I tilfælde af Gaussisk eliminering kræver algoritmen, at pivotelementer ikke er nul.Det er nødvendigt at bytte om på rækker eller kolonner i tilfælde af et pivotelement på nul. Nedenstående system kræver ombytning af række 2 og 3 for at udføre eliminering.

{\displaystyle \left}

Det system, der fremkommer ved pivoteringen, ser ud som følger og vil gøre det muligt for eliminationsalgoritmen og baglæns substitution at udgive løsningen på systemet.

{\displaystyle \left}

Dertil kommer, at det ved Gaussisk eliminering generelt er ønskeligt at vælge et pivot-element med stor absolut værdi. Dette forbedrer den numeriske stabilitet. Følgende system er dramatisk påvirket af afrundingsfejl, når der udføres Gaussisk eliminering og baglæns substitution.

{\displaystyle \left}

Dette system har den nøjagtige løsning x1 = 10,00 og x2 = 1,000, men når eliminationsalgoritmen og baglæns substitution udføres ved hjælp af firecifret aritmetik, forårsager den lille værdi af a11, at små afrundingsfejl forplanter sig. Algoritmen uden pivoteringer giver en tilnærmelse af x1 ≈ 9873,3 og x2 ≈ 4. I dette tilfælde er det ønskeligt, at vi bytter om på de to rækker, så a21 er i pivotpositionen

. {\displaystyle \left.}