El problemaEditar

La conjetura de Poincaré, propuesta por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, fue uno de los problemas clave de la topología. Cualquier bucle en una 3-esfera -como el conjunto de puntos a una distancia de 1 del origen en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones- puede contraerse en un punto. La conjetura de Poincaré afirma que cualquier colector tridimensional cerrado, en el que cualquier bucle puede contraerse en un punto, es topológicamente una 3-esfera. Se sabe que el resultado análogo es cierto en dimensiones mayores o iguales a cinco desde 1960, como en el trabajo de Stephen Smale. El caso de cuatro dimensiones se resistió más tiempo, siendo finalmente resuelto en 1982 por Michael Freedman. Pero el caso de los tres manifolds resultó ser el más difícil de todos. A grandes rasgos, esto se debe a que al manipular topológicamente una tricomarca hay muy pocas dimensiones para mover las «regiones problemáticas» fuera del camino sin interferir con algo más. La contribución más fundamental al caso tridimensional la había realizado Richard S. Hamilton. El papel de Perelman fue completar el programa de Hamilton.

La prueba de PerelmanEditar

En noviembre de 2002, Perelman publicó el primero de tres preprints en el arXiv, en el que afirmaba haber esbozado una prueba de la conjetura de geometrización, de la que la conjetura de Poincaré es un caso particular. A éste le siguieron otros dos preprints en 2003.

Perelman modificó el programa de Richard S. Hamilton para una prueba de la conjetura. La idea central es la noción de flujo de Ricci. La idea fundamental de Hamilton consiste en formular un «proceso dinámico» en el que un determinado triángulo se distorsiona geométricamente, y el proceso de distorsión se rige por una ecuación diferencial análoga a la ecuación del calor. La ecuación del calor (que mucho antes motivó a Riemann a enunciar su hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta) describe el comportamiento de cantidades escalares como la temperatura. Asegura que las concentraciones de temperatura elevada se extenderán hasta alcanzar una temperatura uniforme en todo un objeto. Del mismo modo, el flujo de Ricci describe el comportamiento de una cantidad tensorial, el tensor de curvatura de Ricci. La esperanza de Hamilton era que bajo el flujo de Ricci las concentraciones de gran curvatura se extenderán hasta que se logre una curvatura uniforme en todo el tríptico. De ser así, si se parte de cualquier trimeta y se deja que se produzca el flujo de Ricci, entonces se debería, en principio, obtener finalmente una especie de «forma normal». Según William Thurston esta forma normal debe tomar una de un pequeño número de posibilidades, cada una de las cuales tiene un tipo de geometría diferente, llamadas geometrías del modelo de Thurston.

Sin embargo, se esperaba ampliamente que el proceso se viera obstaculizado por el desarrollo de «singularidades». En la década de 1990, Hamilton avanzó en la comprensión de los posibles tipos de singularidades que pueden producirse, pero no pudo ofrecer una descripción completa. Los artículos de Perelman esbozaron una solución. Según Perelman, toda singularidad se parece a un cilindro que colapsa hacia su eje, o a una esfera que colapsa hacia su centro. Con este conocimiento, pudo construir una modificación del flujo de Ricci estándar, llamada flujo de Ricci con cirugía, que puede extirpar sistemáticamente las regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada. La idea del flujo de Ricci con cirugía estaba presente desde un artículo de 1993 de Hamilton, que lo había llevado a cabo con éxito en 1997 en el entorno de espacios de mayor dimensión sujetos a ciertas condiciones geométricas restringidas. El procedimiento de cirugía de Perelman era, en líneas generales, similar al de Hamilton, pero era sorprendentemente diferente en sus aspectos técnicos.

Perelman demostró que cualquier singularidad que se desarrolle en un tiempo finito es esencialmente un «pellizco» a lo largo de ciertas esferas correspondientes a la descomposición prima del 3-manifold. Además, cualquier singularidad de «tiempo infinito» resulta de ciertos trozos de colapso de la descomposición JSJ. El trabajo de Perelman demuestra esta afirmación y, por tanto, la conjetura de geometrización.

