Voy a definir una función s de N y la voy a definir como la suma la suma de todos los enteros positivos enteros positivos incluyendo n incluyendo n y así el dominio de esta función es realmente todos los enteros positivos y tiene que ser un entero positivo y así podemos probarlo con algunas cosas podríamos tomar s de 3 esto va a ser igual a 1 más 2 más 3 que es igual a 6 podríamos tomar s de tomemos s de 4 bueno eso va a ser 1 más 2 más 3 más 4 que va a ser igual a 10 así que bastante bastante sencillo ahora lo que quiero hacer en este es demostrarte, y en realidad hay múltiples formas de demostrarlo, que puedo escribirlo como una función de n, que la suma de todos los enteros positivos hasta e incluyendo n es igual a n veces n más 1, todo ello sobre 2, y la forma en que voy a demostrarlo, al menos la primera forma en que voy a demostrarlo, es por inducción. por inducción, es una forma filosófica interesante de probar algo, porque la forma de hacer una prueba por inducción es primero probar el caso base, así que en el caso de esta función, este enunciado está aquí, así que esto es lo que necesitamos probar en el caso de este enunciado, primero vamos a probarlo 4-1 que va a ser nuestro caso base y luego vamos a hacer el paso de la inducción el paso de la inducción que es esencialmente decir que si asumimos que funciona para algunos enteros positivos K que si por lo que si asumimos que entonces podemos demostrar que va a trabajar para el siguiente entero positivo que va a trabajar para K más 1 y la razón por la que esto funciona digamos que probamos si probamos ambas cosas, así que el caso base lo vamos a probar para en este caso vamos a probar para 1 probar para 1 pero no siempre tiene que ser 1 porque podrías tu tuyo podría ser esto es cierto para todo por encima de 55 o todo por encima de algún umbral, pero en este caso estamos diciendo que es cierto para todos los enteros positivos por lo que nuestro caso base va a ser 4 1 y, a continuación, nuestro siguiente F vamos a tratar de demostrar que si se asume si se asume 4 si se asume que esto es cierto para algunos de K si asumimos que entonces va a ser cierto para algunos de K más 1 y la razón por la que esto es todo lo que tienes que hacer para demostrar esto para todos los enteros positivos es sólo imaginar así que vamos a pensar en todos los enteros positivos aquí 1 2 3 4 5 6 que podría seguir para siempre por lo que vamos a demostrar que 4-1 vamos a demostrar que esta fórmula aquí esta expresión se aplica para el caso de 1 cuando n es 1 y luego vamos a demostrar que si sabemos que es cierto para cualquier K dado que es cierto para el siguiente así que si sabemos que es cierto para 1 en nuestro caso base entonces el segundo paso este paso de inducción dice bien debe ser cierto para 2 entonces porque hemos demostrado en general si es cierto para K va a ser cierto para K más 1, así que si es cierto para 2, entonces debe ser cierto para 3, porque hemos demostrado que si es cierto para K, es cierto para K más 1, así que si es cierto para 2, es cierto para 3, y si es cierto para 3, tiene que ser cierto para 4, y se puede seguir y seguir para siempre, lo que significa que es cierto para todo. hagamos esta función en 1, así que va a ser la suma de todos los enteros positivos incluyendo 1, literalmente va a ser 1, acabamos de sumarlos todos, es sólo 1, no hay ningún otro entero positivo hasta el 1 y podemos demostrar que esto es lo mismo que 1 veces 1 más 1, todo eso sobre 2, 1 más 1 es 2, 2 dividido por 2 es 1, 1 veces 1 es 1, así que esta fórmula de aquí, esta expresión funcionó… para 1, así que hemos demostrado que nuestro caso base lo hemos demostrado para 1, ahora lo que quiero hacer es asumir que funciona para algún número para algún número K, así que voy a asumir que es cierto para algún número K, así que voy a asumir que para algún número K esta función en K va a ser igual a K veces k más 1 sobre 2, así que estoy asumiendo que