MCDM o MCDA son acrónimos bien conocidos para referirse a la toma de decisiones con criterios múltiples y al análisis de decisiones con criterios múltiples; Stanley Zionts contribuyó a popularizar el acrónimo con su artículo de 1979 «MCDM – If not a Roman Numeral, then What?», destinado a un público empresarial.

MCDM se ocupa de estructurar y resolver problemas de decisión y planificación que implican múltiples criterios. El objetivo es apoyar a los responsables de la toma de decisiones que se enfrentan a estos problemas. Normalmente, no existe una solución óptima única para tales problemas y es necesario utilizar las preferencias de los responsables de la toma de decisiones para diferenciar entre las soluciones.

«Resolver» puede interpretarse de diferentes maneras. Podría corresponder a la elección de la «mejor» alternativa de un conjunto de alternativas disponibles (donde «mejor» puede interpretarse como «la alternativa más preferida» de un decisor). Otra interpretación de «resolver» podría ser elegir un pequeño conjunto de buenas alternativas, o agrupar las alternativas en diferentes conjuntos de preferencias. Una interpretación extrema podría ser encontrar todas las alternativas «eficientes» o «no dominadas» (que definiremos en breve).

La dificultad del problema se origina en la presencia de más de un criterio. Ya no existe una solución óptima única para un problema MCDM que pueda obtenerse sin incorporar información de preferencias. El concepto de solución óptima suele sustituirse por el conjunto de soluciones no dominadas. Una solución se llama no dominada si no es posible mejorarla en ningún criterio sin sacrificarla en otro. Por lo tanto, tiene sentido que el decisor elija una solución del conjunto no dominado. De lo contrario, podría mejorar en algunos o en todos los criterios y no empeorar en ninguno de ellos. Sin embargo, por lo general, el conjunto de soluciones no dominadas es demasiado grande para presentarlo al responsable de la toma de decisiones para la elección final. De ahí que necesitemos herramientas que ayuden al decisor a centrarse en las soluciones (o alternativas) preferidas. Normalmente hay que «compensar» ciertos criterios por otros.

El MCDM ha sido un área de investigación activa desde la década de 1970. Existen varias organizaciones relacionadas con el MCDM, entre ellas la International Society on Multi-criteria Decision Making, el Euro Working Group on MCDA y la INFORMS Section on MCDM. Para conocer su historia, véase: Köksalan, Wallenius y Zionts (2011).MCDM se basa en el conocimiento de muchos campos, incluyendo:

• Matemáticas
• Análisis de decisiones
• Economía
• Tecnología informática
• Ingeniería del software
• Sistemas de información

Una tipologíaEditar

Existen diferentes clasificaciones de problemas y métodos de MCDM. Una distinción importante entre los problemas MCDM se basa en si las soluciones están definidas explícita o implícitamente.

• Problemas de evaluación de criterios múltiples: Estos problemas constan de un número finito de alternativas, conocidas explícitamente al principio del proceso de solución. Cada alternativa está representada por su rendimiento en múltiples criterios. El problema puede definirse como la búsqueda de la mejor alternativa para un decisor (DM), o la búsqueda de un conjunto de buenas alternativas. También puede interesar «ordenar» o «clasificar» las alternativas. La ordenación consiste en situar las alternativas en un conjunto de clases ordenadas por preferencias (como la asignación de calificaciones crediticias a los países), y la clasificación consiste en asignar las alternativas a conjuntos no ordenados (como el diagnóstico de pacientes en función de sus síntomas). Algunos de los métodos MCDM de esta categoría se han estudiado de forma comparativa en el libro de Triantaphyllou sobre este tema, 2000.
• Problemas de diseño de criterios múltiples (problemas de programación matemática de objetivos múltiples): En estos problemas, las alternativas no se conocen explícitamente. Se puede encontrar una alternativa (solución) resolviendo un modelo matemático. El número de alternativas es infinito (contable o no) o finito, pero típicamente exponencialmente grande (en el número de variables que se extienden sobre dominios finitos.)

Tanto si se trata de un problema de evaluación como de un problema de diseño, se requiere información sobre las preferencias de los DM para diferenciar entre las soluciones. Los métodos de solución para los problemas de MCDM se clasifican comúnmente en función del momento en que se obtiene la información de preferencias del DM.

