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Capítulo 4 : Integrales múltiples

En Cálculo I pasamos al tema de las integrales una vez que habíamos terminado la discusión de las derivadas. Lo mismo ocurre en este curso. Ahora que hemos terminado nuestra discusión de las derivadas de funciones de más de una variable necesitamos pasar a las integrales de funciones de dos o tres variables.

La mayoría de los temas de las derivadas se extendieron de manera un tanto natural desde sus contrapartes de Cálculo I y eso será lo mismo aquí. Sin embargo, debido a que ahora estamos involucrando funciones de dos o tres variables también habrá algunas diferencias. Habrá una nueva notación y algunas nuevas cuestiones que simplemente no se plantean cuando se trata de funciones de una sola variable.

Aquí hay una lista de temas cubiertos en este capítulo.

Integrales dobles – En esta sección definiremos formalmente la integral doble así como daremos una interpretación rápida de la integral doble.

Integrales iteradas – En esta sección mostraremos cómo se puede utilizar el Teorema de Fubini para evaluar integrales dobles donde la región de integración es un rectángulo.

Integrales dobles sobre regiones generales – En esta sección comenzaremos a evaluar integrales dobles sobre regiones generales, es decir, regiones que no son rectángulos. Ilustraremos cómo una integral doble de una función puede interpretarse como el volumen neto del sólido entre la superficie dada por la función y el plano \(xy\).

Integrales dobles en coordenadas polares – En esta sección veremos la conversión de integrales (incluyendo \(dA\)) en coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Las regiones de integración en estos casos serán todos o porciones de discos o anillos, por lo que también necesitaremos convertir los límites cartesianos originales para estas regiones en coordenadas polares.

Integrales triples – En esta sección definiremos la integral triple. También ilustraremos bastantes ejemplos de cómo establecer los límites de integración a partir de la región tridimensional de integración. Obtener los límites de integración es a menudo la parte difícil de estos problemas.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas – En esta sección veremos la conversión de integrales (incluyendo \(dV\)) en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas. También convertiremos los límites cartesianos originales de estas regiones en coordenadas cilíndricas.

Triples integrales en coordenadas esféricas – En esta sección veremos la conversión de integrales (incluyendo \(dV\)) en coordenadas cartesianas en coordenadas esféricas. También convertiremos los límites cartesianos originales para estas regiones en coordenadas esféricas.

Cambio de variables – En secciones anteriores hemos convertido coordenadas cartesianas en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. En esta sección generalizaremos esta idea y discutiremos cómo convertimos integrales en coordenadas cartesianas en sistemas de coordenadas alternativos. Se incluirá una derivación de la fórmula de conversión \(dV\) al convertir a coordenadas esféricas.

Área de la superficie – En esta sección mostraremos cómo se puede utilizar una integral doble para determinar el área de la superficie de la porción de una superficie que está sobre una región en el espacio bidimensional.

Área y volumen revisados – En esta sección resumimos las diversas fórmulas de área y volumen de este capítulo.