Artículo principal: Teoría de grupos Los posibles movimientos de un cubo de Rubik forman un grupo (muy grande). La teoría de grupos es útil como noción abstracta de simetría, lo que la hace aplicable a una amplia gama de áreas: la relación entre las raíces de un polinomio (como en la teoría de Galois) y los métodos de solución del cubo de Rubik son ejemplos destacados.

Informalmente, un grupo es un conjunto dotado de una operación binaria ∘\c∘, de modo que al operar sobre dos elementos cualesquiera del grupo se produce también un elemento del grupo. Por ejemplo, los números enteros forman un grupo bajo adición, y los números reales no nulos forman un grupo bajo multiplicación. La operación ∘circ∘ debe satisfacer una serie de propiedades análogas a las que satisfacen estos sistemas numéricos «normales»: debe ser asociativa (lo que significa esencialmente que el orden de las operaciones no importa), y debe haber un elemento de identidad (0 en el primer ejemplo anterior, y 1 en el segundo). Más formalmente, un grupo es un conjunto dotado de una operación ⋅\cdot⋅ tal que se cumplen los siguientes axiomas; nótese que ⋅\cdot⋅ no se refiere necesariamente a la multiplicación, sino que debe verse como una función sobre dos variables (de hecho, ⋅\cdot⋅ puede referirse incluso a la suma):

Axiomas de grupo

1) Asociatividad. Para cualquier x,y,z∈Gx, y, z \Nen G x,y,z∈G, tenemos que (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).
2) Identidad. Existe un e∈G e \Nen G e∈G, tal que e⋅x=x⋅e=x e \cdot x = x \cdot e = x e⋅x=x⋅e=x para cualquier x∈Gx \Nen G x∈G. Decimos que eee es un elemento identidad de GGG.
3) Inversa. Para cualquier x∈Gx \Nen Gx∈G, existe un y∈Gy \Nen Gy∈G tal que x⋅y=e=y⋅xx \cdot y = e = y \cdot x⋅y=e=y⋅x. Decimos que yyy es un inverso de xxx.

También vale la pena anotar el axioma de cierre para enfatizarlo, ya que es importante verificar el cierre cuando se trabaja con subgrupos (grupos contenidos completamente dentro de otro):

4) Cierre. Para cualquier x,y∈Gx, y \Nen G x,y∈G, x∗yx*y x∗y también está en GGG.

Ejemplos adicionales de grupos incluyen

• Zn\mathbb{Z}_nZn, el conjunto de enteros {0,1,…,n-1}{0, 1, \ldots, n-1\}{0,1,…,n-1} con la operación suma módulo nnn
• SnS_nSn, el conjunto de permutaciones de {1,2,…,n}{1, 2, \ldots, n\}{1,2,…,n} con la operación de composición.

S3S_3S3 merece una mención especial como ejemplo de grupo no conmutativo, lo que significa que a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a no se cumple en general. Formalmente, S3S_3S3 es no abeliano (un grupo abeliano es aquel en el que la operación es conmutativa). Cuando la operación no está clara por el contexto, los grupos se escriben en la forma (conjunto,op)(\text{set}, \text{op})(conjunto,op); por ejemplo, los reales no nulos dotados de multiplicación pueden escribirse como (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅).

Mucha de la teoría de grupos (y del álgebra abstracta en general) se centra en el concepto de homomorfismo de grupo, que esencialmente significa un mapeo de un grupo a otro que preserva la estructura del grupo. En otras palabras, el mapeo del producto de dos elementos debe ser el mismo que el producto de los dos mapeos; hablando intuitivamente, el producto de dos elementos no debe cambiar bajo el mapeo. Formalmente, un homomorfismo es una función ϕ:G→H\phi: G ϕ flecha Hϕ:G→H tal que

ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),\phi(g_1) \cdot_H \phi(g_2) = \phi(g_1 \cdot_G g_2),ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),

donde ⋅H\cdot_H⋅H es la operación sobre HHH y ⋅G\cdot_G⋅G es la operación sobre GGG. Por ejemplo, ϕ(g)=g(modn)\phi(g) = g \pmod nϕ(g)=g(modn) es un ejemplo de homomorfismo de grupo de Z\mathbb{Z}Z a Zn\mathbb{Z}_nZn. El concepto de operaciones potencialmente diferentes es necesario; por ejemplo, ϕ(g)=eg\phi(g)=e^gϕ(g)=eg es un ejemplo de homomorfismo de grupo de (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) a (R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅).