La ecuación de Dirac en la forma originalmente propuesta por Dirac es:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop{=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}

donde ψ = ψ(x, t) es la función de onda para el electrón de masa en reposo m con coordenadas espaciotemporales x, t. Los p1, p2, p3 son las componentes del momento, entendido como el operador de momento en la ecuación de Schrödinger. Además, c es la velocidad de la luz, y ħ es la constante reducida de Planck. Estas constantes físicas fundamentales reflejan la relatividad especial y la mecánica cuántica, respectivamente.

El propósito de Dirac al plantear esta ecuación era explicar el comportamiento del electrón en movimiento relativista, y así permitir que el átomo se tratara de forma coherente con la relatividad. Su modesta esperanza era que las correcciones introducidas de esta manera podrían tener relación con el problema de los espectros atómicos.

Hasta ese momento, los intentos de hacer compatible la antigua teoría cuántica del átomo con la teoría de la relatividad, intentos basados en la discretización del momento angular almacenado en la órbita posiblemente no circular del electrón en el núcleo atómico, habían fracasado – y la nueva mecánica cuántica de Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger y el propio Dirac no se había desarrollado lo suficiente para tratar este problema. Aunque las intenciones originales de Dirac se vieron satisfechas, su ecuación tuvo implicaciones mucho más profundas para la estructura de la materia e introdujo nuevas clases matemáticas de objetos que ahora son elementos esenciales de la física fundamental.

Los nuevos elementos de esta ecuación son las cuatro matrices 4 × 4 α1, α2 , α3 y β, y la función de onda de cuatro componentes ψ. Hay cuatro componentes en ψ porque la evaluación de la misma en cualquier punto del espacio de configuración es un bispinor. Se interpreta como una superposición de un electrón con espín arriba, un electrón con espín abajo, un positrón con espín arriba y un positrón con espín abajo (véase más adelante para una mayor discusión).

Las matrices de 4 × 4 αk y β son todas hermitianas y son involuntarias:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}

y todos ellos se anticonmutan mutuamente:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \aquad _{i}\aquad +\aquad \aquad _{i}=0}

Estas matrices y la forma de la función de onda tienen un profundo significado matemático. La estructura algebraica representada por las matrices gamma había sido creada unos 50 años antes por el matemático inglés W. K. Clifford. A su vez, las ideas de Clifford habían surgido del trabajo de mediados del siglo XIX del matemático alemán Hermann Grassmann en su Lineale Ausdehnungslehre (Teoría de las extensiones lineales). Este último había sido considerado casi incomprensible por la mayoría de sus contemporáneos. La aparición de algo tan aparentemente abstracto, en una fecha tan tardía, y de una manera física tan directa, es uno de los capítulos más notables de la historia de la física.

La única ecuación simbólica se desvela así en cuatro ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden acopladas para las cuatro cantidades que componen la función de onda. La ecuación puede escribirse más explícitamente en unidades de Planck como

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{begin{bmatrix}\psi _{1}\psi _{2}\\psi _{3}\\\\ds}{bmatrix}=i\partial _{x}{begin{bmatrix}-\{{4}} {{3}} {{2}} {{1}}final{bmatriz}} + {{y}} {{comenzar{bmatriz}}.\i-parcial _{4}+psi _{3}+psi _{2}+psi _{1}{final}+i-parcial _{z}{comienzo}+psi _{3}+psi _{4}-\{{continuación}}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación}+m{continuación} \{3}}-\i} {2}}-\i} {1}final {bmatriz}}+i} {y} {inicio{bmatriz}}-\i} {4}}+i} {3}}-\i} {2}}+i} {1}final {bmatriz}}+i} {parcial {{z}} {inicio{bmatriz}}-\…+psi _{3}+psi _{4}+psi _{1}+psi _{2}{bmatriz}+m{comenzar{bmatriz}+psi _{1}+psi _{2}+psi _{3}-…\psi _{4}\\\\\\Nfinal{bmatrix}}

lo que aclara que se trata de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales con cuatro funciones desconocidas.