Hay métodos que requieren la información de preferencias del DM al inicio del proceso, transformando el problema en un problema esencialmente de criterio único. Se dice que estos métodos operan por «articulación previa de las preferencias». Los métodos basados en la estimación de una función de valor o que utilizan el concepto de «relaciones de superación», el proceso de jerarquía analítica y algunos métodos basados en reglas de decisión tratan de resolver problemas de evaluación de criterios múltiples utilizando la articulación previa de las preferencias. Del mismo modo, existen métodos desarrollados para resolver problemas de diseño de criterios múltiples utilizando la articulación previa de las preferencias mediante la construcción de una función de valor. Quizá el más conocido de estos métodos sea la programación de objetivos. Una vez construida la función de valor, el programa matemático de objetivo único resultante se resuelve para obtener una solución preferida.

Algunos métodos requieren información de preferencias del DM a lo largo del proceso de solución. Se denominan métodos interactivos o métodos que requieren una «articulación progresiva de las preferencias». Estos métodos han sido bien desarrollados tanto para la evaluación de criterios múltiples (véase, por ejemplo, Geoffrion, Dyer y Feinberg, 1972, y Köksalan y Sagala, 1995 ) como para los problemas de diseño (véase Steuer, 1986).

Los problemas de diseño de criterios múltiples suelen requerir la solución de una serie de modelos de programación matemática para revelar soluciones definidas implícitamente. Para estos problemas, una representación o aproximación de «soluciones eficientes» también puede ser de interés. Esta categoría se denomina «articulación posterior de las preferencias», lo que implica que la participación del DM comienza con posterioridad a la revelación explícita de las soluciones «interesantes» (véase, por ejemplo, Karasakal y Köksalan, 2009).

Cuando los modelos de programación matemática contienen variables enteras, los problemas de diseño se vuelven más difíciles de resolver. La optimización combinatoria multiobjetivo (MOCO) constituye una categoría especial de este tipo de problemas que plantean una dificultad computacional sustancial (véase Ehrgott y Gandibleux, 2002, para una revisión).

Representaciones y definicionesEditar

El problema MCDM puede representarse en el espacio de criterios o en el espacio de decisión. Alternativamente, si se combinan diferentes criterios mediante una función lineal ponderada, también es posible representar el problema en el espacio de pesos. A continuación se muestran las demostraciones de los espacios de criterios y de pesos, así como algunas definiciones formales.

Representación del espacio de criteriosEditar

Supongamos que evaluamos las soluciones en una situación problemática concreta utilizando varios criterios. Supongamos además que más es mejor en cada criterio. Entonces, entre todas las soluciones posibles, lo ideal es que nos interesen aquellas soluciones que tengan un buen rendimiento en todos los criterios considerados. Sin embargo, es poco probable que haya una única solución que funcione bien en todos los criterios considerados. Lo normal es que algunas soluciones den buenos resultados en algunos criterios y otras en otros. Encontrar una forma de compensar entre criterios es uno de los principales esfuerzos en la literatura de MCDM.

Matemáticamente, el problema de MCDM correspondiente a los argumentos anteriores puede representarse como

«max» q sujeto a q ∈ Q

donde q es el vector de k funciones criterio (funciones objetivo) y Q es el conjunto factible, Q ⊆ Rk.

Si Q se define explícitamente (por un conjunto de alternativas), el problema resultante se llama problema de evaluación de criterios múltiples.

Si Q se define implícitamente (por un conjunto de restricciones), el problema resultante se llama problema de diseño de criterios múltiples.

Las comillas se utilizan para indicar que la maximización de un vector no es una operación matemática bien definida. Esto se corresponde con el argumento de que tendremos que encontrar una forma de resolver el compromiso entre criterios (típicamente basado en las preferencias de un decisor) cuando no existe una solución que rinda bien en todos los criterios.

Representación del espacio de decisiónEditar

El espacio de decisión se corresponde con el conjunto de posibles decisiones de las que disponemos. Los valores de los criterios serán consecuencias de las decisiones que tomemos. Por lo tanto, podemos definir un problema correspondiente en el espacio de decisión. Por ejemplo, al diseñar un producto, decidimos los parámetros de diseño (variables de decisión) cada uno de los cuales afecta a las medidas de rendimiento (criterios) con las que evaluamos nuestro producto.

Matemáticamente, un problema de diseño de criterios múltiples puede representarse en el espacio de decisión como sigue:

max q = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) sujeto a q ∈ Q = { f ( x ) : x ∈ X , X ⊆ R n } {\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\ {texto{sujeto} a Q&={f(x):x\in X,\\c,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}\nd{aligned}}.

donde X es el conjunto factible y x es el vector de variables de decisión de tamaño n.

