Skuddage forklaret!
Denne artikel er en modificeret og opdateret version af en artikel, som jeg skrev i 2008 og derefter opdaterede den til 2012. Medmindre der sker et kolossalt asteroide nedslag eller et Trump-præsidentskab, vil jeg sandsynligvis også være i nærheden til at lave den i 2020. Men ikke i 2200. Selv om mit svævende hoved i en krukke stadig er til stede, vil det være lige meget, som du vil se, hvis du læser videre.
Bemærk: Dette indlæg indeholder matematik. En hel del. Men det er egentlig bare aritmetik – decimaltal og multiplikation. Hvis du er en mathaphobe, så spring til slutningen, men du må stole på mig med hensyn til tallene.
Hvis du er matematiklækker og pedant, så kan du ærgre dig over, at jeg ignorerer signifikante cifre nedenfor. Men i dette tilfælde er mantisse det, der er vigtigt, da det, vi gør her, er en variant af modulusmatematik; den faktiske brøkdel af en dag, der er tilbage, er det, der tæller op, og det er ligegyldigt, hvor mange hele dage der er, når skuddagskorrektionerne er anvendt i kalenderen. Så jeg har holdt alle tallene på fire decimaler (medmindre de ender på 0), og jeg ignorerede signaturer. Ja, det fører til nogle afrundingsfejl, men i det tidsrum, vi taler om her, betyder de ikke så meget.
OK, klar? Lad os lave matematik!
Da jeg var barn, havde jeg en ven, hvis fødselsdag var den 29. februar. Jeg plejede at rive ham med, at han kun var 3 år gammel, og han holdt sig synligt tilbage fra at slå mig. Åbenbart hørte han den joke meget.
Selvfølgelig var han i virkeligheden 12 år. Men da den 29. februar er en skuddag, kommer den kun en gang hvert fjerde år.
Men hvorfor er skuddag kun en fireårig begivenhed?
Hvorfor er alting noget som helst noget? Fordi astronomi!
OK, måske er jeg forudindtaget, men i dette tilfælde er det sandt. Vi har to grundlæggende tidsenheder: dagen og året. Af alle de daglige målinger, vi bruger, er det de eneste to, der er baseret på konkrete fysiske begivenheder: den tid det tager for Jorden at dreje en gang om sin akse, og den tid det tager Jorden at gå rundt om Solen. Alle andre tidsenheder, som vi bruger (sekund, time, uge, måned), er ret arbitrære. Praktisk, men de er ikke defineret af uafhængige, ikke-arbitrære begivenheder.*
Det tager ca. 365 dage for Jorden at kredse om Solen én gang. Hvis det var præcis 365 dage, ville vi være helt klar! Vores kalendere ville være de samme hvert år, og der ville ikke være nogen bekymringer.
Men sådan er det ikke. Dagens og årets længde er ikke nøjagtige multipla; de deler sig ikke lige meget. Der er faktisk omkring 365,25 dage i et år. Den ekstra brøkdel er afgørende; den tæller op. Hvert år er vores kalender forskudt med ca. en fjerdedel af en dag, dvs. 6 ekstra timer, som bare ligger der og er til overs.
Efter et år er kalenderen forskudt med ¼ af en dag. Efter to år er den en halv dag forskudt, derefter ¾ dag, og efter fire år er kalenderen forskudt med ca. en hel dag:
4 år ved 365 (kalender)dage/år = 1.460 dage, men
4 år ved 365,25 (fysiske) dage/år = 1.461 dage
Så efter fire år er kalenderen bagud med en dag. Jorden har drejet en ekstra gang i løbet af disse fire år, og det skal vi indhente. Så for at balancere kalenderen igen lægger vi denne dag tilbage en gang hvert fjerde år. Februar er den korteste måned (på grund af nogle cæsariske løjer), så vi sætter dagen der, kalder den 29. februar for springdag – og alle er glade.
Bortset fra, at der stadig er et problem. Jeg løj for dig (ja, ikke rigtig, men følg med mig her). Året er ikke præcis 365,25 dage langt. Hvis det var, ville kalenderen hvert fjerde år indhente Jordens faktiske rotation, og så ville vi have det fint.
Men det er det ikke, og det er her, det sjove begynder.
Vores officielle dag er 86.400 sekunder lang. Jeg vil ikke gå i detaljer om selve årets længde (du kan vride din hjerne i knuder ved at læse om det, hvis du har lyst), men det år, vi bruger nu, kaldes et tropisk år, og det er 365,2422 dage langt. Det er ikke nøjagtigt, men lad os afrunde til fire decimaler for at undgå, at vores hjerner smelter.
Det er klart, at 365,2422 er en smule mindre end 365,25 (med ca. 11 minutter). Det gør dog ikke noget, vel?