Hacer la ecuación de Schrödinger relativistaEditar

La ecuación de Dirac es superficialmente similar a la ecuación de Schrödinger para una partícula libre masiva:

– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m} {\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

El lado izquierdo representa el cuadrado del operador de momento dividido por el doble de la masa, que es la energía cinética no relativista. Dado que la relatividad trata el espacio y el tiempo como un todo, una generalización relativista de esta ecuación requiere que las derivadas del espacio y del tiempo entren simétricamente como lo hacen en las ecuaciones de Maxwell que gobiernan el comportamiento de la luz – las ecuaciones deben ser diferencialmente del mismo orden en el espacio y en el tiempo. En la relatividad, el momento y las energías son las partes espaciales y temporales de un vector espaciotemporal, el cuatromomento, y están relacionadas por la relación relativísticamente invariante

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}

que dice que la longitud de este cuatro vector es proporcional a la masa en reposo m. Sustituyendo los operadores equivalentes de la energía y el momento de la teoría de Schrödinger, obtenemos la ecuación de Klein-Gordon que describe la propagación de las ondas, construida a partir de objetos relativistamente invariantes,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{{frac {1}{c^{2}} {{frac {parcial ^{2}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={{frac {m^{2}c^{2}} {{hbar ^{2}}\phi }

siendo la función de onda ϕ un escalar relativista: un número complejo que tiene el mismo valor numérico en todos los marcos de referencia. Las derivadas espaciales y temporales entran ambas en segundo orden. Esto tiene una consecuencia reveladora para la interpretación de la ecuación. Dado que la ecuación es de segundo orden en la derivada temporal, hay que especificar valores iniciales tanto de la propia función de onda como de su primera derivada temporal para resolver problemas definidos. Dado que ambos pueden especificarse de forma más o menos arbitraria, la función de onda no puede mantener su antiguo papel de determinar la densidad de probabilidad de encontrar el electrón en un estado de movimiento determinado. En la teoría de Schrödinger, la densidad de probabilidad viene dada por la expresión definida positiva

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

y esta densidad se convoca según el vector de corriente de probabilidad

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla ^{*})}

con la conservación de la corriente y la densidad de probabilidad siguiendo la ecuación de continuidad:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\parcial \rho }{parcial t}}=0~.}

El hecho de que la densidad sea definida positiva y se convierta según esta ecuación de continuidad implica que podemos integrar la densidad sobre un cierto dominio y poner el total a 1, y esta condición será mantenida por la ley de conservación. Una teoría relativista adecuada con una corriente de densidad probabilística también debe compartir esta característica. Ahora bien, si deseamos mantener la noción de una densidad convectiva, entonces debemos generalizar la expresión de Schrödinger de la densidad y la corriente de forma que las derivadas espaciales y temporales vuelvan a entrar simétricamente en relación con la función de onda escalar. Se nos permite mantener la expresión de Schrödinger para la corriente, pero debemos sustituir la densidad de probabilidad por la expresión formada simétricamente

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={frac {i\hbar }{2mc^{2}}(\psi ^{*} {partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*})~.}

que ahora se convierte en la 4ª componente de un vector espaciotemporal, y toda la densidad de probabilidad de 4 corrientes tiene la expresión relativistamente covariante

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}(\psi ^{*} {parcial ^{\mu }\psi -\psi ^{\mu }\psi ^{*})~.}

La ecuación de continuidad es como antes. Ahora todo es compatible con la relatividad, pero vemos inmediatamente que la expresión para la densidad ya no es definida positiva – los valores iniciales tanto de ψ como de ∂tψ pueden ser elegidos libremente, y la densidad puede así volverse negativa, algo que es imposible para una densidad de probabilidad legítima. Así, no podemos obtener una simple generalización de la ecuación de Schrödinger bajo la ingenua suposición de que la función de onda es un escalar relativista, y la ecuación que satisface, de segundo orden en el tiempo.

Aunque no es una generalización relativista exitosa de la ecuación de Schrödinger, esta ecuación resurge en el contexto de la teoría cuántica de campos, donde se conoce como ecuación de Klein-Gordon, y describe un campo de partículas sin espín (por ejemplo, el mesón pi o el bosón de Higgs). Históricamente, el propio Schrödinger llegó a esta ecuación antes que la que lleva su nombre, pero pronto la descartó. En el contexto de la teoría cuántica de campos, se entiende que la densidad indefinida corresponde a la densidad de carga, que puede ser positiva o negativa, y no a la densidad de probabilidad.

