, el valor de \(A\) inmediatamente antes de lainteracción es \(a_2\), entonces el valor de \(B\) inmediatamente después es \(b_2\); si el valor de \(A\) inmediatamente antes de lainteracción es \(a_3\), entonces el valor de \(B\) inmediatamente después es \(b_3\), y así sucesivamente. Eso es justo lo que significa decir que \ (S^*\) mide \ (A\). Por lo tanto, si representamos el estado conjunto y parcial de \(S\) y \(S^*\) (sólo la parte que especifica el valor de , el observable cuyos valorescorresponden a las asignaciones conjuntas de valores al observable medido en\(S\) y al observable puntero en \(S^*\)) por el vector(\ket{A=a_i}_s \ket{B=b_i}_{s^*}\), y que «\(\rightarrow\)» representa la descripción dinámica de la interacción entre los dos, decir que \(S^*\) es un instrumento de medición para \(A\) es decir que las leyes dinámicas implican que,

      \3958>y así sucesivamente.

      Intuitivamente, el dispositivo es un instrumento de medida de un observable (A) en el caso de que haya alguna característica observable en el dispositivo (no importa cuál, sólo algo cuyos valores puedan determinarse observando el dispositivo), que esté correlacionada con los valores de los sistemas alimentados en él de tal manera que podamos leer esos valores en el estado observable del dispositivo después de la interacción. En el lenguaje filosófico, \ (S^*\) es un instrumento de medición para \ (A\) sólo en caso de que haya alguna característica observable de \ (S^*\) que rastrea o indica los \ (A\) – valores de los sistemas con los que interactúa de una manera apropiada.

      Ahora, se deduce de (3.1), arriba, que hay estados de \(S\) (demasiados para contarlos) que no son estados propios de \(A\), y si consideramos lo que la ecuación de Schrödinger nos dice sobre la evolución conjunta de \(S\) y(S^*\) cuando \(S\) se inicia en uno de ellos, encontramos que el estado del par después de la interacción es una superposición de estados propios de . No importa qué observable se mida en \NS\Ny no importa en qué superposición concreta empiece \NS\NS\Nla interacción; cuando se introduce en un instrumento de medida para ese observable, si la interacción se describe correctamente por la secuenciación de Schrödinger, se deduce simplemente de la linealidad de \(U\) en esa ecuación, el operador que efectúa la transformación del estado anterior al posterior del par, que el estado conjunto de \(S\) y el aparato después de la interacción es una superposición de estados propios de este observable en el sistema conjunto.

      Supongamos, por ejemplo, que empezamos \(S^*\) en su estado básico, y \(S\) en el estado

      \

      Es una consecuencia de las reglas para obtener el espacio de estados del sistemacompuesto que el estado conjunto del par es

      \

      y se deduce del hecho de que \(S^*\) es un instrumento de medida para \(A\),y la linealidad de \(U\) que su estado combinado después de la interacción, es

      \

      Esto, sin embargo, es inconsistente con la regla dinámica para contextos de tipo 2, ya que la regla dinámica para contextos de tipo 2 (y si hay algún contexto de este tipo, este es uno) implica que el estado del par después de la interacción es o bien

      \

      o

      \3958>En efecto, implica que hay una probabilidad precisa de \frac{1}{2}\frac{1} de que termine en el primero, y una probabilidad de \frac{1}{2}\frac{1} de que termine en el segundo.

      Podemos intentar restaurar la consistencia lógica renunciando a la regla dinámica para los contextos del tipo 2 (o, lo que es lo mismo, negando que existan tales contextos), pero entonces tenemos el problema de la consistencia con la experiencia. Porque no fue un mero error que esa regla se incluyera en la teoría; sabemos qué aspecto tiene un sistema cuando se encuentra en un estado propio de un observable dado, y sabemos por la mirada que el aparato de medición después de la medición se encuentra en un estado propio del observable puntero. Así que sabemos desde el principio que si una teoría nos dice algo más sobre los estados posteriores a la medición de los aparatos de medición, sea lo que sea, está equivocada.

      Este es, en pocas palabras, el Problema de la Medición en la mecánica cuántica; cualquier interpretación de la teoría, cualquier historia detallada sobre cómo es el mundo de acuerdo con la mecánica cuántica, y en particular aquellas partes del mundo en las que se realizan mediciones, tiene que enfrentarse a él.

      Los extremos sueltos

      Los estados mixtos son sumas ponderadas de estados puros, y pueden utilizarse para representar los estados de conjuntos cuyos componentes están en diferentes estados puros, o los estados de sistemas individuales de los que sólo tenemos un conocimiento parcial. En el primer caso, el peso asignado a un estado puro determinado refleja el tamaño del componente del conjunto que se encuentra en ese estado (y, por tanto, la probabilidad objetiva de que un miembro arbitrario del conjunto lo esté); en el segundo caso, reflejan la probabilidad epistémica de que el sistema en cuestión al que se asigna el estado se encuentre en ese estado.

      Si no queremos perder la distinción entre estados puros y mixtos, necesitamos una forma de representar la suma ponderada de un conjunto de estados puros (equivalentemente, de las funciones de probabilidad asociadas a ellos) que sea diferente de sumar los vectores (convenientemente ponderados) que los representan, y eso significa que necesitamos o bien una forma alternativa de representar los estados mixtos, o bien una forma uniforme de representar tanto los estados puros como los mixtos que preserve la distinción entre ellos.Hay un tipo de operador en los espacios de Hilbert, llamado operador de densidad, que sirve bien en esta última capacidad, y resulta que no es difícil replantear todo lo que se ha dicho sobre los vectores de estado en términos de operadores de densidad. Así que, aunque es común hablar como si los estados puros estuvieran representados por vectores, la regla oficial es que los estados -puros y mixtos, por igual- están representados en la mecánica cuántica por operadores de densidad.

      Aunque los estados mixtos pueden, como he dicho, usarse para representar nuestra ignorancia de los estados de los sistemas que están realmente en uno u otro estado puro, y aunque esto ha parecido a muchos una forma adecuada de interpretar las mezclas en contextos clásicos, hay serios obstáculos para aplicarlo en general a las mezclas de la mecánica cuántica. Todo lo que se ha dicho sobre los observables, estrictamente hablando, se aplica sólo al caso en que los valores del observable forman un conjunto discreto; las sutilezas matemáticas necesarias para generalizarlo al caso de los observables continuos son complicadas y plantean problemas de naturaleza más técnica. Esto debería ser toda la preparación inicial que se necesita para abordar la discusión filosófica de la mecánica cuántica, pero es sólo un primer paso. Cuanto más se aprenda sobre las relaciones entre vectores y operadores en el espacio de Hilbert, sobre cómo se relacionan los espacios de los sistemas simples con los de los complejos, y sobre la ecuación que describe cómo se mueven los vectores de estado a través del espacio, mejor se apreciará tanto la naturaleza como la dificultad de los problemas asociados a la teoría. Lo curioso de la mecánica cuántica, lo que la hace infinitamente absorbente para un filósofo, es que cuanto más se aprende, más difíciles se vuelven los problemas.