Hay dos fórmulas básicas que ya conocemos:
1) Total = n(Ningún conjunto) + n(Exactamente un conjunto) + n(Exactamente dos conjuntos) + n(Exactamente tres conjuntos)

2) Total = n(A) + n(B) + n(C) – n(A y B) – n(B y C) – n(C y A) + n(A y B y C) + n(Ningún conjunto)

A partir de estas dos fórmulas, podemos derivar todas las demás.

n(Exactamente un conjunto) + n(Exactamente dos conjuntos) + n(Exactamente tres conjuntos) nos da n(Al menos un conjunto). Así obtenemos:

3) Total = n(Ningún conjunto) + n(Al menos un conjunto)

A partir de (3), obtenemos n(Al menos un conjunto) = Total – n(Ningún conjunto)

Colocando esto en (2), obtenemos entonces:

4) n(Al menos un conjunto) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A y B) – n(B y C) – n(C y A) + n(A y B y C)

Ahora veamos cómo podemos calcular el número de personas en exactamente dos conjuntos. Hay una razón por la que saltamos a n(Exactamente dos conjuntos) en lugar de seguir el siguiente paso más lógico de calcular n(Al menos dos conjuntos) – será más intuitivo obtener n(Al menos dos conjuntos) después de encontrar n(Exactamente dos conjuntos).

n(A y B) incluye a las personas que están tanto en A como en B y también incluye a las personas que están en A, B y C. Debido a esto, debemos quitar n(A y B y C) de n(A y B) para obtener n(A y B solamente). Del mismo modo, se obtiene n(Sólo B y C) y n(Sólo C y A), por lo que la suma de estos tres nos dará el número de personas en exactamente 2 conjuntos.

n(Exactamente dos conjuntos) = n(A y B) – n(A y B y C) + n(B y C) – n(A y B y C) + n(C y A) – n(A y B y C). Por tanto:

5) n(Exactamente dos conjuntos) = n(A y B) + n(B y C) + n(C y A) – 3*n(A y B y C)

Ahora podemos obtener fácilmente n(Al menos dos conjuntos):

6) n(Al menos dos conjuntos) = n(A y B) + n(B y C) + n(C y A) – 2*n(A y B y C)

Esto es sólo n(A y B y C) más que n(Exactamente dos conjuntos). Eso tiene sentido, ¿no? Aquí, incluyes a las personas que están en los tres conjuntos una vez y n(Exactamente dos conjuntos) se convierte en n(Al menos dos conjuntos)!

Ahora, pasamos a encontrar n(Exactamente un conjunto). A n(Al menos un conjunto), le restamos n(Al menos dos conjuntos); es decir restamos (6) de (4)

n(Exactamente un conjunto) = n(Al menos un conjunto) – n(Al menos dos conjuntos), por tanto:

7) n(Exactamente un conjunto) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A y B) – 2*n(B y C) – 2*n(C y A) + 3*n(A y B y C)

No necesitas aprender todas estas fórmulas. Sólo tienes que centrarte en las dos primeras y saber cómo puedes llegar a las demás si es necesario. Intentemos esto en un problema de ejemplo:

Entre 250 espectadores entrevistados que ven al menos uno de los tres canales de televisión que son A, B &C. 116 ven A, 127 ven C, mientras que 107 ven B. Si 50 ven exactamente dos canales. ¿Cuántos ven exactamente un canal?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Se da que:

n(Al menos un canal) = 250

n(Exactamente dos canales) = 50

Entonces sabemos que n(Al menos un canal) = n(Exactamente 1 canal) + n(Exactamente 2 canales) + n(Exactamente 3 canales) = 250

250 = n(Exactamente 1 canal) + 50 + n(Exactamente 3 canales)

Hallemos el valor de n(Exactamente 3 canales) = x

También sabemos que n(Al menos un canal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A y B) – n(B y C) – n(C y A) + n(A y B y C) = 250

También, n(Exactamente dos canales) = n(A y B) + n(B y C) + n(C y A) – 3*n(A y B y C)

Entonces n(A y B) + n(B y C) + n(C y A) = n(Exactamente dos canales) + 3*n(A y B y C)

Colocando esto en la ecuación anterior:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Exactamente dos canales) – 3*x + x