Die Dirac-Gleichung in der ursprünglich von Dirac vorgeschlagenen Form lautet:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}

wobei ψ = ψ(x, t) die Wellenfunktion für das Elektron der Ruhemasse m mit den Raumzeitkoordinaten x, t ist. Die p1, p2, p3 sind die Komponenten des Impulses, verstanden als Impulsoperator in der Schrödinger-Gleichung. Außerdem ist c die Lichtgeschwindigkeit und ħ ist die reduzierte Planck-Konstante. Diese fundamentalen physikalischen Konstanten spiegeln die spezielle Relativitätstheorie bzw. die Quantenmechanik wider.

Dirac wollte mit dieser Gleichung das Verhalten des sich relativistisch bewegenden Elektrons erklären und so eine Behandlung des Atoms ermöglichen, die mit der Relativitätstheorie vereinbar ist. Seine eher bescheidene Hoffnung war, dass die auf diese Weise eingeführten Korrekturen einen Einfluss auf das Problem der Atomspektren haben könnten.

Bis zu diesem Zeitpunkt waren Versuche, die alte Quantentheorie des Atoms mit der Relativitätstheorie in Einklang zu bringen, Versuche, die auf der Diskretisierung des Drehimpulses beruhten, der in der möglicherweise nicht kreisförmigen Umlaufbahn des Elektrons um den Atomkern gespeichert ist, gescheitert – und die neue Quantenmechanik von Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger und Dirac selbst war nicht ausreichend entwickelt, um dieses Problem zu behandeln. Obwohl Diracs ursprüngliche Absichten erfüllt wurden, hatte seine Gleichung weitaus tiefere Auswirkungen auf die Struktur der Materie und führte neue mathematische Klassen von Objekten ein, die heute wesentliche Elemente der fundamentalen Physik sind.

Die neuen Elemente in dieser Gleichung sind die vier 4 × 4-Matrizen α1, α2, α3 und β sowie die Vier-Komponenten-Wellenfunktion ψ. Es gibt vier Komponenten in ψ, weil die Auswertung der Funktion an jedem beliebigen Punkt im Konfigurationsraum ein Bispinor ist. Sie wird als Superposition eines Elektronen mit aufwärts gerichtetem Spin, eines Elektrons mit abwärts gerichtetem Spin, eines Positrons mit aufwärts gerichtetem Spin und eines Positrons mit abwärts gerichtetem Spin interpretiert (siehe unten).

Die 4 × 4 Matrizen αk und β sind alle hermitesch und involutorisch:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}

und sie alle antikommunizieren sich gegenseitig:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}

Diese Matrizen und die Form der Wellenfunktion haben eine tiefe mathematische Bedeutung. Die algebraische Struktur, die durch die Gamma-Matrizen dargestellt wird, wurde etwa 50 Jahre zuvor von dem englischen Mathematiker W. K. Clifford entwickelt. Cliffords Ideen wiederum waren aus den Arbeiten des deutschen Mathematikers Hermann Grassmann aus der Mitte des 19. Jahrhunderts in seiner Linearen Ausdehnungslehre hervorgegangen. Letztere wurde von den meisten seiner Zeitgenossen als nahezu unverständlich angesehen. Das Erscheinen von etwas so scheinbar Abstraktem zu einem so späten Zeitpunkt und auf so direkte physikalische Weise ist eines der bemerkenswertesten Kapitel in der Geschichte der Physik.

Die einzelne symbolische Gleichung zerfällt somit in vier gekoppelte lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung für die vier Größen, die die Wellenfunktion bilden. Die Gleichung kann explizit in Planck-Einheiten geschrieben werden als:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\psi _{2}\\psi _{3}\\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\anfang{bmatrix}-\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\+\psi _{4}\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\+\psi _{2}\\-\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}}

wodurch deutlicher wird, dass es sich um eine Menge von vier partiellen Differentialgleichungen mit vier unbekannten Funktionen handelt.

Die Schrödinger-Gleichung relativistisch machenBearbeiten

Die Dirac-Gleichung ist oberflächlich gesehen der Schrödinger-Gleichung für ein massives freies Teilchen ähnlich:

– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

Die linke Seite stellt das Quadrat des Impulsoperators geteilt durch das Doppelte der Masse dar, was die nichtrelativistische kinetische Energie ist. Da die Relativitätstheorie Raum und Zeit als Ganzes betrachtet, erfordert eine relativistische Verallgemeinerung dieser Gleichung, dass die Ableitungen von Raum und Zeit symmetrisch auftreten müssen, wie es in den Maxwell-Gleichungen der Fall ist, die das Verhalten des Lichts regeln – die Gleichungen müssen in Raum und Zeit differenziell von gleicher Ordnung sein. In der Relativitätstheorie sind der Impuls und die Energien die Raum- und Zeitanteile eines Raumzeitvektors, des Viermoments, und sie sind durch die relativistisch invariante Beziehung

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}

, was besagt, dass die Länge dieses Vierervektors proportional zur Ruhemasse m ist. Setzt man die Operator-Äquivalente der Energie und des Impulses aus der Schrödinger-Theorie ein, erhält man die Klein-Gordon-Gleichung, die die Ausbreitung von Wellen beschreibt, die aus relativistisch invarianten Objekten konstruiert sind,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}\phi }

wobei die Wellenfunktion ϕ ein relativistischer Skalar ist: Eine komplexe Zahl, die in allen Bezugssystemen den gleichen Zahlenwert hat. Raum- und Zeitableitungen gehen beide in die zweite Ordnung ein. Dies hat eine wichtige Konsequenz für die Interpretation der Gleichung. Da die Gleichung in der Zeitableitung zweiter Ordnung ist, muss man Anfangswerte sowohl für die Wellenfunktion selbst als auch für ihre erste Zeitableitung angeben, um bestimmte Probleme zu lösen. Da beide mehr oder weniger willkürlich festgelegt werden können, kann die Wellenfunktion ihre frühere Rolle, die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden des Elektrons in einem bestimmten Bewegungszustand zu bestimmen, nicht beibehalten. In der Schrödinger-Theorie ist die Wahrscheinlichkeitsdichte durch den positiv definitiven Ausdruck

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

und diese Dichte wird entsprechend dem Wahrscheinlichkeitsstromvektor konveziert

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})}

mit der aus der Kontinuitätsgleichung folgenden Erhaltung von Wahrscheinlichkeitsstrom und Dichte:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {J + ∂ ∂ ∂ t=0~.}

Die Tatsache, dass die Dichte positiv definit ist und gemäß dieser Kontinuitätsgleichung konvektiert, impliziert, dass wir die Dichte über einen bestimmten Bereich integrieren und die Summe auf 1 setzen können, und diese Bedingung wird durch den Erhaltungssatz aufrechterhalten. Eine echte relativistische Theorie mit einem Wahrscheinlichkeits-Dichtestrom muss diese Eigenschaft ebenfalls aufweisen. Wenn wir nun den Begriff der konvektiven Dichte beibehalten wollen, müssen wir den Schrödinger-Ausdruck der Dichte und des Stroms so verallgemeinern, dass die Raum- und Zeitableitungen wieder symmetrisch zur skalaren Wellenfunktion auftreten. Wir dürfen den Schrödinger-Ausdruck für den Strom beibehalten, müssen aber die Wahrscheinlichkeitsdichte durch den symmetrisch gebildeten Ausdruck

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) ersetzen. {displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*})~.}

, die nun zur 4. Komponente eines Raumzeitvektors wird, und die gesamte Wahrscheinlichkeits-4-Stromdichte hat den relativistisch kovarianten Ausdruck

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})~.}

Die Kontinuitätsgleichung ist wie zuvor. Jetzt ist alles mit der Relativitätstheorie vereinbar, aber wir sehen sofort, dass der Ausdruck für die Dichte nicht mehr positiv definit ist – die Anfangswerte von ψ und ∂tψ können frei gewählt werden, und die Dichte kann somit negativ werden, was für eine legitime Wahrscheinlichkeitsdichte unmöglich ist. Daher können wir keine einfache Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung unter der naiven Annahme erhalten, dass die Wellenfunktion ein relativistischer Skalar ist, und die Gleichung, die sie erfüllt, ist zweiter Ordnung in der Zeit.

Obwohl es sich nicht um eine erfolgreiche relativistische Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung handelt, wird diese Gleichung im Kontext der Quantenfeldtheorie wiederbelebt, wo sie als Klein-Gordon-Gleichung bekannt ist und ein spinloses Teilchenfeld (z. B. Pi-Meson oder Higgs-Boson) beschreibt. Historisch gesehen hat Schrödinger selbst diese Gleichung vor der Gleichung, die seinen Namen trägt, aufgestellt, sie aber bald wieder verworfen. Im Rahmen der Quantenfeldtheorie versteht man unter der unbestimmten Dichte die Ladungsdichte, die positiv oder negativ sein kann, und nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte.

Diracs CoupEdit

Dirac dachte also daran, eine Gleichung zu versuchen, die sowohl in Raum als auch in Zeit erster Ordnung ist. Man könnte z.B. formal (d.h. durch Missbrauch der Notation) den relativistischen Ausdruck für die Energie

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}

Ersetzen Sie p durch sein Operatoräquivalent, erweitern Sie die Quadratwurzel in einer unendlichen Reihe von Ableitungsoperatoren, stellen Sie ein Eigenwertproblem auf und lösen Sie die Gleichung dann formal durch Iterationen. Die meisten Physiker hatten wenig Vertrauen in ein solches Verfahren, selbst wenn es technisch möglich wäre.

Es heißt, dass Dirac in Cambridge in den Kamin starrte und über dieses Problem nachdachte, als er auf die Idee kam, die Quadratwurzel des Wellenoperators zu ziehen:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\teilweise _{t}\rechts)\left(A\teilweise _{x}+B\teilweise _{y}+C\teilweise _{z}+{\frac {i}{c}}D\teilweise _{t}\rechts)~.}

Beim Ausmultiplizieren der rechten Seite sehen wir, dass wir, um alle Querterme wie ∂x∂y zum Verschwinden zu bringen, annehmen müssen

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

mit

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, der sich gerade intensiv mit der Ausarbeitung der Grundlagen der Heisenberg’schen Matrixmechanik beschäftigt hatte, verstand sofort, dass diese Bedingungen erfüllt sein könnten, wenn A, B, C und D Matrizen sind, was bedeutet, dass die Wellenfunktion mehrere Komponenten hat. Dies erklärte sofort das Auftreten von Zweikomponenten-Wellenfunktionen in Paulis phänomenologischer Theorie des Spins, was bis dahin selbst für Pauli als rätselhaft galt. Man benötigt jedoch mindestens 4 × 4 Matrizen, um ein System mit den erforderlichen Eigenschaften aufzubauen – die Wellenfunktion hatte also vier Komponenten, nicht zwei, wie in der Pauli-Theorie, oder eine, wie in der reinen Schrödinger-Theorie. Die Vier-Komponenten-Wellenfunktion stellt eine neue Klasse von mathematischen Objekten in physikalischen Theorien dar, die hier zum ersten Mal in Erscheinung tritt.

Gegeben die Faktorisierung in Form dieser Matrizen, kann man nun sofort eine Gleichung

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ aufschreiben. {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

mit κ {\displaystyle \kappa }

zu bestimmen. Wendet man wieder den Matrixoperator auf beide Seiten an, so erhält man ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Bei Annahme von κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}

stellen wir fest, dass alle Komponenten der Wellenfunktion einzeln die relativistische Energie-Impuls-Beziehung erfüllen. Die gesuchte Gleichung, die sowohl in Raum als auch in Zeit erster Ordnung ist, lautet also ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}

Setting

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}

und weil D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}

erhalten wir die Dirac-Gleichung wie oben geschrieben.

Kovariante und relativistische InvarianzBearbeiten

Um die relativistische Invarianz der Gleichung zu demonstrieren, ist es vorteilhaft, sie in eine Form zu bringen, in der die Raum- und Zeitableitungen gleichberechtigt erscheinen. Neue Matrizen werden wie folgt eingeführt:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

und die Gleichung hat die Form (man erinnere sich an die Definition der kovarianten Komponenten des 4Gradienten und insbesondere, dass ∂0 = 1/c∂t )

wobei es eine implizite Summation über die Werte des doppelt wiederholten Index μ = 0, 1, 2, 3 gibt und ∂μ der 4-Gradient ist. In der Praxis schreibt man die Gamma-Matrizen oft in Form von 2 × 2 Untermatrizen aus den Pauli-Matrizen und der 2 × 2 Identitätsmatrix. Explizit lautet die Standarddarstellung

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

Das gesamte System wird mit Hilfe der Minkowski-Metrik auf der Raumzeit in der Form

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}

wobei der Klammerausdruck

{ a , b } = a b + b a {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}

den Antikommutator bezeichnet. Dies sind die definierenden Beziehungen einer Clifford-Algebra über einem pseudo-orthogonalen 4-dimensionalen Raum mit metrischer Signatur (+ – – -). Die spezielle Clifford-Algebra, die in der Dirac-Gleichung verwendet wird, ist heute als Dirac-Algebra bekannt. Obwohl sie von Dirac zum Zeitpunkt der Formulierung der Gleichung nicht als solche erkannt wurde, stellt die Einführung dieser geometrischen Algebra rückblickend einen enormen Fortschritt in der Entwicklung der Quantentheorie dar.