esto es cierto para eso ahora. lo que quiero hacer es pensar en lo que sucede cuando trato de encontrar cuando trato de encontrar esta función para k más 1 así que esto es lo que estoy asumiendo estoy asumiendo que sé esto ahora vamos a tratar de hacerlo para k más 1 así que lo que es la suma de todos los enteros hasta e incluyendo k más 1 hasta e incluyendo k más 1 bueno esto va a ser 1 más 2 más 3 más todo el camino hasta k más k más 1 derecho esta es la suma de todo hasta e incluyendo k más 1 bueno estamos asumiendo que ya sabemos lo que es esto estamos asumiendo que ya tenemos una fórmula para esto estamos asumiendo que esto se va a simplificar a k por k más 1 sobre 2 o asumiendo que sabemos eso y entonces solo tomaremos esta parte y la sumaremos a k más 1 así que la sumaremos a k más 1 por aquí la sumaremos a k más 1 y si encuentras un denominador común si encuentras un comentario el común denominador va a ser 2 así que vamos a ir esto va a ser igual a Voy a escribir la parte en magenta primero esto es K veces k más 1 sobre 2 más 2 veces k más 1 sobre 2 esta cosa en azul es la misma cosa que esa cosa en azul los dos se cancelan Acabo de escribir de esta manera por lo que tengo un denominador común y por lo que esto va a ser igual a esto va a ser igual a tenemos un denominador común de 2 y voy a escribiré esto en un color diferente aquí así que vamos a tener K por k más 1 más 2 por k más 1 ahora en este paso justo aquí puedes factorizar un k más 1 ambos términos son divisibles por K más 1 así que factoricemos esto si factorizas un k más 1 obtienes k más 1 k más 1 veces lo fracturamos por aquí si factorizas un k más 1 solo tienes un K por aquí si factorizas un k más 1 solo tienes un – Permítanme colorear estos para que sepan lo que estoy haciendo, así que este 2 es este 2 justo ahí y esta K esta K es esta K justo ahí lo factorizamos estas k más una vez que lo factorizamos sobre 2 esta k más 1 justo ahí y va a ser todo esto todo esto sobre 2 ahora podemos reescribir esto es lo mismo esto es igual a esto es lo mismo que esto es lo mismo que k más 1 que es esta parte de aquí veces k más 1 k más 1 más 1 correcto esto es claramente lo mismo que k más 2 todo esto sobre todo esto sobre 2 Ahora, ¿por qué es esto interesante para nosotros? Bueno, acabamos de probarlo, si asumimos que esto es cierto, si asumimos que esto es cierto, y si usamos esa suposición, usamos esa suposición, obtenemos que la suma de todos los enteros positivos hasta e incluyendo k más 1 es… igual a k más 1 por k más 1 más 1 sobre 2. Estamos mostrando que la fórmula original se aplica también a k más 1. Si tomamos k más 1 y lo ponemos para n, podemos ponerlo para n y obtenemos exactamente el resultado que tenemos aquí. demostramos que hemos probado nuestro caso base esta esta expresión funcionó para la suma de todos los enteros positivos hasta e incluyendo 1 y también funciona si asumimos que funciona para todo hasta para hasta k o si asumimos que funciona para el entero k también funciona para el entero k más 1 y hemos terminado, esa es nuestra prueba, amigo, por inducción, que nos demuestra que funciona para todos los enteros positivos, por qué es así, lo hemos demostrado para 1 y hemos demostrado que si funciona para algún entero, va a funcionar para el siguiente entero, si se puede asumir que funciona para algún número entero, funcionará para el siguiente número entero, así que si asumes que funciona para uno, entonces puede funcionar para dos. Bueno, ya hemos demostrado que funciona para uno, así que podemos asumir que funciona para uno, así que definitivamente funcionará para dos. funciona para dos ahora podemos suponer que funciona para tres bueno si funciona para tres bueno entonces hemos demostrado que funciona para cuatro ves como este paso de inducción es como una especie de dominó y se Cascadas y podemos seguir y seguir para siempre por lo que realmente va a trabajar para todos los enteros positivos