Un caso especial bien desarrollado se obtiene cuando X es un poliedro definido por desigualdades e igualdades lineales. Si todas las funciones objetivo son lineales en términos de las variables de decisión, esta variación conduce a la programación lineal de objetivos múltiples (MOLP), una importante subclase de problemas MCDM.

Hay varias definiciones que son centrales en MCDM. Dos definiciones estrechamente relacionadas son las de no dominancia (definida en base a la representación del espacio de criterios) y eficiencia (definida en base a la representación de la variable de decisión).

Definición 1. q* ∈ Q es no dominante si no existe otra q ∈ Q tal que q ≥ q* y q ≠ q*.

A grandes rasgos, una solución es no dominante siempre que no sea inferior a ninguna otra solución disponible en todos los criterios considerados.

Definición 2. x* ∈ X es eficiente si no existe otro x ∈ X tal que f(x) ≥ f(x*) y f(x) ≠ f(x*).

Si un problema MCDM representa bien una situación de decisión, entonces la solución más preferida de un DM tiene que ser una solución eficiente en el espacio de decisión, y su imagen es un punto no dominado en el espacio de criterios. Las siguientes definiciones también son importantes.

Definición 3. q* ∈ Q es débilmente no dominado si no existe otro q ∈ Q tal que q > q*.

Definición 4. x* ∈ X es débilmente eficiente si no existe otro x ∈ X tal que f(x) > f(x*).

Los puntos débilmente no dominados incluyen todos los puntos no dominados y algunos puntos dominados especiales. La importancia de estos puntos dominados especiales proviene del hecho de que aparecen comúnmente en la práctica y es necesario un cuidado especial para distinguirlos de los puntos no dominados. Si, por ejemplo, maximizamos un único objetivo, podemos acabar con un punto débilmente no dominado que esté dominado. Los puntos dominados del conjunto débilmente no dominado están situados en planos verticales u horizontales (hiperplanos) en el espacio de criterios.

Punto ideal: (en el espacio de criterios) representa el mejor (el máximo para los problemas de maximización y el mínimo para los problemas de minimización) de cada función objetivo y suele corresponder a una solución no factible.

Punto nadir: (en el espacio de criterios) representa el peor (el mínimo para problemas de maximización y el máximo para problemas de minimización) de cada función objetivo entre los puntos del conjunto no dominado y es típicamente un punto dominado.

El punto ideal y el punto nadir son útiles para que el DM obtenga la «sensación» del rango de soluciones (aunque no es sencillo encontrar el punto nadir para problemas de diseño que tienen más de dos criterios).

Ilustraciones de los espacios de decisión y criterioEditar

El siguiente problema MOLP de dos variables en el espacio de variables de decisión ayudará a demostrar gráficamente algunos de los conceptos clave.

max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 sujeto a x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{máx f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}{\b}max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2} {{texto} {sujeto a} {x_{1}& {leq 4\x_{2}& {leq 4\x_{1}+x_{2}& {leq 7\x_{1}+x_{2}& {leq 3\x_{1}-x_{2}& {leq 3\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

En la Figura 1, los puntos extremos «e» y «b» maximizan el primer y segundo objetivo, respectivamente. La frontera roja entre esos dos puntos extremos representa el conjunto eficiente. De la figura se desprende que, para cualquier solución factible fuera del conjunto eficiente, es posible mejorar ambos objetivos en algunos puntos del conjunto eficiente. A la inversa, para cualquier punto del conjunto eficiente, no es posible mejorar ambos objetivos moviéndose a cualquier otra solución factible. En estas soluciones, hay que sacrificar de uno de los objetivos para mejorar el otro objetivo.

Debido a su simplicidad, el problema anterior puede representarse en el espacio de criterios sustituyendo las x por las f ‘s de la siguiente manera:

Max f1 Max f2 sujeto a f1 + 2f2 ≤ 12 2f1 + f2 ≤ 12 f1 + f2 ≤ 7 f1 – f2 ≤ 9 -f1 + f2 ≤ 9 f1 + 2f2 ≥ 0 2f1 + f2 ≥ 0

Presentamos el espacio de criterio gráficamente en la Figura 2. Es más fácil detectar los puntos no dominados (correspondientes a soluciones eficientes en el espacio de decisión) en el espacio de criterio. La región noreste del espacio factible constituye el conjunto de puntos no dominados (para problemas de maximización).