El golpe de DiracEditar

Dirac pensó así en intentar una ecuación que fuera de primer orden tanto en el espacio como en el tiempo. Uno podría, por ejemplo, formalmente (es decir por abuso de la notación) tomar la expresión relativista para la energía

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\\qrt {p^{2}+m^{2}c^{2}},}

reemplazar p por su operador equivalente, expandir la raíz cuadrada en una serie infinita de operadores derivados, establecer un problema de valores propios, y luego resolver la ecuación formalmente por iteraciones. La mayoría de los físicos tenían poca fe en ese proceso, aunque fuera técnicamente posible.

Según cuenta la historia, Dirac estaba mirando la chimenea en Cambridge, reflexionando sobre este problema, cuando se le ocurrió la idea de tomar la raíz cuadrada del operador de onda así:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\parcial ^{2}}{{parcial t^{2}}=\left(A\parcial _{x}+B\parcial _{y}+C\parcial _{z}+{\frac {i}{c}}D\\Nparcial _{t}{d})}=izquierda(A\Nparcial _{x}+B\Nparcial _{y}+C\Nparcial _{z}+{frac {i}{c}D\Nparcial _{t}{d})}.}

Al multiplicar el lado derecho vemos que, para conseguir que todos los términos cruzados como ∂x∂y desaparezcan, debemos suponer

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

con

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, que acababa de estar intensamente involucrado en la elaboración de los fundamentos de la mecánica matricial de Heisenberg, comprendió inmediatamente que estas condiciones podían cumplirse si A, B, C y D son matrices, con la implicación de que la función de onda tiene múltiples componentes. Esto explicó inmediatamente la aparición de funciones de onda de dos componentes en la teoría fenomenológica del espín de Pauli, algo que hasta entonces se había considerado misterioso, incluso para el propio Pauli. Sin embargo, se necesitan al menos matrices de 4 × 4 para establecer un sistema con las propiedades requeridas, por lo que la función de onda tenía cuatro componentes, no dos, como en la teoría de Pauli, o una, como en la teoría de Schrödinger desnuda. La función de onda de cuatro componentes representa una nueva clase de objeto matemático en las teorías físicas que hace su primera aparición aquí.

Dada la factorización en términos de estas matrices uno puede ahora escribir inmediatamente una ecuación

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{{frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

con κ {{pantalla}{kappa}}.

a determinar. Aplicando de nuevo el operador matricial a ambos lados se obtiene ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \\\a la izquierda(\nabla ^{2}-{frac {1}{c^{2}}parcial _{t}^{2}\a la derecha)\a la derecha)\a la izquierda =\a la kappa ^{2}\a la derecha.}

Al tomar κ = m c ℏ {{displaystyle \Nkappa ={tfrac {mc}{hbar}}

encontramos que todos los componentes de la función de onda satisfacen individualmente la relación relativista energía-momento. Así, la ecuación buscada que es de primer orden tanto en el espacio como en el tiempo es ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{{frac {i}{c}}D\partial _{t}-{frac {mc}{hbar}}right)\psi =0~.}

Configuración

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=ibeta \alpha _{1}{,,\},B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=beta ~,}

y como D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=\Nbeta ^{2}=I_{4}~,}

obtenemos la ecuación de Dirac como se ha escrito anteriormente.

Forma covariante e invariancia relativistaEditar

Para demostrar la invariancia relativista de la ecuación, es ventajoso plasmarla en una forma en la que las derivadas espaciales y temporales aparezcan en igualdad de condiciones. Se introducen nuevas matrices como sigue:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

y la ecuación toma la forma (recordando la definición de las componentes covariantes del 4-gradiente y sobre todo que ∂0 = 1/c∂t )

ecuación de Dirac

i ℏ γ μ ∂ μ ψ – m c ψ = 0 {\displaystyle i\hbar \gamma ^{mu }\partial _{mu }\psi -mc\psi =0}.

donde hay un sumatorio implícito sobre los valores del índice dos veces repetido μ = 0, 1, 2, 3, y ∂μ es el gradiente 4. En la práctica uno suele escribir las matrices gamma en términos de submatrices de 2 × 2 tomadas de las matrices de Pauli y de la matriz identidad de 2 × 2. Explícitamente la representación estándar es

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

El sistema completo se resume utilizando la métrica de Minkowski en el espaciotiempo en la forma

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {\displaystyle \{gamma ^{mu },\{gamma ^{nu }}=2\{{mu \{nu }} I_{4}.

donde la expresión de corchetes

{ a , b } = a b + b I_{4}. = a b + b a {{pantalla}{a,b}=ab+ba}

denota el anticomutador. Estas son las relaciones definitorias de un álgebra de Clifford sobre un espacio pseudo-ortogonal de 4 dimensiones con firma métrica (+ – – -). El álgebra de Clifford específica empleada en la ecuación de Dirac se conoce hoy como álgebra de Dirac. Aunque Dirac no la reconoció como tal en el momento de formular la ecuación, en retrospectiva la introducción de esta álgebra geométrica representa un enorme avance en el desarrollo de la teoría cuántica.