Faktisk, ja, det gør det faktisk. Over tid løber selv den lille smule op. Efter fire år har vi f.eks. ikke 1.461 fysiske dage, vi har:
4 år ved 365,2422 (reelle) dage/år = 1460,9688 dage
Det betyder, at når vi tilføjer en hel dag hvert fjerde år, så tilføjer vi for meget! Men jeg kan ikke se nogen nem måde at tilføje kun 0,9688 dage til vores kalender, så at tilføje en hel dag er forståeligt nok.
Hvor efterlader dette os? Hvis vi tilføjer en skuddag hvert fjerde år, kommer kalenderen meget tættere på at være præcis, men den er stadig ikke helt korrekt; den er stadig en lille smule ukorrekt. Denne gang er den forud for Jordens fysiske drejning, fordi vi har tilføjet en hel dag, hvilket er for meget. Hvor meget foran?
Tja, vi har tilføjet en hel dag i stedet for 0,9688 dage, hvilket er en forskel på 0,0312 dage. Det er 0,7488 timer, hvilket er meget tæt på 45 minutter.
Det er ikke noget stort problem, men du kan se, at vi på et tidspunkt løber ind i problemer igen. Kalenderen vinder 45 minutter hvert fjerde år. Når vi har haft 32 skudår (hvilket er 4 x 32 = 128 års kalendertid), vil vi igen være en dag forkert, for 32 x 0,0312 dage er meget tæt på en hel dag! Det er kun et par minutter forskudt, hvilket er ret godt.
Så vi skal justere vores kalender igen. Vi kunne bare springe skuddagen over et år ud af 128, og så ville kalenderen være meget tæt på at være præcis. Men det er besværligt. Hvem kan huske et interval på 128 år?
Så i stedet blev det besluttet at udelade en skuddag hvert 100. år, hvilket er lettere at holde styr på. Så hvert århundrede kan vi springe en skuddag over for at holde kalenderen tættere på det, som Jorden gør, og alle er glade.
Bortset fra, at der stadig er et problem. Da vi gør det hvert 100. år, foretager vi stadig ikke den rigtige tilpasning. Vi har tilføjet de 0,0312 dage i 25 gange, ikke 32 gange, og det er ikke nok.
For at være præcis, vil kalenderen efter et århundrede være foran med:
25 x 0,0312 dage = 0,7800 dage
Det er tæt på en hel dag. Når man ser, hvad vi allerede har været igennem, kan man selvfølgelig godt få en fornemmelse af, at det ikke vil gå perfekt. Og du ville have ret. Det skal vi nok komme til.
Men først er her en anden måde at tænke på alt dette på, som jeg vil smide ind for at kontrollere matematikken. Efter 100 år vil vi have haft 25 skudår og 75 ikke-skudår. Det er i alt:
(25 skudår x 366 dage/skudår) + (75 år x 365 dage/år) = 36.525 kalenderdage
Men i virkeligheden har vi haft 100 år med 365,2422 dage, eller 36.524,22 dage. Så nu er vi altså forskudt med:
36.525 – 36524,22 = ,78 dage
hvilket, inden for afrundingsfejl, er det samme tal, som jeg fik ovenfor. Woohoo. Matematikken virker.
/Marina Sun
Hvor var jeg henne? Nå ja, rigtigt. Så efter 100 år har kalenderen altså vundet mere end ¾ dag på det fysiske antal dage i et år, når vi tilføjer en hel dag hvert fjerde år. Det betyder, at vi er nødt til at stoppe kalenderen og lade jordens rotation indhente det. For at gøre dette tilføjer vi én gang pr. århundrede ikke en skuddag.
For at gøre det enklere (for det er vi jo nødt til), gør vi det kun i år, der kan deles med 100. Så årene 1700, 1800 og 1900 var ikke skudår. Vi tilføjede ikke en ekstra dag, og kalenderen kom meget tættere på at passe til virkeligheden.
Men bemærk, siger han grinende ondskabsfuldt, at jeg ikke har nævnt år 2000. Hvorfor ikke?
Fordi, som jeg sagde for et øjeblik siden, er selv dette seneste skridt ikke helt nok. Husk, at efter 100 år er kalenderen stadig ikke afviget med et helt tal. Den er 0,7800 dage foran. Så når vi trækker en dag fra ved ikke at have skudår hvert århundrede, overkompenserer vi; vi trækker for meget fra. Vi er bagud nu, med:
1 – 0,7800 dage = 0,2200 dage
Arg! Så hvert 100. år halter kalenderen altså 0,22 dage bagud. Hvis du er foran mig her (og virkelig, jeg kan knap nok følge med mig selv på dette tidspunkt), vil du måske sige: “Hov! Det tal, hvis det ganges med 5, er meget tæt på en hel dag! Så vi burde genindføre skuddagen hvert 500. år, og så vil kalenderen være meget tæt på at være rigtig igen!”
Hvad kan jeg sige? Du er tydeligvis meget klog og en logisk tænker. Desværre er de mennesker, der har ansvaret for kalendere, ikke dig. De er gået en anden vej.