Generación de soluciones no dominadasEditar

Hay varias formas de generar soluciones no dominadas. Vamos a discutir dos de ellos. El primer enfoque puede generar una clase especial de soluciones no dominadas mientras que el segundo enfoque puede generar cualquier solución no dominada.

• Sumas ponderadas (Gass & Saaty, 1955)

Si combinamos los criterios múltiples en un solo criterio multiplicando cada criterio con un peso positivo y sumando los criterios ponderados, entonces la solución del problema de criterio único resultante es una solución eficiente especial. Estas soluciones eficientes especiales aparecen en los puntos de esquina del conjunto de soluciones disponibles. Las soluciones eficientes que no están en los puntos de esquina tienen características especiales y este método no es capaz de encontrar tales puntos. Matemáticamente, podemos representar esta situación como

max wT.q = wT.f(x), w> 0 sujeto a x ∈ X

Variando los pesos, las sumas ponderadas se pueden utilizar para generar soluciones eficientes de puntos extremos para problemas de diseño, y puntos soportados (convexos no dominados) para problemas de evaluación.

• Logro de la función escalarizante (Wierzbicki, 1980)

Las funciones escalarizadoras de logros también combinan múltiples criterios en un solo criterio ponderándolos de una manera muy especial. Crean contornos rectangulares que se alejan de un punto de referencia hacia las soluciones eficientes disponibles. Esta estructura especial permite a las funciones de escalado de logros alcanzar cualquier solución eficiente. Esta es una poderosa propiedad que hace que estas funciones sean muy útiles para los problemas de MCDM.

Matemáticamente, podemos representar el problema correspondiente como

Min s(g, q, w, ρ) = Min {maxi + ρ ∑i (gi – qi)}, sujeto a q ∈ Q

La función escalarizadora de logros puede utilizarse para proyectar cualquier punto (factible o no factible) en la frontera eficiente. Se puede alcanzar cualquier punto (compatible o no). El segundo término de la función objetivo es necesario para evitar generar soluciones ineficientes. La figura 3 muestra cómo un punto factible, g1, y un punto no factible, g2, se proyectan sobre los puntos no dominados, q1 y q2, respectivamente, a lo largo de la dirección w utilizando una función escalarizadora de logros. Los contornos punteados y sólidos corresponden a los contornos de la función objetivo con y sin el segundo término de la función objetivo, respectivamente.

Resolución de problemas MCDMEdit

Se han desarrollado diferentes escuelas de pensamiento para la resolución de problemas MCDM (tanto del tipo de diseño como de evaluación). Para un estudio bibliométrico que muestra su desarrollo a lo largo del tiempo, véase Bragge, Korhonen, H. Wallenius y J. Wallenius.

Escuela de programación matemática de objetivos múltiples

(1) Maximización vectorial: El propósito de la maximización vectorial es aproximar el conjunto no dominado; desarrollado originalmente para problemas de programación lineal de objetivos múltiples (Evans y Steuer, 1973; Yu y Zeleny, 1975).

(2) Programación interactiva: Las fases de cálculo se alternan con las fases de toma de decisiones (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer y Feinberg, 1972; Zionts y Wallenius, 1976; Korhonen y Wallenius, 1988). No se asume ningún conocimiento explícito de la función de valor del DM.

Escuela de programación de objetivos

El propósito es establecer valores objetivo apriori para los objetivos, y minimizar las desviaciones ponderadas de estos objetivos. Se han utilizado tanto los pesos de importancia como los pesos lexicográficos preventivos (Charnes y Cooper, 1961).

Teóricos de los conjuntos difusos

Los conjuntos difusos fueron introducidos por Zadeh (1965) como una extensión de la noción clásica de conjuntos. Esta idea se utiliza en muchos algoritmos de MCDM para modelar y resolver problemas difusos.

Teóricos de la utilidad multiatributo

Las funciones de utilidad o valor multiatributo se obtienen y utilizan para identificar la alternativa más preferida o para ordenar las alternativas. Se utilizan técnicas de entrevista elaboradas, que existen para obtener funciones de utilidad aditivas lineales y funciones de utilidad no lineales multiplicativas (Keeney y Raiffa, 1976).

Escuela francesa

La escuela francesa se centra en la ayuda a la decisión, en particular la familia de métodos de outranking ELECTRE, que se originó en Francia a mediados de la década de 1960. El método fue propuesto por primera vez por Bernard Roy (Roy, 1968).