La ecuación de Dirac puede interpretarse ahora como una ecuación de valores propios, en la que la masa en reposo es proporcional a un valor propio del operador de 4 momentos, siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz:

P o p ψ = m c ψ . {\displaystyle P_{mathrm {op} }\psi =mc\psi ~.}

Usando ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {{displaystyle}} {{parcial}} {{p} /} {{stackrel}} {{mathrm}} {{def}} {{=}}que es una gamma ^{\\mu}}parcial _{\mu}}

( ∂ / {\displaystyle {{partial \!\\!\big /}}}

se pronuncia «d-barra»), según la notación de barra de Feynman, la ecuación de Dirac se convierte en: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {\a6}*Parcial \a6}*Grande /}*Presión -mc =0.}

En la práctica, los físicos suelen utilizar unidades de medida tales que ħ = c = 1, conocidas como unidades naturales. La ecuación toma entonces la forma simple

Ecuación de Dirac (unidades naturales)

( i ∂ / – m ) ψ = 0 {\displaystyle (i{parcial \!\!\big /}}-m)\psi =0}.

Un teorema fundamental afirma que si se dan dos conjuntos distintos de matrices que satisfacen ambos las relaciones de Clifford, entonces están conectados entre sí por una transformación de similitud:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Si además las matrices son todas unitarias, al igual que el conjunto de Dirac, entonces S mismo es unitario;

γ μ ′ = U † γ μ U . {\displaystyle ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

La transformación U es única hasta un factor multiplicativo de valor absoluto 1. Imaginemos ahora que se ha realizado una transformación de Lorentz sobre las coordenadas espaciales y temporales, y sobre los operadores derivados, que forman un vector covariante. Para que el operador γμ∂μ permanezca invariante, los gammas deben transformarse entre sí como un vector contravariante con respecto a su índice espaciotemporal. Estos nuevos gammas satisfarán a su vez las relaciones de Clifford, debido a la ortogonalidad de la transformación de Lorentz. Por el teorema fundamental, podemos sustituir el nuevo conjunto por el antiguo sujeto a una transformación unitaria. En el nuevo marco, recordando que la masa en reposo es un escalar relativista, la ecuación de Dirac tomará entonces la forma

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle U^{\dagger }(i\\\mu }parcial _{\mu }^{prime }-m)U\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Si ahora definimos el espinor transformado

ψ ′ = U ψ {\displaystyle ^{prime }=U\psi }

entonces tenemos la ecuación de Dirac transformada de forma que se demuestra la invariancia relativista manifiesta:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle (i\\\\mu }parcial _{\mu }^{prime }-m)\psi ^{{prime }(x^{{prime },t^{{prime })=0~.}

Así, una vez que nos conformamos con cualquier representación unitaria de los gammas, es definitiva siempre que transformemos el espinor según la transformación unitaria que corresponde a la transformación de Lorentz dada.

Las distintas representaciones de las matrices de Dirac empleadas pondrán de manifiesto aspectos particulares del contenido físico en la función de onda de Dirac (ver más adelante). La representación mostrada aquí se conoce como la representación estándar – en ella, los dos componentes superiores de la función de onda pasan a la función de onda del espinor 2 de Pauli en el límite de energías bajas y velocidades pequeñas en comparación con la luz.

Las consideraciones anteriores revelan el origen de los gammas en la geometría, recordando la motivación original de Grassmann – representan una base fija de vectores unitarios en el espaciotiempo. Del mismo modo, los productos de los gammas como γμγν representan elementos de superficie orientados, y así sucesivamente. Teniendo esto en cuenta, podemos encontrar la forma del elemento de volumen unitario en el espaciotiempo en términos de los gammas como sigue. ¡Por definición, es

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β . {\displaystyle V={frac {1}{4!}}epsilon _{mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{mu }\gamma ^{nu }\gamma ^{alpha }\gamma ^{beta }.}

Para que esto sea un invariante, el símbolo épsilon debe ser un tensor, y por tanto debe contener un factor de √g, donde g es el determinante del tensor métrico. Como éste es negativo, ese factor es imaginario. Así

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Esta matriz recibe el símbolo especial γ5, debido a su importancia cuando se consideran transformaciones impropias del espacio-tiempo, es decir, las que cambian la orientación de los vectores base. En la representación estándar, es

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

También se encontrará que esta matriz es anticompatible con las otras cuatro matrices de Dirac:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}.

