En el caso de la eliminación gaussiana, el algoritmo requiere que los elementos pivote no sean cero.Es necesario intercambiar filas o columnas en el caso de un elemento pivote cero. El sistema siguiente requiere el intercambio de las filas 2 y 3 para realizar la eliminación.

{\displaystyle \left}

El sistema que resulta del pivote es el siguiente y permitirá que el algoritmo de eliminación y la sustitución hacia atrás den como resultado la solución del sistema.

{\displaystyle \a la izquierda}

Además, en la eliminación gaussiana generalmente es deseable elegir un elemento pivote con valor absoluto grande. Esto mejora la estabilidad numérica. El siguiente sistema se ve dramáticamente afectado por el error de redondeo cuando se realiza la eliminación gaussiana y la sustitución hacia atrás.

Este sistema tiene la solución exacta de x1 = 10,00 y x2 = 1,000, pero cuando se realiza el algoritmo de eliminación y la sustitución hacia atrás utilizando aritmética de cuatro dígitos, el pequeño valor de a11 hace que se propaguen pequeños errores de redondeo. El algoritmo sin pivotaje arroja la aproximación de x1 ≈ 9873,3 y x2 ≈ 4. En este caso es conveniente que intercambiemos las dos filas para que a21 esté en la posición del pivote

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