Escuela de optimización multiobjetivo evolutiva (EMO)

Los algoritmos EMO comienzan con una población inicial, y la actualizan utilizando procesos diseñados para imitar los principios naturales de supervivencia del más fuerte y los operadores de variación genética para mejorar la población media de una generación a la siguiente. El objetivo es converger a una población de soluciones que representen el conjunto no dominado (Schaffer, 1984; Srinivas y Deb, 1994). Más recientemente, se han realizado esfuerzos para incorporar la información sobre las preferencias en el proceso de solución de los algoritmos EMO (véase Deb y Köksalan, 2010).

Métodos basados en la teoría de los sistemas grises

En la década de 1980, Deng Julong propuso la teoría de los sistemas grises (TGS) y su primer modelo de toma de decisiones de atributos múltiples, llamado modelo de análisis relacional gris de Deng (GRA). Posteriormente, los estudiosos de los sistemas grises propusieron muchos métodos basados en la GST, como el modelo GRA absoluto de Liu Sifeng, la toma de decisiones por objetivos grises (GTDM) y el análisis de decisiones absolutas grises (GADA).

Proceso de jerarquía analítica (AHP)

El AHP descompone primero el problema de decisión en una jerarquía de subproblemas. A continuación, el decisor evalúa la importancia relativa de sus distintos elementos mediante comparaciones por pares. El AHP convierte estas evaluaciones en valores numéricos (pesos o prioridades), que se utilizan para calcular una puntuación para cada alternativa (Saaty, 1980). Un índice de coherencia mide hasta qué punto el responsable de la toma de decisiones ha sido coherente en sus respuestas. El AHP es una de las técnicas más controvertidas de la lista, ya que algunos investigadores de la comunidad de MCDA creen que es defectuoso. La matemática subyacente es también más complicada, aunque ha ganado cierta popularidad como resultado del software disponible comercialmente.

Varios artículos revisaron la aplicación de las técnicas de MCDA en varias disciplinas, como la MCDA difusa, la MCDA clásica, la energía sostenible y renovable, la técnica VIKOR, los sistemas de transporte, la calidad del servicio, el método TOPSIS, los problemas de gestión de la energía, el aprendizaje electrónico, el turismo y la hostelería, los métodos SWARA y WASPAS.

Métodos MCDMEditar

Los siguientes métodos MCDM están disponibles, muchos de los cuales son implementados por software especializado en la toma de decisiones:

• Método de aleatorización de índices agregados (AIRM)
• Proceso de jerarquía analítica (AHP)
• Proceso de red analítica (ANP)
• Proceso de equilibrio de vigas
• Método de base-base (BCM)
• Mejor método peor (BWM)
• Modelo Brown-Gibson
• Método de objetos característicos (COMET)
• Elegir por ventajas (CBA)
• Jerarquía de valores conjuntos (CVA)
• Análisis envolvente de datos
• Decision EXpert (DEX)
• Enfoques de desagregación-agregación (UTA*, UTAII, UTADIS)
• Enfoque de conjuntos rugosos (Rough set approach)
• Enfoque de conjuntos rugosos basados en la dominancia (DRSA)(DRSA)
• ELECTRE (Outranking)
• Evaluación basada en la distancia de la solución media (EDAS)
• Enfoque de razonamiento probatorio (ER)
• Programación por objetivos (GP)
• Análisis relacional gris (GRA)
• Producto interno de vectores (IPV)
• Medición del atractivo mediante una técnica de evaluación basada en categorías (MACBETH)
• Técnica simple de calificación de múltiples atributos (SMART).Técnica de Calificación Multiatributo Simple (SMART)
• Toma de Decisiones Multicriterio Estratificada (SMCDM)
• Inferencia Global de Calidad Multiatributo (MAGIQ)
• Teoría de la Utilidad Multiatributo (MAUT)
• Teoría del Valor Multiatributo (MAVT).atributo (MAVT)
• Toma de decisiones multicriterio markoviana
• Nuevo enfoque de valoración (NATA)
• Sistema de apoyo a la decisión difusa no estructural (NSFDSS)
• Potencialmente Todos los RanKings por pares de todas las alternativas posibles (PAPRIKA)
• PROMETHEE (Outranking)
• Ranking basado en puntos óptimos (RBOP)
• Análisis de Aceptabilidad Multicriterio Estocástico (SMAA)
• Método de clasificación de superioridad e inferioridad (método SIR)
• Técnica de ordenación de prioridades por similitud a la solución ideal (TOPSIS)
• Análisis de valor (VA)
• Ingeniería de valor (VE)
• Método VIKOR
• Modelo de producto ponderado (WPM)
• Modelo de suma ponderada (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)