Asume un papel principal cuando surgen cuestiones de paridad porque el elemento de volumen como magnitud dirigida cambia de signo bajo una reflexión espacio-temporal. Tomar la raíz cuadrada positiva por encima equivale a elegir una convención de handedness en el espacio-tiempo.

Conservación de la corriente de probabilidadEditar

Definiendo el espinor adjunto

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

donde ψ† es la transposición conjugada de ψ, y observando que

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,

obtenemos, tomando el conjugado hermitiano de la ecuación de Dirac y multiplicando por la derecha por γ0, la ecuación adjunta:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\parcial _{\mu }+m)=0~,

donde ∂μ se entiende que actúa a la izquierda. Multiplicando la ecuación de Dirac por ψ de la izquierda, y la ecuación adjunta por ψ de la derecha, y sumando, se obtiene la ley de conservación de la corriente de Dirac:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partial _{mu }\left({\bar {\psi }}gamma ^{mu }\psi \right)=0~.}

Ahora vemos la gran ventaja de la ecuación de primer orden sobre la que había probado Schrödinger – se trata de la densidad de corriente conservada requerida por la invariancia relativista, sólo que ahora su 4ª componente es definida positiva y por tanto adecuada para el papel de una densidad de probabilidad:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={{barra} {\psi} {{gamma} ^{0} {\psi} ={\psi} ^{daga} {\psi} ~.}

Debido a que la densidad de probabilidad aparece ahora como la cuarta componente de un vector relativista y no como un simple escalar como en la ecuación de Schrödinger, estará sujeta a los efectos habituales de las transformaciones de Lorentz, como la dilatación del tiempo. Así, por ejemplo, los procesos atómicos que se observan como tasas, se ajustarán necesariamente de forma coherente con la relatividad, mientras que los que implican la medición de la energía y el momento, que forman ellos mismos un vector relativista, sufrirán un ajuste paralelo que preserve la covarianza relativista de los valores observados. La propia corriente de Dirac es entonces el cuatro vector covariante del espacio-tiempo:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={barra {\psi }}{gamma ^{\mu }\psi .}

SolutionsEdit

Véase el espinor de Dirac para los detalles de las soluciones de la ecuación de Dirac. Nótese que, dado que el operador de Dirac actúa sobre 4 pares de funciones cuadradas integrables, sus soluciones deben ser miembros del mismo espacio de Hilbert. El hecho de que las energías de las soluciones no tienen un límite inferior es inesperado – ver la sección de la teoría de agujeros a continuación para más detalles.

Comparación con la teoría de PauliEditar

La necesidad de introducir el espín medio entero se remonta experimentalmente a los resultados del experimento de Stern-Gerlach. Un haz de átomos se hace pasar por un fuerte campo magnético no homogéneo, que luego se divide en N partes dependiendo del momento angular intrínseco de los átomos. Se descubrió que, en el caso de los átomos de plata, el haz se dividía en dos, por lo que el estado básico no podía ser entero, ya que incluso si el momento angular intrínseco de los átomos fuera lo más pequeño posible, 1, el haz se dividiría en tres partes, correspondientes a átomos con Lz = -1, 0, +1. La conclusión es que los átomos de plata tienen un momento angular intrínseco neto de 1⁄2. Pauli estableció una teoría que explicaba este desdoblamiento introduciendo una función de onda de dos componentes y un término de corrección correspondiente en el Hamiltoniano, que representaba un acoplamiento semiclásico de esta función de onda a un campo magnético aplicado, así en unidades del SI: (Nótese que los caracteres en negrita implican vectores euclidianos en 3 dimensiones, mientras que el cuatro vector de Minkowski Aμ puede definirse como A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}.