Die Dirac-Gleichung kann nun als Eigenwertgleichung interpretiert werden, in der die Ruhemasse proportional zu einem Eigenwert des 4-Moment-Operators ist, wobei die Proportionalitätskonstante die Lichtgeschwindigkeit ist:

P o p ψ = m c ψ . {P o p ψ = m c ψ . =mc ψ.}

Using ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {\displaystyle {\partial \!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} {\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}

( ∂ / {\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}

wird „d-slash“ ausgesprochen), wird die Dirac-Gleichung nach der Feynman-Schrägstrich-Notation zu: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {mc ψ = 0.}

In der Praxis verwenden Physiker oft Maßeinheiten, die so beschaffen sind, dass ħ = c = 1, die so genannten natürlichen Einheiten. Die Gleichung hat dann die einfache Form

Ein fundamentaler Satz besagt, dass, wenn zwei verschiedene Mengen von Matrizen gegeben sind, die beide die Clifford-Relationen erfüllen, sie durch eine Ähnlichkeitstransformation miteinander verbunden sind:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Wenn außerdem die Matrizen alle unitär sind, wie die Dirac-Menge, dann ist S selbst unitär;

γ μ ′ = U † γ μ U. {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

Die Transformation U ist eindeutig bis zu einem multiplikativen Faktor mit dem Absolutwert 1. Stellen wir uns nun vor, dass eine Lorentztransformation an den Raum- und Zeitkoordinaten sowie an den Ableitungsoperatoren durchgeführt wurde, die einen kovarianten Vektor bilden. Damit der Operator γμ∂μ invariant bleibt, müssen sich die Gammas untereinander als kontravarianter Vektor in Bezug auf ihren Raumzeitindex transformieren. Diese neuen Gammas erfüllen aufgrund der Orthogonalität der Lorentztransformation selbst die Cliffordschen Beziehungen. Nach dem Fundamentalsatz können wir die neue Menge durch die alte Menge ersetzen, die einer unitären Transformation unterliegt. Die Dirac-Gleichung hat dann im neuen System die Form

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {U (x ′ , t ′ ) = 0~.}

Wenn wir nun den transformierten Spinor

ψ ′ = U ψ {\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }

dann haben wir die transformierte Dirac-Gleichung in einer Weise, die die manifeste relativistische Invarianz zeigt:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . ( x ′ , t ′ ) = 0 .

Wenn wir uns also auf eine beliebige unitäre Darstellung der Gammas einigen, ist sie endgültig, sofern wir den Spinor gemäß der unitären Transformation transformieren, die der gegebenen Lorentztransformation entspricht.

Die verschiedenen Darstellungen der Dirac-Matrizen bringen bestimmte Aspekte des physikalischen Inhalts der Dirac-Wellenfunktion zum Vorschein (siehe unten). Die hier gezeigte Darstellung wird als Standarddarstellung bezeichnet – in ihr gehen die beiden oberen Komponenten der Wellenfunktion im Grenzfall niedriger Energien und kleiner Geschwindigkeiten im Vergleich zum Licht in die Pauli-2-Spinor-Wellenfunktion über.

Die obigen Überlegungen zeigen den Ursprung der Gammas in der Geometrie, der auf die ursprüngliche Motivation von Grassmann zurückgeht – sie stellen eine feste Basis von Einheitsvektoren in der Raumzeit dar. In ähnlicher Weise stellen Produkte der Gammas wie γμγν orientierte Oberflächenelemente dar, und so weiter. Vor diesem Hintergrund können wir die Form des Einheitsvolumenelements in der Raumzeit mit Hilfe der Gammas wie folgt bestimmen. Per Definition ist

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β . {\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}

Damit dies eine Invariante ist, muss das Epsilon-Symbol ein Tensor sein und somit einen Faktor von √g enthalten, wobei g die Determinante des metrischen Tensors ist. Da diese negativ ist, ist dieser Faktor imaginär. Also

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Diese Matrix erhält das spezielle Symbol γ5, da sie wichtig ist, wenn man unzulässige Transformationen der Raumzeit betrachtet, d.h. solche, die die Orientierung der Basisvektoren ändern. In der Standarddarstellung ist sie

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Diese Matrix wird auch als antikommunistisch mit den anderen vier Dirac-Matrizen gefunden:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}

Es spielt eine Hauptrolle, wenn Fragen der Parität auftauchen, weil das Volumenelement als gerichtete Größe unter einer Raum-Zeit-Reflexion das Vorzeichen wechselt. Die obige positive Quadratwurzel zu nehmen, läuft also darauf hinaus, eine Händigkeitskonvention für die Raumzeit zu wählen.