Hvordan? I stedet for at tilføje en skuddag tilbage hvert 500. år, besluttede de at tilføje den hvert 400. år! Hvorfor? Tja, generelt er det sådan, at hvis der er en mere besværlig måde at gøre noget på, så er det sådan, det bliver gjort.
Så efter 400 år har vi altså rodet kalenderen med 0,22 dage fire gange (én gang hvert 100. år i 400 år), og efter fire århundreder er kalenderen bagud med
4 x 0,22 dage = 0,88 dage
Det er tæt på en hel dag, så lad os køre med det. Det betyder, at vi hvert 400. år kan tilføje den 29. februar på magisk vis tilbage i kalenderen, og endnu en gang er kalenderen marginalt tættere på at være præcis.
Som en kontrol, lad os lave regnestykket på en anden måde. Lige indtil februar i det sidste år i en 400-årig cyklus har vi haft 303 ikke-skudår og 96 skudår (husk, vi tæller ikke det 400. år lige nu).
(96 skudår x 366 dage/skudår) + (303 år x 365 dage/år) = 145.731 kalenderdage
Hvis vi så ikke gør det 400. år til et skudår, lægger vi 365 dage mere til, så vi får i alt 146.096 dage.
Men vi har virkelig haft:
400 x 365,2422 dage = 146.096,88 dage
Så jeg havde altså ret! Efter 400 år er vi 0,88 dage bagud, så vi bryder reglen om “hvert 100. år” og tilføjer en hel dag hvert 400. år, og så er kalenderen meget tættere på at være i overensstemmelse med tidsplanen.
Vi kan se, at resten er 0,88 dage, hvilket stemmer overens med den tidligere beregning, og jeg er derfor sikker på, at jeg har gjort det rigtigt. (Phew!)
Men jeg kan ikke lade det her ligge. Jeg er nødt til at påpege, at selv efter alt dette er kalenderen stadig ikke helt korrekt på dette tidspunkt, for nu er vi foran igen. Vi har tilføjet en hel dag hvert 400. år, hvor vi kun skulle have tilføjet 0,88 dage, så vi er nu foran med:
1 – 0,88 dage = 0,12 dage.
Det sjove er, at ingen bekymrer sig om det. Der er ingen officiel regel for skuddage med cyklusser større end 400 år. Jeg synes, det er yderst ironisk, for hvis vi tog et skridt mere, kunne vi gøre kalenderen ekstremt præcis. Hvordan?
Det beløb, vi er afvigende hvert 400. år, er næsten præcis 1/8 af en dag! Så efter 3.200 år har vi haft 8 af disse 400 års cyklusser, så vi er foran med:
8 x 0,12 dage = 0,96 dage
Hvis vi så udelod skuddagen fra kalenderen igen hvert 3.200 år, ville vi kun være bagud med 0,04 dage! Det er langt bedre end nogen anden justering, vi har foretaget indtil nu. Jeg kan ikke tro, at vi stoppede med at lave rettelser ved 400 års cyklus.
Men, stadig, jubii, vi er færdige! Vi kan nu endelig se, hvordan reglen om skudår fungerer:
Hvad du skal gøre for at finde ud af, om det er et skudår eller ej:
Vi tilføjer en skuddag hvert fjerde år, undtagen hvert 100. år, undtagen hvert 400. år.
Med andre ord …
Hvis året er delbart med 4, så er det et skudår, MEDMINDRE
det også er delbart med 100, så er det ikke et skudår, MEDMINDRE
året er delbart med 400, så er det et skudår.
Så 1996 var et skudår, men 1997, 1998 og 1999 var det ikke. Året 2000 var et skudår, for selv om det er delbart med 100, er det også delbart med 400.
Årene 1700, 1800 og 1900 var ikke skudår, men det var år 2000. Året 2100 vil ikke være det, og heller ikke 2200 eller 2300. Men 2400 vil være det.
Hele denne 400-års tingest blev startet i år 1582 af pave Gregor XIII. Det er tæt nok på år 1600 (som var et skudår!), så i min bog burde år 4800 ikke være et skudår, og så vil kalenderen være forskudt med mindre end et minut i forhold til Jordens rotation. Det er imponerende.
Men hvem lytter til mig? Hvis du er nået så langt uden at blæse din hjerne ud, så tror jeg, at du lytter til mig. Alt dette er sjovt, efter min mening, og hvis du stadig er med mig her, så ved du lige så meget om skudår som jeg.
Hvilket nok er for meget. Alt, hvad du egentlig behøver at vide, er, at dette år, 2016, er et skudår, og vi vil have masser af flere i et stykke tid. Du kan gennemgå min matematik og kontrollere mig, hvis du vil …
Eller du kan bare tro mig. Kald det et spring i troen.
Bonus: Vi kørte en video i søndags, der forenklede det hele ned til, at jeg råbte tal til dig i tre minutter. Nyd det:
*Ja, månen er baseret på månens cyklus, men der er ingen egentlig definition af “måned”, og derfor er de alle sammen meget forskellige med hensyn til længde.