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={frac {1}{2m}}left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Aquí A y ϕ {\displaystyle \phi }

representan las componentes del cuatro potencial electromagnético en sus unidades estándar del SI, y los tres sigmas son las matrices de Pauli. Al elevar al cuadrado el primer término, se encuentra una interacción residual con el campo magnético, junto con el Hamiltoniano clásico habitual de una partícula cargada que interactúa con un campo aplicado en unidades del SI H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={{frac {1}{2m}}left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{{frac {e\hbar }{2m}} {\boldsymbol {\sigma }}cdot \mathbf {B} ~.}

Este hamiltoniano es ahora una matriz de 2 × 2, por lo que la ecuación de Schrödinger basada en él debe utilizar una función de onda de dos componentes. Al introducir el potencial electromagnético externo de 4 vectores en la ecuación de Dirac de forma similar, conocida como acoplamiento mínimo, ésta toma la forma:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\{{mu }(i\hbar \{mu }-eA_{mu })-mc)\psi =0~.}

Una segunda aplicación del operador de Dirac reproducirá ahora el término de Pauli exactamente como antes, porque las matrices espaciales de Dirac multiplicadas por i, tienen las mismas propiedades de cuadratura y conmutación que las matrices de Pauli. Es más, el valor de la relación giroscópica del electrón, que se encuentra frente al nuevo término de Pauli, se explica desde los primeros principios. Este fue un gran logro de la ecuación de Dirac y dio a los físicos una gran fe en su corrección general. Sin embargo, hay más. La teoría de Pauli puede verse como el límite de baja energía de la teoría de Dirac de la siguiente manera. En primer lugar, la ecuación se escribe en forma de ecuaciones acopladas para 2 espinores con las unidades del SI restauradas:

( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol} {\sigma} {\cdot{\i} a la izquierda(\mathbf {p} -e\mathbf {A} a la derecha)\c{\boldsymbol} {\i} a la izquierda(\i} -e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

así que

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }} {\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}

Suponiendo que el campo es débil y el movimiento del electrón no es relativista, tenemos la energía total del electrón aproximadamente igual a su energía de reposo, y el momento pasando al valor clásico,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} }

y así la segunda ecuación puede escribirse

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-{approx} {frac {1}{2mc}} {símbolo de negrita}} {cdot} {izquierda}(\mathbf {p} -e\mathbf {A} {derecha)\psi _{+}}

que es de orden v/c – por lo tanto a energías y velocidades típicas, las componentes inferiores del espinor de Dirac en la representación estándar están muy suprimidas en comparación con las componentes superiores. Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación se obtiene, después de algún reordenamiento,

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={frac {1}{2}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}

{displaystyle (E-mc^{2})\\Nde la energía de la partícula reducida por su energía de reposo, que no es más que la energía clásica, por lo que recuperamos la teoría de Pauli si identificamos su espinor 2 con las componentes superiores del espinor de Dirac en la aproximación no relativista. Otra aproximación da la ecuación de Schrödinger como límite de la teoría de Pauli. Así, la ecuación de Schrödinger puede verse como la aproximación no relativista lejana de la ecuación de Dirac cuando se puede despreciar el espín y trabajar sólo a bajas energías y velocidades. Esto también supuso un gran triunfo para la nueva ecuación, ya que permitió rastrear la misteriosa i que aparece en ella, y la necesidad de una función de onda compleja, hasta la geometría del espaciotiempo a través del álgebra de Dirac. También pone de manifiesto por qué la ecuación de Schrödinger, aunque superficialmente tiene la forma de una ecuación de difusión, en realidad representa la propagación de ondas.

Hay que subrayar con fuerza que esta separación del espinor de Dirac en componentes grandes y pequeños depende explícitamente de una aproximación de baja energía. Todo el espinor de Dirac representa un conjunto irreducible, y los componentes que acabamos de despreciar para llegar a la teoría de Pauli aportarán nuevos fenómenos en el régimen relativista: la antimateria y la idea de creación y aniquilación de partículas.

Comparación con la teoría de WeylEditar

En el límite m → 0, la ecuación de Dirac se reduce a la ecuación de Weyl, que describe partículas relativistas sin masa de espín-1⁄2.

Lagrangiana de DiracEditar

Tanto la ecuación de Dirac como la ecuación de Dirac Adjunta pueden obtenerse a partir de (variar) la acción con una densidad lagrangiana específica que viene dada por:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{overline {\psi }{gamma ^{\mu }{partial _{\mu }{psi} -mc^{2}{{\\a}}