El contenido de los tres trabajos se resume a continuación:

• El primer preimpreso, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, proporciona muchas técnicas novedosas en el estudio del flujo de Ricci, cuyo resultado principal es un teorema que da una caracterización cuantitativa de las regiones de alta curvatura del flujo.
• El segundo preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, corrige algunas afirmaciones incorrectas del primer trabajo y completa algunos detalles, y utiliza el resultado principal del primer trabajo para prescribir el procedimiento de cirugía. La segunda mitad del artículo está dedicada a un análisis de los flujos de Ricci que existen durante un tiempo infinito.
• El tercer preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, proporciona un atajo para la demostración de la conjetura de Poincaré que evita los argumentos de la segunda mitad del segundo preprint. Muestra que en cualquier espacio que satisfaga los supuestos de la conjetura de Poincaré, el flujo de Ricci con cirugía existe sólo para un tiempo finito, de modo que el análisis en tiempo infinito del flujo de Ricci es irrelevante.

Tobias Colding y William Minicozzi II han proporcionado un argumento completamente alternativo al tercer preprint de Perelman. Su argumento, dado el prerrequisito de algunos argumentos sofisticados de la teoría de la medida geométrica tal y como se desarrollaron en la década de 1980, es particularmente sencillo.

VerificaciónEditar

Los preprints de Perelman ganaron rápidamente la atención de la comunidad matemática, aunque fueron ampliamente considerados como difíciles de entender ya que habían sido escritos de forma algo escueta. En contra del estilo habitual en las publicaciones matemáticas académicas, se habían omitido muchos detalles técnicos. Pronto se vio que Perelman había hecho importantes contribuciones a los fundamentos del flujo de Ricci, aunque la comunidad matemática no tuvo claro de inmediato que estas contribuciones fueran suficientes para demostrar la conjetura de geometrización o la conjetura de Poincaré.

En abril de 2003, Perelman visitó el Instituto Tecnológico de Massachusetts, la Universidad de Princeton, la Universidad de Stony Brook, la Universidad de Columbia y la Universidad de Nueva York para dar una breve serie de conferencias sobre su trabajo y aclarar algunos detalles a los expertos en los campos correspondientes.

En junio de 2003, Bruce Kleiner y John Lott, ambos entonces de la Universidad de Michigan, publicaron notas en el sitio web de Lott que, sección por sección, completaban muchos de los detalles del primer preprint de Perelman. En septiembre de 2004, sus notas se actualizaron para incluir el segundo preprint de Perelman. Tras nuevas revisiones y correcciones, publicaron una versión en el arXiv el 25 de mayo de 2006, cuya versión modificada se publicó en la revista académica Geometry & Topology en 2008. En el Congreso Internacional de Matemáticos de 2006, Lott dijo: «Nos ha llevado algún tiempo examinar el trabajo de Perelman. Esto se debe en parte a la originalidad del trabajo de Perelman y en parte a la sofisticación técnica de sus argumentos. Todo indica que sus argumentos son correctos». En la introducción de su artículo, Kleiner y Lott explicaron

Las pruebas de Perelman son concisas y, a veces, esquemáticas. El propósito de estas notas es proporcionar los detalles que faltan en … En cuanto a las pruebas, contienen algunas afirmaciones incorrectas y argumentos incompletos, que hemos intentado señalar al lector. (Algunos de los errores en se corrigieron en .) No encontramos ningún problema grave, es decir, problemas que no puedan corregirse utilizando los métodos introducidos por Perelman.

En junio de 2006, el Asian Journal of Mathematics publicó un artículo de Zhu Xiping, de la Universidad Sun Yat-sen de China, y de Huai-Dong Cao, de la Universidad Lehigh de Pensilvania, en el que se ofrecía una descripción completa de la prueba de Perelman de las conjeturas de Poincaré y de geometrización. A diferencia del artículo de Kleiner y Lott, que estaba estructurado como una colección de anotaciones a los documentos de Perelman, el artículo de Cao y Zhu estaba dirigido directamente a explicar las pruebas de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización. En su introducción, explican

En este artículo, presentaremos la teoría de Hamilton-Perelman del flujo de Ricci. Basándonos en ella, daremos cuenta por primera vez de una prueba completa de la conjetura de Poincaré y de la conjetura de geometrización de Thurston. Aunque la obra completa es un esfuerzo acumulado de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son sin duda Hamilton y Perelman. En este artículo, daremos pruebas completas y detalladas, especialmente del trabajo de Perelman en su segundo artículo, en el que muchas ideas clave de las pruebas están esbozadas o resumidas, pero a menudo faltan los detalles completos de las pruebas. Como hemos señalado antes, tenemos que sustituir varios argumentos clave de Perelman por nuevos enfoques basados en nuestro estudio, porque no pudimos comprender estos argumentos originales de Perelman, que son esenciales para completar el programa de geometrización.

En julio de 2006, John Morgan, de la Universidad de Columbia, y Gang Tian, del Instituto Tecnológico de Massachusetts, publicaron un artículo en el arXiv en el que ofrecían una presentación detallada de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré. A diferencia de las exposiciones de Kleiner-Lott y Cao-Zhu, la de Morgan y Tian también aborda el tercer documento de Perelman. El 24 de agosto de 2006, Morgan pronunció una conferencia en el ICM de Madrid sobre la conjetura de Poincaré, en la que declaró que el trabajo de Perelman había sido «exhaustivamente comprobado». En 2008, Morgan y Tian publicaron un artículo que recogía los detalles de la demostración de la conjetura de geometrización. Los dos artículos de Morgan y Tian han sido publicados en forma de libro por el Clay Mathematics Institute.

Revisiones de las verificacionesEditar

Las tres exposiciones anteriores han sido revisadas después de su publicación. Las exposiciones de Kleiner-Lott y Morgan-Tian tenían errores (que no afectaban al gran alcance), mientras que la exposición de Cao-Zhu atrajo críticas por su redacción y por un error de atribución.

Desde su publicación, el artículo de Kleiner y Lott ha sido revisado posteriormente en dos ocasiones para realizar correcciones, como por ejemplo por una declaración incorrecta del importante «teorema de compacidad» de Hamilton para el flujo de Ricci. La última revisión de su artículo fue en 2013. En 2015, Abbas Bahri señaló un error en la exposición de Morgan y Tian, que posteriormente fue corregido por Morgan y Tian y que se debió a un error de cálculo básico.

El artículo de Cao y Zhu fue criticado por algunas partes de la comunidad matemática por su elección de palabras, que algunos observadores interpretaron como una reivindicación de demasiado crédito para ellos mismos. El uso de la palabra «aplicación» en su título «A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow» (Una demostración completa de las conjeturas de Poincaré y de la geometrización: aplicación de la teoría de Hamilton-Perelman del flujo de Ricci) y la frase «This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow» (Esta demostración debería considerarse como el mayor logro de la teoría de Hamilton-Perelman del flujo de Ricci) en el resumen fueron especialmente criticados. Cuando se le preguntó al respecto, Perelman dijo que Cao y Zhu no habían aportado nada original, y que simplemente habían retocado su demostración porque «no entendían bien el argumento». Además, una de las páginas del artículo de Cao y Zhu era esencialmente idéntica a una del artículo de Kleiner y Lott de 2003. En una fe de erratas publicada, Cao y Zhu atribuyeron esto a un descuido, diciendo que en 2003 habían tomado notas de la versión inicial de las notas de Kleiner y Lott, y que en su redacción de 2006 no se habían dado cuenta de la fuente adecuada de las notas. Publicaron una versión revisada en el arXiv con revisiones en su redacción y en la página pertinente de la prueba.

Puntos de vista actualesEditar

A partir de 2020, sigue habiendo algunos matemáticos que, aunque se reconoce universalmente que Perelman hizo enormes avances en la teoría del flujo de Ricci, no aceptan que las conjeturas de Poincaré y de geometrización hayan sido probadas. Para estos observadores, las partes problemáticas de la prueba se encuentran en la segunda mitad del segundo preimpreso de Perelman. Por ejemplo, el medallista Fields Shing-Tung Yau dijo en 2019 que

Aunque puede ser una herejía por mi parte decir esto, no estoy seguro de que la prueba esté totalmente clavada. Estoy convencido, como ya he dicho muchas veces, de que Perelman hizo un trabajo brillante respecto a la formación y estructura de las singularidades en espacios tridimensionales, trabajo que sí fue merecedor de la medalla Fields que le fue concedida. La cuestión es que hay muy pocos expertos en el área del flujo de Ricci, y todavía no he conocido a nadie que afirme tener una comprensión completa de la última parte, la más difícil, de la prueba de Perelman Hasta donde yo sé, nadie ha tomado algunas de las técnicas que Perelman introdujo hacia el final de su artículo y las ha utilizado con éxito para resolver cualquier otro problema importante. Esto me sugiere que otros matemáticos tampoco dominan todavía este trabajo y sus metodologías.

Por el contrario, cuando se concedió el premio Millenium a Perelman por la «resolución de la conjetura de Poincaré» en 2010, el medallista Fields Simon Donaldson, en uno de los elogios del premio, dijo

Desde el momento en que aparecieron los preprints relativos a las conjeturas de Poincaré y de Geometrización, los matemáticos de todo el mundo se han unido para expresar su aprecio, asombro y maravilla ante su extraordinario logro, y creo que hablo aquí como representante de toda nuestra comunidad intelectual. Resuelve un problema excepcional y centenario.