Erhaltung des WahrscheinlichkeitsstromsBearbeiten

Durch Definition des adjungierten Spinors

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}

wobei ψ† die konjugierte Transposition von ψ ist, und beachte, dass

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

erhalten wir, indem wir die Hermitsche Konjugierte der Dirac-Gleichung nehmen und von rechts mit γ0 multiplizieren, die adjungierte Gleichung:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}

wobei ∂μ als nach links wirkend verstanden wird. Multipliziert man die Dirac-Gleichung mit ψ von links und die adjungierte Gleichung mit ψ von rechts und addiert, erhält man den Erhaltungssatz des Dirac-Stroms:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {) = 0~.}

Jetzt sehen wir den großen Vorteil der Gleichung erster Ordnung gegenüber derjenigen, die Schrödinger versucht hatte – dies ist die konservierte Stromdichte, die von der relativistischen Invarianz verlangt wird, nur ist jetzt ihre 4. Komponente positiv definit und damit für die Rolle einer Wahrscheinlichkeitsdichte geeignet:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi ~.}

Da die Wahrscheinlichkeitsdichte nun als vierte Komponente eines relativistischen Vektors erscheint und nicht als einfacher Skalar wie in der Schrödinger-Gleichung, unterliegt sie den üblichen Effekten der Lorentz-Transformationen wie der Zeitdilatation. So werden zum Beispiel atomare Prozesse, die als Raten beobachtet werden, notwendigerweise in einer Weise angepasst, die mit der Relativitätstheorie vereinbar ist, während diejenigen, die die Messung von Energie und Impuls beinhalten, die selbst einen relativistischen Vektor bilden, eine parallele Anpassung erfahren, die die relativistische Kovarianz der beobachteten Werte bewahrt. Der Dirac-Strom selbst ist dann der raumzeit-kovariante Vierervektor:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}

LösungenBearbeiten

Siehe Dirac-Spinor für Details zu Lösungen der Dirac-Gleichung. Man beachte, dass, da der Dirac-Operator auf 4-Tupel von quadratisch-integrable Funktionen wirkt, seine Lösungen Mitglieder desselben Hilbert-Raums sein sollten. Die Tatsache, dass die Energien der Lösungen keine untere Schranke haben, ist unerwartet – siehe den Abschnitt über die Lochtheorie weiter unten für weitere Details.

Vergleich mit der Pauli-TheorieEdit

Die Notwendigkeit, einen halbzahligen Spin einzuführen, geht experimentell auf die Ergebnisse des Stern-Gerlach-Experiments zurück. Dabei wird ein Atomstrahl durch ein starkes inhomogenes Magnetfeld geleitet, das sich dann in Abhängigkeit vom Eigendrehimpuls der Atome in N Teile aufspaltet. Es wurde festgestellt, dass der Strahl für Silberatome in zwei Teile geteilt wurde – der Grundzustand konnte also nicht ganzzahlig sein, denn selbst wenn der Eigendrehimpuls der Atome so klein wie möglich wäre, nämlich 1, würde der Strahl in drei Teile geteilt werden, die Atomen mit Lz = -1, 0, +1 entsprechen. Pauli stellte eine Theorie auf, die diese Aufspaltung durch die Einführung einer Zweikomponenten-Wellenfunktion und eines entsprechenden Korrekturterms in der Hamiltonfunktion erklärte, der eine semiklassische Kopplung dieser Wellenfunktion an ein angelegtes Magnetfeld darstellt, und zwar in SI-Einheiten: (Man beachte, dass fettgedruckte Zeichen euklidische Vektoren in 3 Dimensionen implizieren, während der Minkowski-Vierervektor Aμ als A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )} definiert werden kann.

