$ \def\P{{mathcal P} % conjunto de potencia \def\iff{{Leftrightarrow}$

Mapeo, o mapa abreviado, es uno de los muchos sinónimos utilizados para función.En particular, el término map(ping) se utiliza en contextos generales, como la teoría de conjuntos, pero su uso no se limita a estos casos.

El concepto de mapa en la teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos los mapeos son relaciones binarias especiales.

Un mapeo $f$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ es una tripleta (ordenada) $ f = (A,B,G_f) $ donde $ G_f es un subconjunto A a veces B $ tal que

• (a) si $ (x,y) $ y $ (x,y’) \Nen G_f $ entonces $ y=y’ $, y
• (b) la proyección $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \Nen G_f \} = A $.

La condición (a) expresa que $f$ es monovaluada. y la condición (b) que está definida en $A$.

$A$ es el dominio, $B$ es el codominio, y $G_f$ es la gráfica del mapeo. Por lo tanto, en este entorno, los mapeos son iguales si y sólo si los tres componentes correspondientes (dominio, codominio y grafo) son iguales.
El mapeo se suele denotar como $ f : A \a B $, y $ a \a mapea a f(a) $donde $ f(a) := b \iff (a,b) \a en G_f $ es el valor de $f$ en $a$.

Si dos mapeos $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ y $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ satisfacen

$ A_1 \Nsubconjunto A_2 $, $ B_1 \Nsubconjunto B_2 $ y $ G_1 \Nsubconjunto G_2 $

entonces $f_2$ se llama una extensión de $ f_1 $, y $ f_1 $ una restricción de $f_2$.En este caso, $ f_1 $ se denota a menudo como $ f_2 \vert A_1 $ y, claramente, $ f_1 (a) = f_2 (a) $ se mantiene para todo $ a \in A_1 $.

Atención:
A veces sólo se utiliza el gráfico $G_f$ para representar una función.En este caso dos mapeos son iguales si tienen la misma gráfica,y se pueden permitir gráficas que no sean conjuntos sino clases.
Mientras que el dominio de la función se puede obtener como proyección $ \pi_1 (G_f) $ de la primera componente, la proyección $ \pi_2 (G_f) $ de la segunda componente no produce el codominio sino sólo la imagen del dominio.Por lo tanto, el concepto de subjetividad no es aplicable.

Composición

Dos mapeos pueden ser compuestos si el codominio de un mapeo es un subconjunto del dominio del otro mapeo:

Para $ f=(A,B,G_f) $ y $ g=(C,D,G_g) $ con $ B \\Nsubconjunto C $la composición $ g \\Ncirc f $ es el mapeo $ (A,D,G) $ con

$ G := \{ (a,g(f(a))) \(a,c) = (existe b en B) ( (a,b) en G_f y (b,c) en G_g ) \} $.

Observaciones:
(a) La condición $ B \subconjunto C $ puede relajarse a $ f(A) \subconjunto C $.
(b) Si sólo se usan grafos entonces el grafo de la composición se define (como arriba) por

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\existe b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

pero puede resultar vacía.

Mapeos inducidos

Todo mapeo $ f : A \Na B $ induce dos mapeos entre los conjuntos de potencias $\P(A)$ y $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \to \P(B) $ definido por $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ para $ S \\\\Nsubconjunto A $

y

$ f^\ast : \P(B) \to \P(A) $ definido por $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ para $ T \subconjunto B $

$ f_\ast (S) $ se llama la imagen de $S$ bajo $f$, usualmente denotada como $f(S)$, y$ f^\ast (T) $ se llama la imagen inversa de $T$ bajo $f$, usualmente denotada como $f^{-1}(T)$, pero hay que tener en cuenta que estas notaciones comunes pueden ser ambiguas en ciertas situaciones.