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Hier stellen A und ϕ {\displaystyle \phi }

die Komponenten des elektromagnetischen Viererpotentials in ihren SI-Standardeinheiten, und die drei Sigmas sind die Pauli-Matrizen. Wenn man den ersten Term quadriert, erhält man eine Restwechselwirkung mit dem Magnetfeld und den üblichen klassischen Hamiltonian eines geladenen Teilchens, das mit einem angelegten Feld in SI-Einheiten wechselwirkt: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}

Dieser Hamiltonian ist nun eine 2 × 2 Matrix, so dass die darauf basierende Schrödinger-Gleichung eine Zweikomponenten-Wellenfunktion verwenden muss. Führt man das äußere elektromagnetische 4-Vektor-Potential in ähnlicher Weise in die Dirac-Gleichung ein, was als minimale Kopplung bezeichnet wird, nimmt sie die Form an:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

Eine zweite Anwendung des Dirac-Operators reproduziert nun den Pauli-Term genau wie zuvor, da die räumlichen Dirac-Matrizen, multipliziert mit i, die gleichen Quadrierungs- und Kommutierungseigenschaften haben wie die Pauli-Matrizen. Darüber hinaus wird der Wert des gyromagnetischen Verhältnisses des Elektrons, das vor dem neuen Pauli-Term steht, aus ersten Prinzipien erklärt. Dies war eine große Errungenschaft der Dirac-Gleichung und gab den Physikern großes Vertrauen in ihre allgemeine Korrektheit. Aber es geht noch weiter. Die Pauli-Theorie kann auf folgende Weise als Grenzwert der Dirac-Theorie bei niedriger Energie betrachtet werden. Zunächst wird die Gleichung in Form von gekoppelten Gleichungen für 2-Spinoren mit den wiederhergestellten SI-Einheiten geschrieben:

( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

so

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}

Angenommen das Feld ist schwach und die Bewegung des Elektrons nichtrelativistisch, haben wir die Gesamtenergie des Elektrons ungefähr gleich seiner Ruheenergie und den Impuls, der zum klassischen Wert übergeht,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} }

und so kann die zweite Gleichung geschrieben werden

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

die von der Ordnung v/c ist – also bei typischen Energien und Geschwindigkeiten, sind die unteren Komponenten des Dirac-Spinors in der Standarddarstellung im Vergleich zu den oberen Komponenten stark unterdrückt. Setzt man diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein, so erhält man nach einiger Umstellung

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

Der Operator auf der linken Seite repräsentiert die Energie des Teilchens, reduziert um seine Ruheenergie, die nur die klassische Energie ist, so dass wir die Pauli-Theorie wiederfinden, wenn wir seinen 2-Spinor mit den oberen Komponenten des Dirac-Spinors in der nichtrelativistischen Näherung identifizieren. Eine weitere Näherung ergibt die Schrödinger-Gleichung als Grenzwert der Pauli-Theorie. Somit kann die Schrödinger-Gleichung als die weitgehende nichtrelativistische Annäherung der Dirac-Gleichung angesehen werden, wenn man den Spin vernachlässigen und nur bei niedrigen Energien und Geschwindigkeiten arbeiten kann. Dies war auch ein großer Triumph für die neue Gleichung, da sie das rätselhafte i, das in ihr auftaucht, und die Notwendigkeit einer komplexen Wellenfunktion durch die Dirac-Algebra auf die Geometrie der Raumzeit zurückführte. Sie macht auch deutlich, warum die Schrödinger-Gleichung, obwohl sie oberflächlich betrachtet die Form einer Diffusionsgleichung hat, tatsächlich die Ausbreitung von Wellen darstellt.

Es sollte nachdrücklich betont werden, dass diese Aufteilung des Dirac-Spinors in eine große und eine kleine Komponente explizit von einer Niederenergie-Näherung abhängt. Der gesamte Dirac-Spinor stellt ein irreduzibles Ganzes dar, und die Komponenten, die wir gerade vernachlässigt haben, um zur Pauli-Theorie zu gelangen, werden im relativistischen Regime neue Phänomene einbringen – Antimaterie und die Idee der Erzeugung und Vernichtung von Teilchen.

Vergleich mit der Weyl-TheorieEdit

Im Grenzwert m → 0 reduziert sich die Dirac-Gleichung auf die Weyl-Gleichung, die relativistische masselose Spin-1⁄2-Teilchen beschreibt.

Dirac-LagrangeEdit

Sowohl die Dirac-Gleichung als auch die Adjungierte Dirac-Gleichung lassen sich aus der (variierenden) Wirkung mit einer bestimmten Lagrangedichte erhalten, die gegeben ist durch:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }